Ю.Н. Киселёв, С.Н. Аввакумов, М.В. Орлов - Оптимальное управление. Линейная теория и приложения, страница 29

Интегральное преобразование класса допустимых управлений.Теорема об опорной функции интеграла (внесение знака опорнойфункции под зная интеграла).25913. Формулировка трех теорем об интегралах в случае интегрирования линейного непрерывного преобразования класса допустимыхуправлений. Доказательство теоремы о непрерывной зависимости интеграла от верхнего предела.14. Множества достижимости и управляемости линейной управляемой системы.

Их опорные функции. Непрерывная зависимостьэтих множеств от времени.15. Сопряжённое уравнение: представление его решения. Лемма осопряжённой переменной и множествах достижимости и управляемости. Характер зависимости от времени опорной функциимножества достижимости.16. Управляемость. Теорема об управляемости (необходимые, достаточные условия). Основная лемма (условие управляемости в случае t1 − t0 = min при выполнения предположений выпуклости).17. Принцип максимума Л.С. Понтрягина как необходимое условиеоптимальности в линейной задаче быстродействия.

Геометрическая интерпретация.18. Эквивалентная формулировка принципа максимума в терминахмножеств достижимости и управляемости. Геометрическая интерпретация.19. Теорема о достаточных условиях оптимальности в форме принципа максимума с усиленными условиями трансверсальности.20. Понятие локальной управляемости. Достаточные условие оптимальности в форме принципа максимума с условием локальнойуправляемости.21. Лемма о внутренней точке интеграла.

Достаточные условия локальной управляемости для линейной задачи быстродействия вначало координат.22. Теорема существования оптимального управления.23. Понятие о задаче синтеза на примере объектов:⎫а. ÿ= v,⎪⎬ y, v ∈ E 1 ; y(0) = a, ẏ(0) = b;б. ÿ + y = v,t1 → min .⎪y(t1 ) = 0, ẏ(t1 ) = 0;⎭ |v| 1;в. ÿ − y = v,26024. Операции над множествами в евклидовом пространстве; линейные преобразования, суммы, объединения. Опорные функциипреобразованных множеств.25.

Численные методы решения линейной задачи быстродействия сгладкой областью управления. Метод продолжения по параметру, метод проектирования начального состояния на изохрону.Уточнение решения методом Ньютона.26. Теорема о градиенте опорной функции и её применения.27.

Плоские гладкие выпуклые компакты. Параметрические уравнения границы.Список основных вопросов по курсу1. Постановка задачи оптимального быстродействия для линейнойуправляемой системы.2. Экспоненциал и его основные свойства. Формула Коши.3. Множество достижимости, множество управляемости. Их представление и основные свойства.4. Опорные функции и их связь с представлениями выпуклых множеств. Условие непустоты пересечения выпуклых множеств втерминах их опорных функций.5.

Непрерывная зависимость опорной функции от ее аргументов.Хаусдорфово расстояние.6. Теорема об опорной функции интеграла. Свойства интеграла.7. Сопряжённая переменная; опорная функция множеств достижимости и управляемости на сопряжённой переменной; эквивалентная формулировка принципа максимума в терминах опорнойфункции множеств достижимости и управляемости.8. Принцип максимума Л.С. Понтрягина как необходимое условиеоптимальности. Геометрическая интерпретация.9.

Достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума с усиленными условиями трансверсальности.26110. Понятие локальной управляемости и достаточные условия оптимальности.11. Локальная управляемость в начало координат. Лемма о внутренней точке интеграла. Достаточные условия локальной управляемости в начало координат. Достаточные условия оптимальностив начало координат.12. Теорема существования оптимального управления.13. Простейшие задачи синтеза.14.

Управляемость. Теорема об управляемости (необходимые, достаточные условия).15. Линейная задача быстродействия с гладкой областью управления. Численные методы её решения.16. Теорема о градиенте опорной функции и её применения.17. Плоские гладкие выпуклые компакты. Параметрические уравнения границы. Их применение для построения границы множества достижимости плоских линейных управляемых систем.2629 Список литературы[1] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.:Наука, 1983.[2] Благодатских В.И. Линейная теория оптимального управления.- М.: Изд-во Моск.

ун-та, 1978.[3] Осколков К.И. Лекции по оптимальному управлению. - М.: Издво Моск. ун-та, 1984.[4] Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. - М.: Машиностроение, 1968.[5] Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.[6] Благодатских В.И., Григоренко Н.Л., Киселёв Ю.Н. Практикумпо оптимальному управлению. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.[7] Киселёв Ю.Н. Линейная теория быстродействия с возмущениями.

- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.[8] На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничныхзадач. - М.: Мир, 1982.[9] Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессови дифференциальные игры. // Труды Матем. ин-та АН СССРим. В.А. Стеклова. 1985, т. 169, с. 119-158.[10] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1983.[11] Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление.

- М.:Высшая школа, 2001.[12] Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1988.[13] Киселёв Ю.Н. Оптимальное управление. - М.: Изд-во Моск. унта, 1986.263[14] Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. - М.: Наука, 1966, 1969.[15] Киселёв Ю.Н. Быстросходящиеся алгоритмы решения линейной задачи быстродействия. // Кибернетика. Киев. 1990. № 6.С. 47-57.[16] Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Численные алгоритмы линейныхбыстродействий.

// Журнал вычислительной математики и математической физики, 1991. № 12. С. 1763-1771.[17] Аввакумов С.Н., Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Методы решениянекоторых задач оптимального управления на основе принципамаксимума Понтрягина. // Тр. МИ РАН. 1995. Т. 211, С. 3-31.[18] Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Нелинейная краевая задача принципа максимума в линейной задаче быстродействия. // Дифференциальные уравнения, 1995. № 12.

С. 1843–1850; 1996. № 1,С. 44-51.[19] Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Метод потенциалов в линейной задаче быстродействия. // Дифференциальные уравнения, 1996.Т. 32, № 1. С. 44-51.[20] Асеев С.М. Лекция “Задача оптимального управления с линейной динамикой и терминальным функционалом”. Рукопись. Кафедра ОУ факультета ВМиК МГУ. 2001.[21] Аввакумов С.Н. Гладкая аппроксимация выпуклых компактов.// Труды Института Математики и Механики УрО РАН. Екатеринбург. 1996. Т.

4. С. 184-200.[22] Киселёв Ю.Н. Достаточные условия оптимальности в терминахконструкций принципа максимума Понтрягина. // Сборник “Математические модели в экономике и биологии”. Материалы научного семинара. Планерное, Московской обл. М.: МАКС Пресс,2003. C. 57-67.[23] Аввакумов С.Н., Киселёв Ю.Н. Опорные функции некоторыхспециальных множеств. // Проблемы динамического управления. / Под редакцией Ю.С.Осипова, А.В.Кряжимского.

М.:МАКС Пресс, 2005. Вып. 1. C. 24-110.264[24] Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // Доклады АН СССР, 1953. Т. 88,№ 4. С. 601-602.[25] Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решенияпо параметру и наилучшая параметризация. Эдиториал УРСС,Москва. 1999.[26] Bellman R.E., Kalaba R.E. Quasilinearization and nonlinear boundary value problems. NY. 1965.[27] Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач наЭЦВМ.

НД, Киев. 1966.[28] Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative solution of nonlinearequations in several variables. Academic Press, New York andLondon. 1970.[29] Аввакумов С.Н. Метод продолжения по параметру с обратнойсвязью // “Понтрягинские чтения-VII” на ВМШ “Современныеметоды в теории краевых задач”. Тез. докл. Воронеж-1996. 1996.С. 6.[30] Stoker J.J.

Nonlinear vibrations. NY. 1950.[31] Аввакумов С.Н., Киселёв Ю.Н. Примеры решения краевых задач принципа максимума // Конференция “Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках”. Тезисыдокладов. Воронеж, 20-27 января 2000 г. 2000. С. 7.[32] Avvakumov S., Kiselev Yu. Boundary value problem for ODE withapplications to optimal control // Report at the Conference SSI2004.

USA. Orlando. Florida. 5 p.265Содержание1Введение1.1 Постановка математических задач оптимального управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1 Управляемый объект и его динамика . . . . . . .1.1.2 Класс допустимых управлений . . . . . . . . . . .1.1.3 Множества начальных и конечных состоянийуправляемого объекта . . .