Семинарские занятия (Решения задач)

PDF-файл Семинарские занятия (Решения задач) Математическая логика и логическое программирование (53459): Семинары - 7 семестрСеминарские занятия (Решения задач): Математическая логика и логическое программирование - PDF (53459) - СтудИзба2019-09-182019-09-18zzyxelСтудИзба

Семинарские занятия (Решения задач)86

Описание файла

PDF-файл из архива "Семинарские занятия (Решения задач)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математическая логика и логическое программирование" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

Московский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетикиКафедра системного программированияРешение задач по курсу математической логикиМосква, 2009by kayrickСодержание1 Формулы логики предикатов22 Вывод семантических таблиц33 Нормальные формы и унификация3.1 Приведение к ССФ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Нахождение НОУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111111114 Метод резолюций155 Хорновские логические программы. Декларативные и операционные семантики.206 Встроенные функции и предикаты297 Операторы отсечения и отрицания318 Экзаменационные задачи3611Формулы логики предикатовУпражнение 1.11. Σ = {L2 }L(x, y) − x любит y∀x L(x, x)&(∀x L(x, x)2.

Σ = {P 1 , M 1 , S 1 , C 2 , a, b}→∃y ∃z L(y, z))P (x)−M (x)−S(x)− C(x, y) −− ab−x - задачаx - математикзадача x - разрешимаматематик x может решить задача y константа «Я»константа «эта задача»(∀x(P (x)&S(x) → ∃y(M (y) & C(y, x)))) & (M (a)&¬C(a, b)) → ¬S(b)C(x, y, t) − x может обмануть y в момент времени t33. Σ = {C , a}a− Константа «Вы»(∃t ∀x C(a, x, t)) & (∃x ∀t (Ca, x, t)) & ¬(∀x ∀t C(a, x, t))Упражнение 1.21. ∃x (∀y (B(y) & C(y) & U (x, y))) & S(x)2. ∀x ∀y (B(x) & S(x) & W (y) & C(y) → ¬U (y, x))3. ∀x (B(x) → (S(x) &(∀y (W (y) & C(y) → U (y, x)))) ∨ (C(x) & (∃ y (S(y) & U (x, y)))))4.

∀x ∀y (B(x) & C(x) & W (y) & S(y) → ¬(U (x, y) ∨ U (y, x)))5. (∀x (S(x) → B(x))) → (∀y (C(y) → ¬W (y)))6. ∀x (¬(C(x) & W (x) & (∃z (S(z) & U (x, z)))) → B(x) & (∀z (W (x) → U (z, x))))Упражнение 1.31. ∀x ∀y (P (x) & P (y) & ¬E(x, y) →∃k (L(k) & B(x, k) & B(y, k) & (∀s (L(s) & B(x, s) & B(y, s) → E(k, s)))))2. ∀i (P (i) & L(x) & L(y) & B(i, x) → ¬B(i, y))[= P ar(x, y)]3. ∀x (L(x) → ∀y (P (y) & ¬B(y, x) → ∃k (L(k) & B(y, k) &P ar(x, k) & ∀s (L(s) & B(y, s) & P ar(x, s) → E(k, s)))))Упражнение 1.41. Z(x) = ∀y S(y, x, y)2.

O(x) = ∀y P (y, x, y)3. T (x) = ∃k ∀y (P (y, k, y) & S(k, k, x))4. ∃y (Z(y) & S(x, y, n))5. ∃y ∃z (T (y) & P (z, y, x))6. (∀k ∀l (P (k, l, x) → (O(k) ∨ O(l)))) & ¬(O(x) ∨ Z(x)))1. E(x, y) = ∃k ((∀y S(y, k, y)) & S(x, k, y))2. L(x, y) = ∃k ((∃x ¬S(k, x, k)) & S(x, k, y))3. F (x, y) = ∃k P (y, k, x)22Вывод семантических таблицУпражнение 2.11. ∃x P (x) & ∃x ¬ P (x)• ВыполнимаDI = {0, 1}, P(0) = true, P(1) = false• Не общезначимаDI = {0}, P(0) = true2. ∃x P (x) ∨ ∃x ¬ P (x)• Общезначимаh∅ | ∃x P (x) ∨ ∃x ¬ P (x)iyR∨h∅ | ∃x P (x), ∃x ¬ P (x)iyR∃h∅ | ∃x P (x), ∃x ¬ P (x), P (c1 )iyR∃h∅ | ∃x P (x), ∃x ¬ P (x), P (c1 ), ¬P (c1 )iyR¬DEP (c1 ) | ∃x P (x), ∃x ¬ P (x), P (c1 )Закрытая таблица3.

∃x ∀y (P (x) & ¬P (y))• НевыполнимаДокажем невыполнимость путем доказательства общезначимости отрицанияh∃x ∀y (P (x) & ¬P (y))|∅iyL∃h∀y (P (c1 ) & ¬P (y))|∅iyL∀h∀y (P (c1 ) & ¬P (y)), P (c1 ) & ¬P (c1 )|∅iyL&h∀y (P (c1 ) & ¬P (y)), P (c1 ), ¬P (c1 )|∅iyL¬ED∀y (P (c1 ) & ¬P (y)), P (c1 )|P (c1 )Закрытая таблица4. P (x) → ∀x P (x)• ВыполнимаDI = {0}, P(0) = true• Не общезначимаDI = {0, 1}, P(0) = true, P(1) = false5. ∀x P (x) → P (x)3• Общезначима (очевидно)6.

∀y ∃x R(x, y) → ∃x ∀y R(x, y)• ВыполнимаDI = {0}, R(0, 0) = true• Не общезначимаDI = N, R(x, y) = x > y7. (∀x P (x) → ∀x Q(x)) → ∀x (P (x) → Q(x))• ВыполнимаDI = N, P(x) = Q(x)• Не общезначимаDI = N, P(x) = (x mod 2 == 0), Q(x) = (x mod 4 == 0)Упражнение 2.21. ∃x P (x) → ¬∀x ¬P (x)Tφ = h∅ | ∃x P (x) → ¬∀x ¬P (x)iR→∨T1 = h∃x P (x) | ¬∀x ¬P (x)iL∃∨T2 = hP (c1 ) | ¬∀x ¬P (x)iR¬∨T3 = hP (c1 ), ∀x ¬P (x) | ∅iL∀∨T4 = hP (c1 ), ∀x ¬P (x), ¬P (c1 ) | ∅i∨L¬DT5 = P (c1 ), ∀x ¬P (x) | P (c1 )Закрытая таблицаE2. ∃x∀y R(x, y) → ∀y∃x R(x, y)Tφ = h∅ | ∃x∀y R(x, y) → ∀y∃x R(x, y)iR→∨Tφ = h∃x∀y R(x, y) | ∀y∃x R(x, y)iL∃∨Tφ = h∀y R(c1 , y) | ∀y∃x R(x, y)iR∀∨Tφ = h∀y R(c1 , y) | ∃x R(x, c2 )iR∃∨Tφ = h∀y R(c1 , y) | ∃x R(x, c2 ), R(c1 , c2 )iL∀∨DETφ = ∀y R(c1 , y) , R(c1 , c2 )| ∃x R(x, c2 ), R(c1 , c2 )4Закрытая таблица3.

∀x (P (x) → ∃y R(x, f (y))) → (∃x ¬P (x) ∨ ∀x∃z R(x, z))Tφ = h∅ | ∀x (P (x) → ∃y R(x, f (y))) → (∃x ¬P (x) ∨ ∀x∃z R(x, z))iR→∨T1 = h∀x (P (x) → ∃y R(x, f (y))) | ∃x ¬P (x) ∨ ∀x∃z R(x, z)iR∨∨T2 = h∀x (P (x) → ∃y R(x, f (y))) | ∃x ¬P (x), ∀x∃z R(x, z)iR∀∨T3 = h∀x (P (x) → ∃y R(x, f (y))) | ∃x ¬P (x), ∃z R(c1 , z)i∨ L∀φ1*+z}|{T4 = ∀x (P (x) → ∃y R(x, f (y))), P (c1 ) → ∃y R(c1 , f (y)) | ∃x ¬P (x), ∃z R(c1 , z)L→L→∨∨T4.1 = hφ1 , ∃y R(c1 , f (y)) | ∃x ¬P (x), ∃z R(c1 , z)iT4.2 = hφ1 , | ∃x ¬P (x), ∃z R(c1 , z), P (c1 )iR∃L∃∨∨T5.1 = hφ1 , R(c1 , f (c2 )) | ∃x ¬P (x), ∃z R(c1 , z)iR∃T5.2 = hφ1 , | ∃x ¬P (x), ∃z R(c1 , z), P (c1 ), ¬P (c1 )i∨∨DT5.1 = φ1 , R(c1 , f (c2 )) | ∃x ¬P (x), ∃z R(c1 , z), R(c1 , f (c2 ))Закрытые таблицыER6DET5.2 = φ1 , P (c1 ) | ∃x ¬P (x), ∃z R(c1 , z), P (c1 )4.

∀x∃y∀z(P (x, y) → P (y, z))Tφ = h∅ | ∀x∃y∀z(P (x, y) → P (y, z))iR∀∨T1 = h∅ | ∃y∀z(P (c1 , y) → P (y, z))iR∃∨T2 = h∅ | ∃y∀z(P (c1 , y) → P (y, z)), ∀z(P (c1 , c1 ) → P (c1 , z))iR∀∨T3 = h∅ | ∃y∀z(P (c1 , y) → P (y, z)), P (c1 , c1 ) → P (c1 , c2 )iR→∨T4 = hP (c1 , c1 ) | ∃y∀z(P (c1 , y) → P (y, z)), P (c1 , c2 )iR∃∨T5 = hP (c1 , c1 ) | ∃y∀z(P (c1 , y) → P (y, z)), P (c1 , c2 ), ∀z(P (c1 , c2 ) → P (c2 , z))iR∀∨T6 = hP (c1 , c1 ) | ∃y∀z(P (c1 , y) → P (y, z)), P (c1 , c2 ), P (c1 , c2 ) → P (c2 , c3 )i∨R→DET7 = P (c1 , c1 ), P (c1 , c2 )| ∃y∀z(P (c1 , y) → P (y, z)), P (c1 , c2 ), P (c2 , c3 )5Закрытая таблица5.

∃x∀y∃z(P (x, y) → P (y, z))*+∅ | ∃x∀y∃z(P (x, y) → P (y, z))|{z}Tφ =φ1R∃∨T1 = h∅ | φ1 , ∀y∃z(P (c1 , y) → P (y, z))iR∀ ∨*T2 =+∅ | φ1 , ∃z(P (c1 , c2 ) → P (c2 , z))|{z}φ2R∃∨T3 = h∅ | φ1 , φ2 , P (c1 , c2 ) → P (c2 , c1 ), P (c1 , c2 ) → P (c2 , c2 )iR→∨T4 = hP (c1 , c2 ) | φ1 , φ2 , P (c2 , c1 ), P (c2 , c2 )i(φ1 )R∃∨T5 = hP (c1 , c2 ) | φ1 , φ2 , P (c2 , c1 ), P (c2 , c2 ), ∀y∃z(P (c2 , y) → P (y, z))iR∀ ∨*T6 =+P (c1 , c2 ) | φ1 , φ2 , P (c2 , c1 ), P (c2 , c2 ), ∃z(P (c2 , c3 ) → P (c3 , z))|{z}φ3R∃∨T7 = hP (c1 , c2 ) | φ1 , φ2 , φ3 , P (c2 , c1 ), P (c2 , c2 ), P (c2 , c3 ) → P (c3 , c3 )iR→∨T8 = hP (c1 , c2 ), P (c2 , c3 ) | φ1 , φ2 , φ3 , P (c2 , c1 ), P (c2 , c2 ), P (c3 , c3 )i(φ2 )R∃∨T9 = hP (c1 , c2 ), P (c2 , c3 ) | φ1 , φ2 , φ3 , P (c2 , c1 ), P (c2 , c2 ), P (c3 , c3 ), P (c1 , c2 ) → P (c2 , c3 )iR→∨DET10 = P (c1 , c2 ), P (c2 , c3 ) | φ1 , φ2 , φ3 , P (c2 , c1 ), P (c2 , c2 ), P (c3 , c3 ), P (c2 , c3 )Закрытая таблица6.

∀x (P (x) & R(x)) → (∀x P (x) & ∀x R(x))6Tφ = h∅ | ∀x (P (x) & R(x)) → (∀x P (x) & ∀x R(x))iR→∨T1 = h∀x (P (x) & R(x)) | ∀x P (x) & ∀x R(x)iR&R&∨∨T2.1 = h∀x (P (x) & R(x)) | ∀x R(x)iT2.2 = h∀x (P (x) & R(x)) | ∀x P (x)iR∀R∀∨∨T2.1 = h∀x (P (x) & R(x)) | R(c1 )iT2.2 = h∀x (P (x) & R(x)) | P (c1 )iL∀L∀∨∨T3.1 = h∀x (P (x) & R(x)), P (c1 ) & R(c1 ) | R(c1 )iT3.2 = h∀x (P (x) & R(x)), P (c1 ) & R(c1 ) | P (c1 )iL&L&∨DET3.1 = ∀x (P (x) & R(x)), P (c1 ), R(c1 ) | R(c1 )Закрытые таблицыT3.2∨DE= ∀x (P (x) & R(x)), P (c1 ), R(c1 ) | P (c1 )7.

(∀x P (x) & ∀x R(x)) → ∀x (P (x) & R(x))Tφ = h∅ | (∀x P (x) & ∀x R(x)) → ∀x (P (x) & R(x))iR→∨T1 = h∀x P (x) & ∀x R(x)) | ∀x (P (x) & R(x))iL&∨T2 = h∀x P (x), ∀x R(x)) | ∀x (P (x) & R(x))iR∀∨T3 = h∀x P (x), ∀x R(x)) | P (c1 ) & R(c1 )iL∀∨T4 = h∀x P (x), ∀x R(x), P (c1 ), R(c1 ) | P (c1 ) & R(c1 )i∨R&DT4.1 = ∀x P (x), ∀x R(x), P (c1 ), R(c1 ) | R(c1 )Закрытые таблицыR&ET4.28. ∃x (P (x) ∨ R(x)) → (∃x P (x) ∨ ∃x R(x))7∨DE= ∀x P (x), ∀x R(x), P (c1 ), R(c1 ) | P (c1 )Tφ = h∅ |∃x (P (x) ∨ R(x)) → (∃x P (x) ∨ ∃x R(x)) iR→∨T1 = h∃x (P (x) ∨ R(x)) | ∃x P (x) ∨ ∃x R(x) iL∃∨T2 = hP (c1 ) ∨ R(c1 ) | ∃x P (x) ∨ ∃x R(x) iR∨∨T3 = hP (c1 ) ∨ R(c1 ) | ∃x P (x), ∃x R(x) iR∃∨T4 = hP (c1 ) ∨ R(c1 ) | ∃x P (x), ∃x R(x), P (c1 ), R(c1 ) i∨L∨DT5.1 = R(c1 ) | ∃x P (x), ∃x R(x), P (c1 ), R(c1 )Закрытые таблицы∨ET5.2L∨DE= P (c1 ) | ∃x P (x), ∃x R(x), P (c1 ), R(c1 )9.

(∃x P (x) ∨ ∃x R(x)) → ∃x (P (x) ∨ R(x))Tφ = h∅ | (∃x (P (x) ∨ ∃x R(x)) → ∃x (P (x) ∨ R(x))iR→∨T1 = h∃x (P (x) ∨ ∃x R(x) | ∃x (P (x) ∨ R(x))iL∨L∨∨∨T2.1 = h∃x R(x) | ∃x (P (x) ∨ R(x))iT2.2 = h∃x P (x) | ∃x (P (x) ∨ R(x))iL∃L∃∨∨T3.1 = hR(c1 ) | ∃x (P (x) ∨ R(x))iT3.2 = hP (c1 ) | ∃x (P (x) ∨ R(x))iR∃R∃∨∨T4.1 = hR(c1 ) | ∃x (P (x) ∨ R(x)), P (c1 ) ∨ R(c1 )iT4.2 = hP (c1 ) | ∃x (P (x) ∨ R(x)), P (c1 ) ∨ R(c1 )iR∨∨EDT5.1 = R(c1 ) | ∃x (P (x) ∨ R(x)), P (c1 ), R(c1 )Закрытые таблицы10. (∀x P (x) ∨ R(y)) → ∀x (P (x) ∨ R(y))8R∨T5.2∨DE= P (c1 ) | ∃x (P (x) ∨ R(x)), P (c1 ), R(c1 )Tφ = h∅ | (∀x P (x) ∨ R(y)) → ∀x (P (x) ∨ R(y))iR→∨T1 = h∀x P (x) ∨ R(y) | ∀x (P (x) ∨ R(y))iR∀∨T2 = h∀x P (x) ∨ R(y) | P (c1 ) ∨ R(y)iR∨∨T3 = h∀x P (x) ∨ R(y) | P (c1 ), R(y)i∨R∨∨T4.1 = h∀x P (x) | P (c1 ), R(y)iR∨ET4.2 = R(y) | P (c1 ), R(y)DR∀∨DET5.1 = ∀x P (x), P (c1 )| P (c1 ), R(y)Закрытые таблицы11.

∀x (P (x) ∨ R(y)) → (∀x P (x) ∨ R(y))Tφ = h∅ | ∀x (P (x) ∨ R(y)) → (∀x P (x) ∨ R(y))iR→∨T1 = h∀x (P (x) ∨ R(y)) | (∀x P (x) ∨ R(y))iR∨∨T2 = h∀x (P (x) ∨ R(y)) | ∀x P (x), R(y)iR∀∨T3 = h∀x (P (x) ∨ R(y)) | P (c1 ), R(y))iL∀∨T4 = h∀x (P (x) ∨ R(y)), P (c1 ) ∨ R(y) | P (c1 ), R(y))i∨DR∨ET5.1 = ∀x (P (x) ∨ R(y)), P (c1 ) | P (c1 ), R(y)Закрытые таблицы∨R∨DT5.2 = ∀x (P (x) ∨ R(y)), R(y) | P (c1 ), R(y)12.

∃y∀x Q(x, y) → ∀x∃y Q(x, y)9ETφ = h∅ | ∃y∀x Q(x, y) → ∀x∃y Q(x, y)iR→∨T1 = h∃y∀x Q(x, y) | ∀x∃y Q(x, y)iR∀∨T2 = h∃y∀x Q(x, y) | ∃y Q(c1 , y)iL∃∨T3 = h∀x Q(x, c2 ) | ∃y Q(c1 , y)iL∀∨T4 = h∀x Q(x, c2 ), Q(c1 , c2 ) | ∃y Q(c1 , y)iR∃∨DET4 = ∀x Q(x, c2 ), Q(c1 , c2 ) | ∃y Q(c1 , y), Q(c1 , c2 )Закрытая таблицаУпражнение 2.31. ∀x (P (x) ∨ Q(x)) → (∀x P (x) ∨ ∀x Q(x))Вывод не будет успешным так как формула не общезначима.DI = N, P(x) = (x mod 2 == 0), Q(x) = (x mod 2 == 1)2. ∃x (P (x) ∨ Q(x)) → (∃x P (x) ∨ ∃x Q(x))Построим выводh∅|∃x (P (x) ∨ Q(x)) → (∃x P (x) ∨ ∃x Q(x))iR→∨h∃x (P (x) ∨ Q(x))|∃x P (x) ∨ ∃x Q(x)i∃∨hP (c1 ) ∨ Q(c1 )|∃x P (x) ∨ ∃x Q(x)iR∨∨hP (c1 ) ∨ Q(c1 )|∃x P (x), ∃x Q(x)iR∃∨hP (c1 ) ∨ Q(c1 )|∃x P (x), ∃x Q(x), P (c1 ), Q(c1 )iL∨D∨ ∨L∨EDEP (c1 )|∃x P (x), ∃x Q(x), P (c1 ), Q(c1 ) Q(c1 )|∃x P (x), ∃x Q(x), P (c1 ), Q(c1 )Упражнение 2.4 Пусть такая формула существует.

Рассмотрим ее на интерпретации, область которойсодержит три элемента. На данной интерпретации формула истинна. То есть для любой подстановки онаистинна. Следовательно существует подстановка, состоящая из 1 или 2 объектов, на которой формула также истинна. Следовательно формула истинна на интерпретации, область которой содержит только эти2 объекта, следовательно такой формулы нет.Упражнение 2.5∃x1 ∃x2 ∃x3 ∃x4 ∃x5&yi ∈{x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 }P (y1 , y2 , y3 , y4 , y5 )→ ∀x1 ∀x2 ∀x3 ∀x4 ∀x5 P (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )103Нормальные формы и унификация3.1Приведение к ССФ1.

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.