Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 5

Пусть F1 = {a} – множество, состоящее из однойточки a ∈ E 2 , F2 = Sr (0) – круг. ТогдаF1 + F2 = {a} + Sr (0) = Sr (a)есть круг радиуса r с центром в точке a (см. рисунок 3.4).36x2Sr (a)aSr (0)0x1Рисунок 3.4Определение 3.2. Произведением (n × n)-матрицы D на множество F ⊂ E n называется множествоDF = {x ∈ E n : x = Df,т.е.DF =!f ∈ F},{Df }.f ∈FПример 3.3. Пусть⎛⎞11√√⎜22⎟⎟,D=⎜⎝ 11 ⎠√−√22ТогдаDF =%F = x ∈ E 2 : |x1 | 1,&x2 = 0 .1x ∈ E 2 : x2 = −x1 , |x1 | √2– отрезок (см. рисунок 3.5).Определение 3.3 (интеграл от класса допустимых управлений). Пусть У – класс допустимых управлений, D(s) – (n × n)матрица, непрерывно зависящая от скалярного аргумента s ∈ [t0 , t];37x2F−1045◦1 x1DFРисунок 3.5t0 < t.

ПолагаемtD(s)У ds =x ∈ En: x =D(s)u(s) ds, u(·) ∈ У ,t0t0ttD(s)[−У] ds = x ∈ E n : x =tD(s)[−u(s)] ds, u(·) ∈ У .t0t0Из формул (5), (10) и определений 3.1, 3.2, 3.3 следуют представления (11), (12).382 Элементы выпуклого анализа в пространстве E n . Три теоремы об интегралах2.4Основные обозначения и определения. Наименьшая выпуклая оболочка множества и её построение. Лемма об отделимости2.4.1 Основные обозначения и определенияE n – n-мерное евклидово пространство,⎛ ⎞⎛ ⎞x1y1⎜ .. ⎟⎜ .. ⎟x = ⎝ . ⎠ , y = ⎝ . ⎠, . .

. – элементы пространства E n ,xnyn(x, y) = x1 y1 + . . . + xn yn – скалярное произведение элементов x и y,x = (x, x)1/2 – норма элемента x,1/2 n2(xi − yi )– расстояние между элементами x и y,x − y =i=1F – множество, лежащее в пространстве E n ,%&Sr (a) = x ∈ E n : x − a r – шар радиуса r с центром в точке a(r 0, a ∈ E n ),&%S = x ∈ E n : x = 1 – единичная сфера с центром в точке 0(0 ∈ E n ),2 – начало доказательства, – конец доказательства.Определение 4.1.

Множество F называется открытым, если длялюбойточки x ∈ F существуетчисло ε > 0 такое, что Sε (x) ⊂ F∀x ∈ F ∃ε > 0: Sε (x) ⊂ F (см. рисунок 4.1).МножестваF1 = {x = (x1 , x2 ) ∈ E 2 : |x1 | < 1, |x2 | < 1},F2 = {x = (x1 , x2 ) ∈ E 2 : x21 + x22 < 1}являются открытыми в E 2 ; множества Sr (a), S не являются открытыми.точкойОпределение 4.2. Точка a ∈ E n называется предельной"множества F , если ∀ε > 0 выполняется условие Sε (a) F = ∅.39Так, для множества F = {x ∈ E n : x < 1} все его предельныеточки образуют множество S1 (0).Определение 4.3. Множество F называется замкнутым, еслионо содержит все свои предельные точки.Множества Sr (0), S замкнуты.Определение 4.4. Множество F называется ограниченным, еслисуществует такое число R > 0, что имеет место включение F ⊂ SR (0),см.

рисунок 4.2.x2SR (0)Sε (x)x0FR x1FРисунок 4.1Рисунок 4.2Определение 4.5. Модулем множества F называется число%&|F | = sup f = inf r: F ⊂ Sr (0) .f ∈Fr0Для любого ограниченногомножества F его &модуль √|F | < ∞.%Модуль множества F = x ∈ E 2 : |x1 | 1, |x2 | 1 равен 2.Определение 4.6. Множество F называется компактом, если онозамкнуто и ограничено.Примерами компактов являются множества%&Sr (0), S, F = x ∈ E 2 : |x1 | 1, |x2 | 1 ;множестваF1 = S1 (0) \ {0},F2 = S1 (0) \ Sне являются компактами (нет замкнутости); множество%&(полуплоскость)F3 = x ∈ E 2 : x2 040не является компактом (нет ограниченности).Определение 4.7. Ω(E n ) – множество, элементами которого являются всевозможные непустые компакты пространства E n .Определение 4.8.

Пусть x, y – точки пространства E n . Отрезком[x, y] с концами x, y называется множество&%[x, y] = z ∈ E n : z = λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1] ,или[x, y] =! %&λx + (1 − λ)y .λ∈[0,1]Определение 4.9. Множество F называется выпуклым, еслиx, y ∈ F ⇒ [x, y] ⊂ F.Так, множество Sr (a) выпукло, а множество S невыпукло. На рисунке 4.3 изображено невыпуклое множество.zxz∈/FyFРисунок 4.3Определение 4.10. conv Ω(E n ) – множество, состоящее из непустых выпуклых компактов пространства E n .Ясно, что conv Ω(E n ) ⊂ Ω(E n ).2.4.2 Наименьшая выпуклая оболочка множества и её построениеОпределение 4.11. Множество G ⊂ E n называется выпуклойоболочкой множества F , если G выпукло и G ⊃ F .Выпуклая оболочка множества определяется неединственным образом, см.

рисунок 4.4.Определение 4.12. Множество H называется наименьшей выпуклой оболочкой множества F , если41GGFРисунок 4.41) H– выпуклая оболочка,2) для любой выпуклой оболочки G множества F выполняетсявключение G ⊃ H.Обозначение наименьшей выпуклой оболочки множества:H = conv F.Для невыпуклого множества F , изображенного на рисунке 4.5 а),наименьшая выпуклая оболочка conv F изображена на рисунке 4.5 б).Fconv Fа)б)Рисунок 4.5Если множество F выпукло, то conv F = F . Для множества F ,состоящего из трёх точек (рисунок 4.6), conv F есть треугольник.Теорема 4.1 (о построении наименьшей выпуклой оболочки).Для любого множества F ⊂ E n существует наименьшая выпуклаяоболочка conv F , которую можно построить следующим образом.

Рас-42***Fconv F***Рисунок 4.6смотрим последовательность множеств....................!Fm+1 =[x, y],F0 = F,![x, y],F1 =x,y∈F0!F2 =x,y∈Fm....................[x, y],x,y∈F1Положим H =∞'m=0Fm . Тогда H = conv F .2 Для доказательства теоремы следует показать, что1) F ⊂ H,2) множество H выпукло,3) любая выпуклая оболочка G множества F содержит множество H: G ⊃ H(см.

определения 4.11, 4.12).Из построения множеств Fm , H следует свойство монотонности:F = F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ . . . ⊂ Fm ⊂ . . . ⊂ H.Проверим выпуклость множества H: x, y ∈ H ⇒ [x, y] ⊂ H. Возьмём две точки x, y ∈ H. Существует такой номер m1 , что x ∈ Fm1 ; существует такой номер m2 , что y ∈ Fm2 . Тогда из свойства монотонности следует, что x, y ∈ Fm , где m = max{m1 , m2 }, и, привлекая определение множества Fm+1 , получаем, что отрезок [x, y] ⊂ Fm+1 ⊂ H.Доказана выпуклость множества H.

Итак, H – выпуклая оболочкамножества F .43Пусть теперь G – любая выпуклая оболочка множества F . ТогдаF = F0 ⊂ G,F1 ⊂ G,...........Fm+1 ⊂ G,F2 ⊂ G,...........H=∞!Fm ⊂ G,m=0т.е. доказано, что H = conv F .Замечание 4.1 (о стабилизации цепочки множеств {Fm } в конечномерном пространстве E n ).

Существует такой наименьший номер s = s(n, F ), что Fs = Fs+1 = . . . = H, причём 0 s n. Так,например, для выпуклого множества F имеем F0 = F1 = . . . = H, т.е.s = 0. Для множества F , состоящего из отрезка и точки, не лежащейна этом отрезке (рисунок 4.7),*F*conv FРисунок 4.7имеем:n = 2, s = 1, F0 = F1 = F2 = . . . = H.Для множества F , рассмотренного выше (рисунок 4.6), n = 2, s = 2,F0 ⊂ F1 ⊂ F2 = F3 = . . . = H,F0 = F1 , F1 = F2 .Замечание 4.2 (об эквивалентной формулировке процесса построения наименьшей выпуклой оболочки множества).

Последовательность множеств {Fm }, введённая в теореме 4.1, может бытьопределена соотношениями!{λFm + (1 − λ)Fm }, m = 0, 1, . . .F0 = F, Fm+1 =λ∈[0,1]44Действительно,!Fm+1 ==!x,y∈Fm![x, y] =!!{λx + (1 − λ)y} =x,y∈Fm λ∈[0,1]{λx + (1 − λ)y} =λ∈[0,1] x,y∈Fm!{λFm + (1 − λ)Fm }.λ∈[0,1]Задача 4.1. Установить включение F ⊂ λF + (1 − λ)F ∀λ ∈ [0, 1].Включение F ⊃ λF + (1 − λ)F, λ ∈ (0, 1), может не выполняться.

Такпри n = 1, F = {−1, +1}, λ = 12 имеем 12 F + 12 F = {−1, 0, +1}, т.е.множество F не содержит множество 12 F + 12 F .Задача 4.2. Показать, что для выпуклого множества F при любомλ ∈ [0, 1] выполняется равенствоF = λF + (1 − λ)F .Задача 4.3. Алгебраическая сумма F1 +F2 выпуклых множеств F1 ,F2 является выпуклым множеством.Задача 4.4. Если F – выпуклое множество, D – (n × n)-матрица,то множество DF выпукло.Задача 4.5. Доказать утверждение о стабилизации цепочки множеств {Fm } в конечномерном пространстве E n , см.

замечание 4.1.Задача 4.6. Если F ∈ Ω(E n ), то conv F ∈ conv Ω(E n ).2.4.3 Лемма об отделимости (строгая отделимость) и её геометрическая интерпретация. Опорная гиперплоскостьЛемма 4.1. Пусть1) H ∈ conv Ω(E n ) (т.е. множество H – выпуклый компакт),/ H (т.е. точка x0 не принадлежит компакту H),2) x0 ∈тогда∃ ψ ∈ E n , ψ = 0: (h − x0 , ψ) < 0∃ ψ0 ∈ S: (h − x0 , ψ) < 0∀h ∈ H,∀h ∈ H.(1)(2)Утверждения (1) и (2) равносильны. Лемма об отделимости имеетпростой геометрический смысл (рисунок 4.8):45Πψx0ψHhΓψРисунок 4.8через точку x0 можно провести гиперплоскость Γψ с вектором нормали ψ такую, что компакт H лежит по одну сторону от гиперплоскостии не имеет с ней общих точек. Другими словами, компакт H лежит воткрытом полупространстве Πψ , ограниченном гиперплоскостью Γψ .Неравенство (1) означает, что вектор ψ образует с векторами h − x0тупой угол при любом h ∈ H. Обратимся к доказательству леммы.2 1. Конструктивное описание вектора ψ.

Пусть h0 – ближайшаяк x0 точка множества H, т.е.min h − x0 = h0 − x0 > 0.h∈H(3)Отметим, что точка h0 называется проекцией точки x0 на компакт H (обозначение: h0 = P rH , x0 ) (см. рисунок 4.9). Минимумв (3) на основании теоремы Вейерштрасса достигается в некоторойточке h0 ∈ H, причём строгое неравенство h0 − x0 > 0 выполняется,/ H и H – компакт. Полагаемтак как x0 ∈ψ = x0 − h0 .(4)2. Покажем теперь, что с определённым равенством (4) вектором ψсправедливо неравенство (1), т.е.(h − x0 , x0 − h0 ) < 0 ∀h ∈ H.Последнее неравенство равносильно следующему(h − x0 , h0 − x0 ) > 0 ∀h ∈ H.46(5)ψ = x0 − h0h0x0HΓψРисунок 4.9Неравенство (5) при h = h0 верно, так как h0 − x0 > 0.

Покажем,что(6)(h − x0 , h0 − x0 ) h0 − x0 2 > 0 ∀h ∈ H.Возьмём любую точку h ∈ H, h = h0 , и рассмотрим отрезок[h, h0 ] = {z ∈ E n : z ≡ h(λ) = λ h + (1 − λ)h0 , λ ∈ [0, 1]}(см. рисунок 4.10).ψ = x0 − h0Hh0λ)h(x0hΓψРисунок 4.10В силу выпуклости множества H имеем: h(λ) ∈ HПоэтому в силу (3)h(λ) − x0 2 h0 − x0 247∀λ ∈ [0, 1].∀λ ∈ [0, 1].(7)Неравенство (7) последовательно преобразуется следующим образом:λh + (1 − λ)h0 − x0 2 h0 − x0 2 ,λ(h − h0 ) + (h0 − x0 )2 h0 − x0 2 ,λ2 h − h0 2 + 2λ(h − h0 , h0 − x0 ) + h0 − x0 2 h0 − x0 2 ,λ h − h0 2 + 2 (h − h0 , h0 − x0 ) 0.Переход к пределу при λ → +0 в последнем неравенстве даёт(h − h0 , h0 − x0 ) 0∀h ∈ H.(8)Докажем теперь неравенство (6), привлекая (8).

Имеем(h − x0 , h0 − x0 ) = (h − h0 + h0 − x0 , h0 − x0 ) == (h − h0 , h0 − x0 ) + h0 − x0 2 h0 − x0 2 ∀h ∈ H.Замечание 4.3. Оба условия леммы об отделимости существенны: утверждение леммы не сохраняется при отсутствии выпуклостикомпакта H, при нарушении замкнутости или ограниченности множества H, при x0 ∈ H.Πψh0ψHhΓψРисунок 4.11Замечание 4.4. Если h0 – граничная точка выпуклого компакта H, то(9)∃ψ ∈ E n , ψ = 0 : (h − h0 , ψ) 0 ∀h ∈ H.48С геометрической точки зрения это означает, что через точку h0 можно провести гиперплоскость%&Γψ = x ∈ E n : (x − h0 , ψ) = 0 ,nкоторая делитодно всё пространство E на два полупространства,из которых полупространство Πψ = {x ∈ E n : (x − h0 , ψ) 0} содержит выпуклый компакт H: Πψ ⊃ H (см.