В.В. Александров, С.С. Лемак, Н.А. Парусников - Лекции по механике управляемых систем, страница 17

Тогда k1 = −2λ0 , k2 = −λ20 . Выберем λ0 ω0 . При таком выборе k1 и k2 по истечении очень короткогопереходного процесса практически будет выполняться равенствоr = r∗ ,(Δr = ).113Следовательно, дополнительная информация r∗ может рассматриваться также как геометрическая связь, которой подчиняется движение материальной точки M .В рассматриваемом случае уравнения ошибок получаются путемподстановки в уравнения горизонтального канала вместо величиныδv2 ее представленияδv2 = ˙ + ωy δy1 ,а вместо величины δy2 = Δr — величины . Тогдаδ ẏ1 =δv1 + ωy − νz rδ v̇1 =ωy (˙ + ωy δy1 ) − ω02 δy1 + Δfz1 .На практике величинами, зависящими от обычно пренебрегают.

После указанных упрощений получимδ ẏ1 =δv1 − νz r(15.17)δ v̇1 = − (ω02 − ωy2 )δy1 + Δfz1 .Еще одно очевидное упрощение: для самолетных скоростей величина ωy того же порядка, что и величина u — угловая скорость вра2щения Земли. Отношение ωu2 < 4 · 10−3 , поэтому величиной ωy2 по0сравнению с ω02 можно пренебречь.

Перепишем уравнения (15.17) сучетом указанного упрощения, заменив переменную δy1 на переменную α в соответствии с соотношениямиδy1 ∼= −Rα,r ∼= 1,Rδω = −δv1,Rνz = ν.Получимα̇ =δω + νδ ω̇ = − ω02 α + ω02 ε,где ε = −Δfz.gВнутренние свойства навигационной системы определяются свойствами однородных уравнений ошибок, которые в нашем случае имеют видα̈ + ωo2 α = 0,β̇ = 0.Отсюда следует, что приборная вертикаль совершает относительноистинной вертикали гармонические колебания с частотой Шулера ω0 ,кинематическая ошибка β постоянна.114Предположим,что ν = const , ε = ε0 + εs , где ε0 = const .

Динамическая ошибка α в этом случае остается ограниченной, кинематическая ошибка растет линейно во времени. В современных инерциальных навигационных системах рост ошибки обычно не превышаетодной морской мили (1,852км) за час полета.Существует ряд задач мониторинга земной поверхности, осуществляемых при помощи авиации. В этом случае используется комплексная навигационная система, включающая в себя помимо инерциальной системы приемник спутниковой навигационной системыGPS или ГЛОНАСС, доставляющий высокоточную информацию окоординатах самолета.Приемник спутниковой навигационной системы обрабатываетсигнал от видимых навигационных спутников, движущихся вокругЗемли по орбитам с периодом приблизительно двенадцать часов. Наборту каждого спутника установлены атомные часы и передатчик, излучающий цифровой сигнал на определенной частоте.

Спутники располагаются так, что из любой точки земной поверхности или ее ближайшей окрестности в каждый момент времени видны по крайней мере четыре спутника.Навигационные сигналы содержат информацию, позволяющуюопределить в вычислителе приемника координаты спутников. Крометого, приемник определяет время прохождения сигнала до спутника,которое с учетом скорости распространения радиоволн является измерением расстояния до спутника, называемым псевдодальностью:*di = (η1 − η1i )2 + (η3 − η3i )2 + (η3 − η3i )2 + cΔt + i ,где ηj j = 1, 2, 3 — координаты приемника; ηji — координаты i-го навигационного спутника; Δt — рассогласование часов спутниковой системы и часов приемника ( спутниковое время общее для всех спутников); c — скорость света; i — инструментальная погрешность, включающая в себя задержки распространения сигнала в атмосфере, тропосфере и.т.д.Четыре псевдодальности позволяют однозначно определить (сточностью до инструментальных погрешностей) три коорднаты приемника и рассогласование часов Δt.Одна из целей комплексирования — повышение точности определения ошибки приборной вертикали α.Задачу в этом случае можно поставить как задачу оценивания век115тора состояния (α, δω, β, ν, ε0 ) при помощи измеренияw = σ − σ ∗ = Δσ − s = α − β − s .Здесь σ ∗ — информация, доставляемая спутниковой системой, s —погрешность этой информации, которую полагаем белым шумом с известной интенсивностью.Итак, математическое описание задачи сведено к соотношениямα̇ =δω + ν,δ ω̇ = − ω02 α + ω02 (ε0 + εs ),ε̇0 = 0,β̇ =ν,ν̇ = 0,w =α − β − s .Проведем анализ наблюдаемости, используя тот факт, что если наблюдается какая-то переменная, то наблюдается и ее производная.Наблюдаемые переменныеκ1 = α − βκ2 = δωκ3 = α − ε0κ4 = ν.Уравнение, которому подчиняется вектор κ = (κ1 , κ2 , κ3 , κ4 ) имеетвидκ̇ = Aκ + q,где⎛0⎜0A=⎜⎝00100 −ω021000⎞00⎟⎟,1⎠0⎛⎞0⎜ω02 εs ⎟⎟q=⎜⎝ 0 ⎠,0w = κ1 − s .Оценка κ̃ строится по стандартной схемеκ̃˙ = Aκ̃ + K ∗ (w − κ̃1 ).Уравнения ошибок оценки Δκ = κ − κ̃Δκ̇ = AΔκ − K ∗ Δκ1 + q + K ∗ s .Вектор K ∗ выбирается либо постоянным, обеспечивающим компромисс между скоростью затухания переходных процессов в уравненииошибок и среднеквадратическими установившимися ошибками, либоиз реализации фильтра Калмана.Примеры соответствующих числовых расчетов выходят за рамкиэтой лекции.

Заметим только, что дополнительная спутниковая информация имеет очень высокую точность и можно считать, что величины κi , i = 1, . . . , 4 оцениваются практически точно. Тогда ошибка116определения угла α равна ε0 . Для серийных навигационных систем этаошибка не превышает 1 минуты в угловой мере.В заключение заметим, что в инерциальной навигации существуетцелый ряд задач (различные виды калибровки, начальной выставки,коррекции), в которых основой алгоритмов, решающих указанные задачи, составляют фильтры Калмана.117Часть IIВТОРОЙ СЕМЕСТР.

НЕЛИНЕЙНОЕУПРАВЛЕНИЕ ВОЗМУЩАЕМЫМИСИСТЕМАМИЛекция 16Стратегии многоуровневого управлениядвижениемВ курсах теоретической механики и механики сплошных средизучаются статические и динамические системы. При этом вопросыуправления такими системами не рассматриваются. В то же время и вприроде, и в технике имеются динамические системы, снабженные исполнительными механизмами (двигателями), что позволяет изменятьпозицию (состояние) этих систем, т.е. управлять ими. Будем говоритьв этом случае, что рассматривается движение управляемого объекта,которое описывается дифференциальными уравнениями с функциональным включением+ẏ = f (y, u), y(t0 ) = y ∗(16.1)u(·) ∈ U = {u(·) ∈ KC u(t) ∈ Ω ⊂ Rs , t ∈ [t0 , tk )}.Здесь y — n-мерный вектор-столбец координат, описывающий состояние управляемого объекта, u — s-мерный вектор-столбец управляющих воздействий, f (y, u) — дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция своих координат, U — функциональное множество, описывающее имеющиеся ресурсы по управлению движениемобъекта.Функциональная схема управляемого объекта представлена нарис.16.1.Физический смысл управляющих воздействий может быть различным: это могут быть непосредственно управляющие силы и моменты, вслучае если исполнительные механизмы идеальны, или управляющиесигналы, подающиеся на эти механизмы, когда необходимо учесть ихфункционирование.118Движущийся объектИсполнительныемеханизмыИзмерительныеустройстваСистема управленияРис.

16.1. Функциональная схема управляемой системыОписание функционального множества U позволяет представитьразнообразные ограничения на управления u, встречающиеся напрактике, в компактном виде: ограничения на величину или производную, ограничения на интеграл или ограничение в среднеквадратичном (по энергии) и т. д. Из схемы следует, что для формированияуправляющих воздействий нужно наличие исполнительных механизмов, осуществляющих механический процесс (движение системы), атакже сенсоров и системы управления, осуществляющих информационный процесс — формирование управляющих сигналов на основеинформации от сенсоров (см. лекции 1,6).Формирование управляющих сигналов может иметь многоуровневую структуру.1.

Линейная комбинация программного и дополнительного управления при помощи обратнойсвязиПусть задано желаемое движение, которое в дальнейшем будемназывать программным: y п (t), t ∈ [t0 , tk ), t0 < tk ≤ ∞, и программное управление uп (t), реализующее это движение в силу тождества+ẏ п (t) ≡ f (y п (t), uп (t)),(16.2)uп (t) ∈ int Ω, t ∈ [t0 , tk ).При этом различают три ситуации:1) программный управляемый процесс задан в явном виде;2) программный управляемый процесс задан в неявном виде, например, как решение экстремальной задачи;3)программный управляемый процесс неизвестен.Если программный процесс задан в явном виде, то можно рассмотреть задачу позиционного управления, заключающуюся в реализации программного движения y п (t). Для того чтобы осуществить эту119постановку, необходимо знать отклонения реального движения y(t)от программного y п (t). Предположим, что имеется m измерительныхустройств, с помощью которых можно получить первичную информацию о реальном движении.

Обработав эту информацию, можно оценить текущие отклонения x(t) = y(t) − y п (t) и построить алгоритмыформирования управляющих сигналов.Для постановки задачи позиционного управления ограничимсяпростейшей моделью, описывающей получение первичной информации z:z = Ψ(y) + ξ(t),(16.3)где ξ(t) — инструментальные погрешности измерительных устройств.Будем формировать управление u как сумму программного и позиционного управления:u = uп (t) + Δu(x̃, t),где x̃ — оценка отклонений x = y − y п , полученная с помощью алгоритма оценивания, позволяющего обработать первичную информацию.Здесь координаты x̃i (t) описывают первый уровень управления,координаты yiп (t) — второй уровень управления.В силу наличия как инструментальных погрешностей измерительных устройств (16.3), так и возмущающих сил и моментов, действующих на объект, на практике часто возникает именно такая ситуация.При этом вместо математической модели (16.1) приходится рассматривать более сложную модельẏ = f (y, u, v),(16.4)где v — вектор-функция, описывающая влияние возмущающих сил имоментов.В связи с наличием начальных и постоянно действующих возмущений приходится одновременно решать две задачи:a) задачу нахождения программного управляемого процесса;б) задачу реализации программного движения объекта (при этомиспользуются оставшиеся ресурсы управления)Таким образом, замкнутая управляемая динамическая система(УДС) имеет двухуровневую систему управления, нижний уровень ко120v(t)Выборпрограммногоуправляемогопроцесса?uп (t)uИзмерительные- Σj- Исполнительный ДвижущийсяустройстваобъектмеханизмΔu(x̃, t)61Выборx̃позиционногоуправления2z(t)Оцениваниепy (t)6Рис.