Е.И. Большакова, Н.В. Груздева - Основы программирования на языке Лисп, страница 8

Кглобальным можно отнести связи, установленные для имён функций (атакже связь атома с его списком свойств). Эти связи доступны в любоймомент вычислений и могут быть использованы для организации впрограмме констант. К примеру, можно ввести и применять затемфункцию без аргументов, выдающую в качестве своего значения нужнуюконстанту:(defun PI () 3.14)Такую функцию имеет смысл помещать в начало лисп-программы,аналогично тому, как в традиционных языках программированияопределения констант идут в начале программы или блока.402.

Рекурсивное программированиеРекурсия естественно возникает при обработке данных, имеющихрекурсивную внутреннюю структуру, в том числе – при обработке списков[6]. Использование рекурсии в таких случаях не только упрощаетнаписание программ, но и делает их более понятными.В данном разделе на примерах решения задач рассматриваютсятипичные приёмы построения рекурсивных программ и обсуждаются видыиспользуемой при этом рекурсии.2.1. Простая рекурсияБудем говорить, что рекурсия простая, если рекурсивный вызовфункции встречается не более одного раза в любой ветви условноговыражения, служащего телом функции.

Простая рекурсия ужеиспользовалась нами при программировании функций Length, Member,Append, RevАppend.В качестве ещё одного примера простой рекурсии приведёмопределение функции Reverse (обычно это встроенная функция). Онапереворачивает свой список-аргумент, т.е. меняет порядок его элементовверхнего уровня на противоположный, например:(Reverse '(A (B D) C)) => (C (B D) A).(defun Reverse (L)(cond ((null L) NIL)(T (append (Reverse (cdr L))(cons (car L) NIL) )) ))В этом определении реализована следующая идея рекурсивногопостроения требуемого списка: он получается из перевёрнутого спискахвоста исходного списка (т.е.

списка без первого элемента верхнегоуровня) присоединением к нему справа первого элемента. Дляприсоединения используется функция append, а не cons, т.к. последняяможет добавлять элементы только в начало списка. Поскольку обааргумента append должны быть списками, в качестве второго аргументаберётся одноэлементный список из первого элемента исходного списка.Покажем ход вычисления функции Reverse. Теперь дляиллюстрации динамики вычислений вместо схематичного изображениястека с отложенными функциональными вызовами будем просто по шагампереписывать вычисляемое выражение, последовательно заменяя в нёмвычисленное на данном шаге подвыражение (функциональный вызов) наего значение.

На каждом шаге вычисляется один функциональный вызов.41Номер шага вычисления указывается слева от выражения, полученного наэтом шаге вычисления, а внутри выражения подчёркиваетсяфункциональный вызов, подлежащий вычислению на следующем шаге.0)1)2)3)(Reverse: L=(A (B D) C) )(append (Reverse: L=((B D) C)) '(A))(append (append (Reverse: L=(C)) '((B D))) '(A))(append (append (append (Reverse: L=()) '(C))'((B D))) '(A))4) (append (append (append () '(C)) '((B D))) '(A))5) (append (append '(C) '((B D))) '(A))6) (append '(C (B D)) '(A))=> (C (B D) A)Видно, что при движении по исходному списку от начала в конец(реализуемого с помощью функций car и cdr), очередные элементыисходного списка сохраняются (в виде одноэлементных списков) вовтором аргументе отложенных рекурсивных вызовов функций append.Выполнение же этих отложенных вызовов и реальное построениеперевёрнутого списка начинается, когда пройдены все элементы верхнегоуровня исходного списка (т.е.

список стал пуст). При этом подсоединениесохранённых элементов к результирующему списку происходит в порядке,противоположном их следованию в исходном списке.Сложность рекурсивных вычислений можно оценивать такойхарактеристикой, как глубина рекурсии – количество сохранённых иобработанных в стеке вложенных вызовов рекурсивной функции. Врассмотренном примере функции Reverse глубина рекурсии равна длинереверсируемого списка.Заметим, что в традиционных языках программирования (Паскаль, Си др.) для программирования повторяющихся вычислений используютсяциклы. Известно, что рекурсия – более мощное средство, чем любаяциклическая конструкция, в то же время циклы требуют меньшего объёмапамяти и, как правило, выполняются быстрее.

Объём памяти, требуемойдля выполнения цикла, можно оценить некоторой константой, независящей от числа шагов цикла (итераций). Для рекурсии необходимыйобъем памяти (стека) линейно зависит от глубины рекурсии.В целом, рекурсия – более затратный по памяти и времени механизм(из-за расходов, связанных с организацией стека).

Тем не менее, есть классрекурсивных функций, вычисление которых можно выполнять без стека –это функции, представляющие так называемую хвостовую рекурсию.Современные лисп-интерпретаторы и компиляторы распознают случаихвостовой рекурсии и оптимизируют вычисление таких функций.42Ключевая идея оптимизации хвостовой рекурсии – выполнениерекурсивной функции так, как если бы она была циклической(итерационной), т.е. её вычисление в строго фиксированном участкепамяти, при этом рекурсивная функция как бы вызывает сама себя безстека.Из приведённых нами примеров простой рекурсии к хвостовойрекурсии относятся только функции Member и RevAppend . Рекурсиясчитается хвостовой, если в теле функции рекурсивный её вызов невстречается в качестве аргумента никакой другой функции.

В то же времяпри вычислении аргументов рекурсивного вызова допускаются обращенияк другим функциям. В теле рассмотренной выше функции Reverseрекурсивный вызов стоял внутри обращения к append, являясь первым еёаргументом, поэтому Reverse нельзя отнести к хвостовой рекурсии.Ещё один пример хвостовой рекурсии – функция FirstАtom,выдающая первый слева атом заданного списочного выражения, например:(FirstАtom '((((P C) D) V)) => PЕё определение:(defun FirstАtom(L)(cond((null L) NIL) ;случай пустого списка((atom(car L))(car L));первый элемент - атом(T(FirstАtom(car L))))) ;просмотр вглубьВ отличие от функции Reverse, выполняющей рекурсивныйпросмотр верхнего уровня исходного списка, называемый иногдарекурсией вширь, функция FirstАtom осуществляет просмотрсписочного выражения вглубь, выбирая для дальнейшего рассмотрения егопервый элемент (т.е.

двигаясь всё время по левой ветви бинарного дерева,представляющего структуру этого выражения). Просмотр заканчивается,когда первый элемент оказался атомом, он и выдаётся в качестверезультата.Простая рекурсия используется также при программировании задач,требующих вложенных просмотров списков (вложенных цикловпросмотра). Определим функцию-предикат (Sublist L1 L2) с двумяаргументами – одноуровневыми списками атомов.

Функция Sublistвыдаёт Т в случаях, когда L1 является подсписком L2 (на верхнем уровне),например:(SubList '(A B) '(Q E A S A B R)) => T(SubList '(A B) '(Q B E A S A R)) => NILДля решения этой задачи кроме рекурсивной SubList потребуетсявспомогательная рекурсивная функция SubL.43; функция SubList ищет в L2 подсписок L1(defun SubList(L1 L2)(cond((null L2) NIL); в L2 нет L1((SubL L1 L2)); вызов SubL для проверки(T (SubList L1 (cdr L2))) )) ;сдвиг по L2;вспомогательная функция SubL определяет,совпадает ли; L1 с началом списка L2(defun SubL(L1 L2)(cond((null L1)T);закончено сравнение L1 и начала L2((null L2) NIL) ;список L2 кончился раньше L1((eql (car L1)(car L2)) ;сравнение 1-х элементов(SubL (cdr L1)(cdr L2)))));и других элементовФункция SubList выполняет рекурсивный просмотр списка L2 дляпоиска в нём подсписка L1.

Если начало списка L2 совпадает с L1 – дляпроверки этого вызывается функция SubL (на второй ветви cond), то L1является подсписком L2. Если же результат этой проверки отрицателен, топроисходит сдвиг по списку L2 для поиска нового возможного началаподсписка. Функция SubList реализует внешний цикл просмотра L2, аSubL – вложенный цикл одновременного просмотра и сравненияэлементов списка L1 с элементами списка L2.2.2. Косвенная рекурсияВсе рассмотренные нами рекурсивные функции относятся к прямойрекурсии, при которой в теле функции встречается один или несколькорекурсивных её вызовов. Более сложным случаем является неявная,косвенная рекурсия, при которой рекурсивный вызов не записан вопределении функции, но возникает во время её вычисления.В качестве примера рассмотрим лисп-программу для переводатрадиционной (инфиксной) записи логического выражения в лисповскую(префиксную). Программа должна преобразовать, к примеру, выражение(X & (Y V TRUE)) в выражение (AND X (OR Y T)).Синтаксис логических выражений можно описать следующими БНФ:логическое выражение ::= логический_операнд & логический_операнд |логический_операнд V логический_операндлогический_операнд ::= TRUE | FALSE | логическая_переменная |( логическое_выражение )Для упрощения программы будем считать, что в исходной логическойформуле логические переменные, константы и операции выделены44пробелами, а сама формула заключена в скобки (это позволяетобрабатывать её как лисповский список).Будем строить нужное преобразование логической формулы наоснове приведённых БНФ.

Определим для этого две лисповские функции,преобразующие к нужному виду логическое выражение и логическийоперанд соответственно. Ветви каждой функции соответствуютальтернативам БНФ, описывающим обрабатываемые конструкции.; функция перевода логического выражения(defun TranExpr (X)(cond((eq (cadr X) '&) ; распознавание конъюнкции(list 'AND (TranOp (car X))(TranOp (caddr X))))(T (list 'OR(TranOp(car X));случай дизъюнкции(TranOp (caddr X)) )) )); функция перевода логического операнда(defun TranOp (X)(cond((eq X 'TRUE) T); перевод константы TRUE((eq X 'FALSE) NIL) ; перевод константы FALSE((atom X) X) ;случай логической переменной(T(TranExpr X)))) ;случай скобочного выраженияФункция TranExpr имеет две ветви для преобразования выражений соперацией конъюнкции и операцией дизъюнкции соответственно – приэтом строится список-обращение к нужной операции с преобразованнымиоперандами.

Функция TranOp, преобразуя логические константы искобочные выражения, в то же время не изменяет переменные.Чтобы инициировать работу этих функций, необходимо обратиться кTranop, например:(TranOp '(X & (Y V TRUE))) =>(AND X (OR Y T))Полученное выражение является лисповской формой и может бытьвычислено в случаях, когда переменные X и Y имеют значения.Воспользуемся для этого функцией eval, пусть значения X=T, Y=NIL:(let ((X T)(Y NIL))(eval(TranOp '(X & (Y V TRUE))))) => T .При первом вычислении функцией eval своего аргумента произойдётпреобразование логической формулы из традиционной записи влисповскую, а при втором вычислении – вычисление логического значенияпреобразованной формулы.Итак, лисп-программа состоит из определений двух функцийTranOp и TranExpr, а также обращения к функции TranOp,45запускающего преобразование логического выражения.