Д.А. Кронберг, Ю.И. Ожигов, А.Ю. Чернявский - Алгебраический аппарат квантовой информатики

Алгебраический аппарат квантовойинформатикиД.А.Кронберг, Ю.И.Ожигов, А.Ю.ЧернявскийМГУ им. М.В.Ломоносова, Факультет ВМК2Пособие основано на обязательных семинарах, проводимых авторамидля студентов третьего курса кафедры суперкомпьютеров и квантовойинформатики ВМК МГУ. В пособие кратко изложены элементарные основы квантовой информатики: формализм и свойства чистых и смешанных квантовых состояний, их преобразования и измерения. Рассмотреназапутанность между двумя подсистемами.

Особое внимание уделено математическим фактам, выходящим за рамки программы первых двухкурсов факультета ВМК (например, алгебра тензоров, SVD-разложениематриц). Приведены задачи для самостоятельного решения и примерырешения типовых задач. Учебное пособие предназначено для студентов3-4 курсов факультета ВМК МГУ, а также других естественных и математических ВУЗов.1.

ВВЕДЕНИЕ13ВведениеДанное пособие основано на семинарах по квантовой информатике, проводимых авторами для студентов третьего курса кафедры суперкомпьютеров и квантовой информатики ВМК МГУ. Целью данного пособия является краткое изложение базовых понятий квантовой информатики, атакже их алгебраических основ. Определенной трудностью в изученииквантовой информатики является отсутствие во многих университетскихкурсах алгебры некоторых разделов, например тензоров. Поэтому особоевнимание уделяется материалу по алгебре, не входящему в обязательнуюпрограмму ВМК.Пособие содержит задачи для самостоятельного решения.

Некоторыезадачи представляют собой доказательства простейших теоретическихсвойств изучаемых объектов, некоторые же имеют практический характер. Сложные задачи помечены соответствующим количеством звездочек. Важные теоретические задачи, которые, по мнению авторов, вызывают наиболее частые затруднения, снабжены указанием на литературу,где можно найти решение, однако рекомендуется попытаться решить ихсамостоятельно. Одной из важных целей при решении представленныхзадач является освоение обозначений, используемых в квантовой информатике.Пособие, как и задачи, необходимо прорабатывать последовательно,т.к. большинство материала связано между собой.Для более глубокого изучения алгебры, используемой в квантовойинформатике, рекомендуется прочесть какой-либо учебник, содержащийраздел, посвященный тензорам, например [1].

Сингулярное разложениематриц и способы его вычисления хорошо изложены в [2].Основной литературой по квантовой информатике являются: [4][5][6].22.1Линейная алгебраГильбертово пространство и сопряженный операторОдним из важнейших объектов квантовой информатики является гильбертово пространство – обобщение евклидова пространства на бесконечномерный случай.

Обычно гильбертово пространство рассматривается в курсе функционального анализа. В книге нам понадобится лишьконечномерный случай такого пространства, и, таким образом, мы подгильбертовым пространством будем понимать конечномерное линейное4пространство (обычно комплексное) с введенным на нем скалярным произведением, обозначаемым (x, y). Иногда такое пространство (конечномерное комплексное пространство со скалярным произведением) называют унитарным.Пусть оператор A действует в гильбертовом пространстве H, тогдасопряженным (или эрмитово-сопряженным) к нему оператором называется оператор A∗ , такой что для любых двух векторов x, y ∈ H выполняется соотношение(x, Ay) = (A∗ x, y).Задача 1. Покажите, что сопряженный оператор единственнен.Замечание 2.1. Иногда через A∗ обозначается комплексное сопряжение,а эрмитово сопряжение через A† .

В книге A∗ обозначает эрмитово сопряжение.Задача 2. Покажите, что в матричном представлении эрмитово сопряжение означает комплексное сопряжение и транспонирование.2.2Сопряженное пространствоСопряженным пространством линейного пространства V над полем Kназывается пространство V ∗ его линейных функционалов, т.е.

функцийf : V → K, таких что для любых x, y ∈ V ; a ∈ K выполняется f (ax) =af (x), f (x + y) = f (x) + f (y).Казалось бы, линейных функционалов больше, нежели векторов. Однако это не так:Задача 3. Пусть V – конечномерное линейное пространство, тогда dim(V ) =dim(V ∗ ).Задача 4. *Покажите, что утверждение предудущей задачи может нарушаться в бесконечном случае.Кроме того, если конечномерное пространство V имеет скалярноепроизведение, то имеется удобный изоморфизм между V и V ∗ .

Т.к. этотизоморфизм важен для дальнейшего понимания, построим его. (Напомним, что изоморфизмом двух линейных пространств называется линейное биективное отображение одного пространства в другое.)Рассмотрим произвольный вектор x ∈ V. Поставим в соответствиеэтому вектору линейный функционал fx (y) : fx (y) = (y, x). Теперь необходимо показать, что для любого f ∈ V ∗ существует x ∈ V : f (y) = (y, x).Пусть (e1 , e2 , . . .

, en ) – ортонормированный базис пространства V. Функционал f в силу линейности полностью определяется своим действием2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА5на базисныхвекторах. Пусть f (ei ) = ci , тогда в качестве x можно взятьP ∗x = ci e i .iЗадача 5. Проверьте, что описанное выше соответствие действительноявляется изоморфизмом.В матричном представлении этот изоморфизм очень прост: для вектора x мы можем рассматривать его сопряженный вектор x∗ , матричноеумножение этого вектора на произвольный вектор y ∈ V : x∗ y = (y, x) –определяет линейный функционал.Замечание 2.2. В бесконечномерных гильбертовых пространствах подобный изоморфизм также существует.

Об этом говорит теорема Рисса[3].2.3Унитарные и эрмитовы операторыОпределение 2.3. Оператор U называется унитарным, если U ∗ U = I.Задача 6. Докажите, что U ∗ U = I ⇔ U U ∗ = I ⇔ U – обратима и U ∗ =U −1 .Замечание 2.4. Свойства обратимости квантовых операторов, доказывающиеся в предыдущей задаче, будет играть важную роль в квантовыхвычислениях.Унитарные матрицы обладают еще одним важным свойством:Задача 7. Докажите, что если U : V → V – унитарный оператор, то длялюбых x, y ∈ V : (x, y) = (U x, U y).Перечислим в виде задачи различные полезные свойства унитарныхматриц.Задача 8.

Докажите, что:1. Унитарные преобразования сохраняют длины векторов и углы между ними, таким образом являясь поворотами и отражениями.2. Унитарное преобразование переводит один ортонормированный базис в другой.3. Собственные значения унитарной матрицы по модулю равны единице.4. Детерминант унитарной матрицы по модулю равен единице.5. Столбцы (строки) унитарной матрицы образуют ортонормированный базис.Определение 2.5. Оператор H называется эрмитовым (или самосопряженным), если H ∗ = H.6Задача 9.

Покажите, что определения унитарного и эрмитова оператораподходят и для матричного представления.Задача 10. Докажите, что собственные значения эрмитовой матрицы вещественны.Одним из важнейших свойств эрмитовых матриц является спектральное разложение:Теорема 2.6. Для любой эрмитовой матрицы H существует разложение H = V DV ∗ , где V – унитарная матрица, а D – вещественнаядиагональная.Замечание 2.7. Т.к.

собственные значения и вектора не зависят от базиса, можно заметить, что на диагонали D стоят собственные значенияматрицы H, а матрица U состоит из её̈ собственных векторов.Следствие 2.8. Эрмитовы матрицы имеют ортонормированный базисиз собственных векторов.Замечание 2.9. Следует отметить, что большинство задач, связанных сэрмитовыми матрицами, решается при помощи спектрального разложения.2.4Матричные функцииПусть имеется квадратная матрица A и функция, представимая своим∞Pразложением в ряд Тейлора: f (x) =ai xi . Тогда можно определитьf (A), как f (x) =∞Pi=0iai A .i=0При таком определении очень легко вычислять функции от эрмитовых матриц:Задача 11.

Пусть H – эрмитова матрица,d1 0 0H = V  0 ... 0  V ∗0 0 dn– ее спектральное разложение. Докажите, чтоf (d1 ) 00 ∗..f (H) = V  0.0 V00 f (dn )2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА77 −1 0Задача 12. M =  −1 7 0 , вычислить 2M .00 4Решение. Собственные вектора матрицы M будут e1 = (0, 0, 1), e2 =(1, 1, 0), e3 = (1, −1, 0), а соответствующие собственные значения (4,6,8).Чтобы построить унитарную матрицу U спектрального разложения, необходимо взять за ее столбцы нормированные собственные вектора. В итогеполучим:√  4√00√1√2 0 00 1/√2 1/ √22M =  0 1/ 2 −1/ 2   0 26 0   0√ 1/√2 1/ √2  =0 0 281/ 2 1/ 2 −1/ 2100160 −96 0=  −96 160 0 00 16При решении предыдущей задачи можно использовать очевидныйприем для сокращения вычислений:Задача 13.

Докажите, что для блочно-диагональной матрицыA1 0 · · · 0 0 A2 · · · 0 A =  .... . ...  .... 00 · · · Anf (A1 )0 0f (A2 )f (A) =  .... ..00Задача 14.······...···00...f (An ).89 −48 0M =  −48 61 0 ,00 1вычислить log5 (M ).Задача 15. * Приведите пример неэрмитовой матрицы M и фунцкии∞Pf (x) =ai xi , для которых не существует f (M ) (т.е. соответствующийряд∞Pi=0i=0ai M i не сходится).8Следующие две задачи показывают связь между унитарными и эрмитовыми матрицами:Задача 16.