Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002)

: ° ° 1 ° в Ф 1 !1 ° ! 1 ! !в ° ° Ф 1 ° ° ' ' 1 ° 1 Ф Ф" ' ° 1. ° 1 В "1 ! 1 Ф ° ' 1 1 Ф ' 1 ° Ф ° ' вВ, ° Ф ФФ ° ° Ф Ф! ° С ° ! ° ° ° \ ' ФФ,, ! с! ° . ! 1 1 Ф ° ° ° ° 1 . ° с, с. !'' Ф ФФ. ° 1 11 °: ° ° ° 1 1 ° 11 ' ° 1 ! 1 ° 1 ° ° в ° 1.1 ° Ф 1 Ф ' 1 1 1 "Ф 1 ! с! ° ! 9 1 °, ° в .

Ф. $! 1. ФФ ФФ ° ° ° : . ' ° . 1 . ° ° 1 1 . . ° . ° . ! 1 ° 1 - ° ° ' Ф ° . ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ $6 57 $8 $9 $10 9 11 $12 $13 $14 $15 $16 278 284 288 292 300 308 310 315 317 323 662 669 678 685 690 697 703 710 339 348 356 368 371 376 376 387 406 $17 $18 5 19 6 20 Глава 6 $1 $2 $3 $4 788 816 820 Список литературы Предметный указатель Список обозначений 430 459 462 462 474 479 486 493 493 494 500 519 539 554 565 571 582 591 595 605 617 617 625 632 639 655 658 Проксимальный метод Метод линеаризации Квадратичное программирование .

Метод сопряженных направлений Метод Ньютона Непрерывные методы с переменной метрикой Метод покоординатного спуска ... Метод покрытия в многомерных задачах Метод модифицированных функций Лагранжа . Метод штрафных функций Доказательство необходимых условий экстремума первого и второго порядков с помощью штрафных функций Метод барьерных функций Метод нагруженных функций . О методе случайного поиска Общие замечания Принцип максимума Понтрягина.......,...,...,...,, Постановка задачи оптимального управления Формулировка принципа максимума. Примеры Доказательство принципа максимума Принцип максимума для задач оптимального управления с фааовыми ограничениями Связь между принципом максимума и классическим варизционным исчис- лением Г л а в а 7.

Динамическое программирование $1, Схема Беллмана. Проблема синтеза для дискретных систем......, .. 5 2. Схема Моисеева....,,,...,..., . $3. Проблема синтеза для систем с непрерывным временем $4. Достаточные условия оптимальности Ч а с т ь Гк МИНИМИЗАЦИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ. АППРОКСИМАЦИЯ Г л а в а 8. Методы минимизации в функциональных пространствах...,, $1. Предварительные сведения.

Обозначения ..., .......,, ...,, „ . 5 2. Теорема Вейерштрасса в функциональных пространствах 5 3. Дифференцирование, Условия оптимальности 5 4.Методы минимиаации $5. Градиент в задаче оптимального управления со свободным правым концом $6. Градиент в задаче оптимального управления с дискретным временем $7. Оптимальное управление процессом нагрева стержня $8. Оптимальное управление колебательными процессами 5 9. Оптимальное управление процессами, описываемыми уравнением Гурса— Дарбу $10.

Взаимодвойственные задачи управления и наблюдения ..., ..., ... $11. Метод моментов ...., ..., ....,,, ..., ......., ...,,, Г л а в а 9. Методы решения неустойчявых задач оптимизации $1. Постановка.задачи. Устойчивые и неустойчивые задачи минимизации .. $2. Методы регуляриэации для решения неустойчивых задач первого типа $3. Стабилизатор. Леммы о регуляриэации $4. Метод стабилизации $5.

Метод невязки 56. Метод квааирешений...........,........,.......... 5 7. Методы регуляризации с расширением множества $8. Регуляризованный метод проекции градиента $9. Регуляризованный метод условного градиента $10. Регуляризованный проксимальный метод $11. Регуляризовэнный метод Ньютона $12.

Регуляризованный непрерывный метод проекции градиента $13. Метод динамической регуляризации Г л а з а 1О. Аппроксимация экстремальяых задач $1. Разностная аппроксимация квадратичной задачи оптимального управления ..............., .......................... 7!О $2, Общие условия аппроксимации .................., ..., ... 719 $3. Разностная аппроксимация для квадратичной задачи с фазовыми ограничениями ....,, .............., .., ........ г..., .... 726 6 4, Регуляризация аппроксимаций зкстремвльных задач ............. 733 $5. Разностная аппроксимация квадратичной задачи с переменной областью управления ...................................... 742 9 6. Аппроксимация задачи быстродействия .............., ...... 750 5 7. Ревностная аппроксимация задачи об оптимальном нагреве стержня ... 757 $8.

Об аппроксимации максиминных задач ........, ....,, ...... 775 ПРЕДИСЛОВИЕ 7' ПРЕДИСЛОВИЕ Первые задачи геометрического содержания, связанные с отысканием наименьших и наибольших величин, появились еще в древние времена. Развитие промышленности в Х«"11 — ХУ111 веках привело к необходимости исследования более сложных задач на экстремум и к появлению вариационного исчисления, Однако лишь в ХХ веке при огромном размахе производства и осознании ограниченности ресурсов Земли во весь рост встала задача оптимального использования энергии, материалов, рабочего времени, большую актуальность приобрели вопросы наилучшего в том или ином смысле управления различными процессами физики, техники, экономики и др. Сюда относятся, например, задача организации производства с целью получения максимальной прибыли при заданных затратах ресурсов, задача управления системой гидростанций и водохранилищ с целью получения максимального количества электроэнергии, задача о космическом перелете из одной точки пространства в другую наибыстрейшим образом или с наименьшей затратой энергии, задача о быстрейшем нагреве или остывании металла до заданного температурного режима, задача о наилучшем гашении вибраций и многие другие задачи.

Потребности развития самой вычислительной математики также привели к необходимости исследования таких задач на максимум и минимум, как, например, задачи наилучшего приближения функций, оптимального выбора параметров итерационного процесса или узлов интерполирования, минимизации невязки уравнений и т. д. На математическом языке такие задачи могут быть сформулированы как задачи отыскания экстремума (максимума нли минимума) некоторой функции или функционала 7(«»), выражающего собой качество (цену) управления и из заданного множества 77 некоторого пространства.

Требование принадлежности управления и некоторому множеству 77 выражает собой ограничения, обычно вытекающие из законов сохранения, ограниченности наличных ресурсов, возможностей технической реализации управления, нежелательности каких-либо запрещенных (аварийных) состояний и т. и. Задачи отыскания экстремума функции 7(и) на множестве 77 принято называть экстремальными задачами, Заметим, что задача максимизации функционала 7(и) на множестве 77 эквивалентна задаче минимизации функционала —,7(и) на том же множестве 77, поэтому можно ограничиться рассмотрением задач минимизации. В настоящее время теория экстремальных задач обогатилась фундаментальными результатами, появились ее новые разделы, такие как линейное, выпуклое, стохастическое программирование, оптимальное управление и др.

Потребности практики способствовали бурному развитию методов приближенного решения экстремальных задач. Появление быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) сделало возможным эффективное решение многих важных прикладных экстремальных задач, которые ранее из-за своей сложности представлялись недоступными, В настоящей книге излагаются элементы теории экстремальных задач, а также основы наиболее часто используемых на практике методов приближенного решения экстремальных задач, теоретическое обоснование и краткая характеристика этих методов. Книга написана как учебное пособие для студентов факультетов и отделений прикладной математики чннвереитетов, технических вузов.

В основу книги положен курс лекции по численным методам решения экстремальных задач, который автор в течение )~4 яда лет читает на факультете вычислительной математики и,. кибернетики. псковского университета. Заманчиво было бы изложить теорию и методы минимизации сразу в общем виде на языке функционального анализа, охватив при, этом как частный случай многие методы минимизации функций конечного числа переменных.

Однако такой способ изложения, несмотря на свою привлекательность и удобства для читателя-математика, видимо, все же труден дпя первого: знакомства с предметом, не говоря уже о том, что он не может отразить всю специфику конечномерных задач. Поэтому автор, стремясь сделать книгу доступной широкому кругу читателей, впервые знакомящихся с теорией и методами решения экстремальных задач, разделил ее на две части.

В части 1 излагаются методы минимизации функций конечного числа переменных (главы 1-5), а также рассматриваются задачи- оптимального управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений (главы 8, 7). Этот материал для своего понимания требует лишь знания основ математического анализа, линейной алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений в объеме стандартных ку сов технических вузов. части 11 книги рассматриваются задачи оптимизации на множествах из бесконечномерных функциональных пространств, и посвящена задачам оптимального управления процессами, описываемыми как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями с частными производными (глава 8), методам решения неустоичивых задач оптимизации (глава 9), проблемами аппроксимации бесконечномерных задач оптимизации (глава 10).

Дзя понимания содержания части П желательно знание элементов функционального анализа в объеме программ, обычно изучаемых в университетах и технических вузах с повышенной математической подготовкои. Однако следует оговориться, что отсутствие знаний по функциональному анализу не будет мешать пониманию и усвоению излагаемых в книге основ методов и приложений к конкретным классам экстремальных задач, если читатель будет готов принять некоторые приводимые в книге утверждения не в самон общей их форме. Настоящую книгу можно считать очередным изданием сразу двух предыдущих книг автора «Численные методы решения экстремальных. задач» (М.: Наука, 1980 г.

— 1-е издание, 1988 г. — 2-е издание) и «Методы решения, экстремальных задач» (М.: Наука, 1981 г.), причем часть 1 ранее излагалась в первой из названных книг, часть 11 — во второй книге, В предлагаемом переиздании указанных книг сохранена прежняя их структура, но содержание существенно переработано и дополнено. Заново написаны главы 2, 9, добавлены новые параграфы: Я б, 11, 15 в главе 5, $4 в главе б, Я 10, 11 в главе 8, Я 2, 7, 13 в главе 9, $7 в главе 10, существенно обновлено содергкание 9 5 главы 3, $13 главы 5, Я 2, 3 главы 8, улучшено изложение материала во многих других параграфах, исправлены замеченные ошибки, неточности, опечатки. В $2 главы 2 впервые в учебной литературе изложены новые необходимые условия экстремума второго порядка, принадлежащие А.