Вопросы к экзамену (Вопросы к экзамену.pdf)

Вопросы по статистической физикенеравновесных систем(ч. 2 курса термодинамики и статистической физики)В весеннюю сессию в экзаменационные билеты включаются вопросы и задачи по разделу «Статистическая физика неравновесных систем», перечисленные ниже. В каждом билете будет один «простой»вопрос, одна задача и один «сложный» вопрос, который может быть как теоретическим вопросом, таки задачей.Для получения положительной оценки студент должен за 40 минут предварительной подготовкизаписать полные ответы не менее, чем на два вопроса. С учётом уровня трудности третьего вопросаэкзаменатор вправе выделить для ответа на этот вопрос дополнительное время.Ответ студента на вопросы билета и дополнительные вопросы экзаменатора должен охватыватьвсе разделы весеннего семестра: теорию флуктуаций, основы теории случайных процессов и теориюкинетических уравнений.

Отвечая на дополнительные вопросы, студент должен продемонстрироватьумение использовать формулы теоретического минимума для решения в том числе заранее неизвестныхзадач.Для получения оценки «отлично» требуется полный ответ на все три вопроса билета, включающийкак описание физической природы обсуждаемых понятий и явлений, так и все детали расчётов. Оценка«хорошо» может быть поставлена за ответ на два вопроса, если студент успешно отвечает на вопросыпо теоретическому минимуму, относящиеся к не затронутому в двух вопросах билета разделу курса.«Простые» вопросы1.1 Пользуясь микроканоническим распределением, получить выражение для вероятности крупномасштабной флуктуации в равновесной изолированной системе.1.2 Вывести общую формулу для вероятности заданной малой термодинамической флуктуации в равновесной неизолированной системе из формулы Эйнштейна, связывающей вероятность малой термодинамической флуктуации с изменением энтропии.1.3 Получить выражение для вероятности крупномасштабных флуктуаций в равновесной системе,выделенной нежесткими теплопроводящими стенками из термостата (N = const, остальные параметры флуктуируют), и установить его связь с условиями устойчивости этой системы.1.4 Получить выражение для вероятности крупномасштабных флуктуаций в равновесной системефиксированного объёма, выделенной воображаемыми стенками из термостата (V = const, остальные параметры флуктуируют), и установить его связь с условиями устойчивости этой системы.1.5 Показать, что для системы, выделенной нежесткими теплопроводящими стенками из термостата(N = const, остальные параметры флуктуируют), флуктуационные отклонения температуры иобъёма от их равновесных значений независимы.1.6 Показать, что для системы фиксированного объёма, выделенной воображаемыми стенками из термостата (V = const, остальные параметры флуктуируют), флуктуационные отклонения температуры и общего числа частиц от их равновесных значений независимы.1.7 Записать уравнение Ланжевена для импульса брауновской частицы и получить его формальноерешение при начальном импульсе p(0) = p0 .

Охарактеризовать корреляционную функцию случайного силового воздействия на частицу.1.8 Дать физическую интерпретацию уравнения Фоккера-Планка в трёхмерном пространстве и дополнительных условий к нему. Получить решение уравнения для свободной диффузии в одномерномпространстве.11.9 Получить уравнение Смолуховского для марковского процесса и обсудить его физический смысл.При каких условиях это нелинейное уравнение описывает брауновское движение и более общиедиффузионные процессы?1.10 Используя спектральное представление стационарного случайного процесса, получить спектральную форму условия стационарности. Указать связь между корреляционной функцией и спектральной плотностью процесса.1.11 Определение стационарного марковского гауссовского случайного процесса и математические выражения для его свойств.1.12 Из уравнений Гамильтона для эволюции микроскопического состояния классической системы многих частиц вывести уравнение Лиувилля для плотности вероятности в фазовом пространстве.1.13 Кинетические функции распределения.

Одночастичная функция распределения и связанные с нейфизические характеристики классической неравновесной системы. Ограниченность описания кинетики системы с помощью только этой функции.1.14 Из уравнения Лиувилля получить общую форму кинетического уравнения для одночастичнойкинетической функции распределения. Что такое интеграл столкновений и каким общим требованиям он должен удовлетворять?1.15 Записать кинетическое уравнение с релаксационным членом вместо интеграла столкновений иполучить его стационарное решение в первом порядке по параметру τ .1.16 Сформулировать концепцию самосогласованного поля в системах с дальнодействием.

Получить изпервого уравнения цепочки Боголюбовакинетическое уравнение Власова как нулевое приближениеpпо параметру дальнодействия χD 3 V /N в классической плазме.1.17 Записать кинетическое уравнение Больцмана в пространственно однородном приближении. Охарактеризовать физические ограничения на интеграл столкновений в системах типа газа с короткодействием (отсутствие тройных и массовый характер парных столкновений, подход Боголюбовак описанию кинетической эволюции системы).1.18 Показать, что локальное распределение Максвелла при подстановке в качестве одночастичнойфункции распределения в интеграл столкновений Больцмана обращает его в нуль.

Каков физический смысл соответствующего значения Н-функции?«Трудные» вопросы2.1 Выразить дисперсию числа частиц в макроскопическом объёме через парную корреляционнуюфункцию. Установить аддитивность дисперсии.2.2 Для пространственно однородного классического идеального газа вычислить среднее значение иотносительную флуктуацию числа частиц N1 в некоторой областисосуда объёма V1 . Показать, что√отклонение ∆N1 −N1 от среднего√ значения имеет порядок N и что в пределе N → ∞, V ,V1 → ∞,V1 /V = const, величина ∆N1 / N подчиняется нормальному закону (распределение Гаусса).2.3 С помощью большого канонического распределения Гиббса определить дисперсию энергии системы, выразив её через уравнения состояния системы.

Рассмотреть частные случаи вырожденногоферми-газа и классического идеального газа.2.4 Пользуясь уравнением Ланжевена для импульса брауновской частицы, получить зависимость отвремени дисперсий её импульса и координаты в шкале времени, грубой по сравнению со временемавтокорреляции случайной величины.22.5 Пользуясь уравнением Ланжевена, получить корреляционную функцию ∆x(t)∆x(t + ∆t) отклонения координаты брауновской частицы от среднего на временах, больших по сравнению со временемзабывания начальных условий. Происходит ли выход на стационарный режим?2.6 Вывести одномерное уравнение Фоккера-Планка для марковского процесса диффузионного типаиз уравнения Смолуховского.2.7 Вывести первое уравнение цепочки Боголюбова для кинетических функций распределения из уравнения Лиувилля.2.8 Получить формулу Найквиста для спектральной плотности теплового шума сопротивления R притемпературе θ в полосе частот ∆ν.2.9 С помощью кинетического уравнения с релаксационным членом в приближении τ = const оценитькоэффициент внутреннего трения термически однородного классического газа.2.10 Линеаризуя уравнение Власова для классического электронного газа в компенсирующем поле положительно заряженных тяжёлых ионов, получить систему уравнений для эволюции слабонеравновесного состояния.2.11 Дать качественный вывод кинетического уравнения Больцмана для пространственно однородногогаза с короткодействием (без использования цепочки Боголюбова).2.12 Доказать лемму Больцмана и получить из неё H-теорему Больцмана.

Какова причина появлениянеобратимости во времени полученного результата? Обсудить парадокс Лошмидта.2.13 Выполнить линеаризацию кинетического уравнения Больцмана в пространственно однородномслучае.Задачи3.1 (3) Получить выражение для вероятности обнаружить N1 частиц в микроскопическом объёме V1 ,выделенном внутри сосуда объёма V с N частицами пространственно однородного равновесного идеального классического газа, в пределе N → ∞, V → ∞, V /N = υ = const, V1 = const(распределение Пуассона).3.2 (5) Полагая вылеты отдельных электронов из катода независимыми друг от друга, а вероятностьотдельных вылетов за малый интервал времени τ пропорциональной τ , показать, что дисперсияполного заряда, испущенного с катода за время t, равна eIt, где I - средний ток эмиссии.3.3 (9) С помощью большого канонического распределения Гиббса определить корреляцию флуктуаций энергии и числа частиц в системе, выразив её через уравнения состояния системы.

Рассмотретьчастный случай равновесного излучения.3.4 (7) С помощью большого канонического распределения Гиббса определить дисперсию числа частицв системе, выразив её через уравнения состояния системы. Рассмотреть частные случаи вырожденного ферми-газа и классического идеального газа.3.5 (12) Определить дисперсию и относительную флуктуацию чисел заполнения равновесных идеальных бозе-газа (выше температуры его конденсации), ферми-газа и невырожденного идеальногогаза.3.6 (18) Для системы с фиксированным числом частиц определить корреляции (∆θ∆S)N , (∆p∆V )N .33.7 (20) Для системы фиксированного объёма, выделенной воображаемыми стенками, определить корреляции (∆θ∆S)V , (∆µ∆N )V .3.8 (36) Найти решение уравнения Фоккера-Планка на бесконечной прямой в однородном поле силытяжести, если в начальный момент блуждающая частица имела координату x0 .3.9 (35) Найти решение одномерного уравнения Фоккера-Планка на полупрямой x > 0, полагая, что вначальный момент блуждающая частица имела координату x0 > 0, внешнего поля нет, а в точкеx = 0 расположена непроницаемая для частиц стенка.3.10 (29) Пользуясь уравнением Ланжевена, получить корреляционную функцию ∆p(t)∆p(t + ∆t) отклонения импульса брауновской частицы от среднего в шкале времени, грубой по сравнению современем автокорреляции случайной силы.3.11 (30) Определить в грубой шкале времени t τ корреляцию отклонений импульса и координатыбрауновской частицы от своих средних значений ∆p∆x и оценить эту корреляцию в случае τ 1/Γ(τ - время автокорреляции случайной силы, Γ - коэффициент вязкости среды).3.12 (33) Представляя условную вероятность ρ(x0 |x, ∆t) при ∆t → 0 в виде двух слагаемых, характеризующих вероятность брауновской частице за время ∆τ остаться в точке x и вероятность за это жевремя с некоторой интенсивностью перехода ω(x0 |x) оказаться в точке x0 6= x, придать уравнениюСмолуховского форму уравнения кинетического баланса.3.13 (41) Найти корреляционную функцию Fζ (t) и соответствующую ей спектральную плотность Jζ (ω)˙случайного процесса ζ(t) = ξ(t),если корреляционная функция Fξ (t) = ξ(0)2 exp(−Γ|t|).3.14 (40) Стационарный случайный процесс ξ(t) характеризуетсяспектральной плотностью J(ω).

НайтиR1 tспектральную плотность процесса η(t) = τ t−τ ξ(s)ds (τ - заданный положительный параметр).3.15 (47) В момент времени t = 0 разряженный конденсатор емкости C замыкают через проводниксопротивления R, находящийся при температуре θ. Найти средний квадрат заряда на конденсатореQ(t) при t RC.3.16 (48) Оценить интенсивность случайного силового взаимодействия молекулярной среды на брауновскую частицу в полосе частот ∆ω, выбираемой произвольно в диапазоне 0<ω<Γ0 (1/Γ0 - времяавтокорреляции случайной силы).3.17 (53) С помощью кинетического уравнения с релаксационным членом оценить в стационарном приближении коэффициент теплопроводности χ газа, находящегося при постоянном давлении, в приближении τ = const, если известны температура θ, средняя концентрация n и масса одной частицыm.3.18 (56) С помощью кинетического уравнения с релаксационным членом оценить в стационарном приближении коэффициент проводимости невырожденного электронного газа при постоянной температуре в приближении τ = const, если известны температура θ, средняя концентрация n, заряд eи масса m одного электрона.3.19 (59) Доказать H-теорему на основе уравнения кинетического баланса, предполагая матрицу интенсивностей перехода симметричной.4Вопросы теорминимумаКаждый студент, сдающий экзамен по термодинамике и статистической физике, должен быть всостоянии по памяти, без предварительной подготовки ответить на следующие вопросы (примерныеответы приведены в рамках).