2 (Ю.Л. Словохотов - Материалы по курсу кристаллохимии (2011)), страница 5

Для бесконечных фигур,периодических в двух или в одном измерении, такие плоскости обозначают обобщеннымсимволом g от английского слова glide, т.е. «скольжение». По аналогии с взаимодействиемзакрытых элементов симметрии второго порядка (см. ч. 1) обычно говорят, что ось 21,проходящая по линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей g и m вдольнаправления сдвига, является результатом взаимодействия закрытого и открытогоэлементов симметрии. В следующем разделе мы рассмотрим такие взаимодействия болеедетально.ZXYb ||c ||n ||cbna3/81/8d ||an1/4d1/4e ||eeРисунок 2.16. Графические символы плоскостей скользящего отражения, параллельных (||)и перпендикулярных () плоскости рисунка. Обозначения координатных плоскостей a, bи c определяются системой координат XYZ.

Плоскости d с противоположнымнаправлением сдвига чередуются через 1/4 координатной трансляции.На примерах других полимерных цепочек можно увидеть винтовые оси болеевысоких порядков. При этом важно помнить, что открытые элементы могут существоватьтолько в бесконечных периодических фигурах, где всегда присутствуют операциитрансляционной симметрии T=Аt, А – любое целое число. Если вдоль трансляции tпроходит поворотная ось порядка n, бесконечный набор операций симметрии Rk+Аt(0kn) образует группу, в которой можно выделить подгруппу всех винтовых поворотовфигуры. Можно доказать, что инверсионные осиR порядка n>2 при сочетании странсляциями не порождают новых открытых элементов симметрии.

Таким образом, намостается рассмотреть кристаллографические винтовые оси порядка 3, 4 и 6.Построим модельную бесконечную цепь из тетрахлорплатинат-анионов PtCl42– взаслоненной взаимной ориентации (Рис. 2.17 а). Вдоль этой цепи проходит поворотная ось204, совпадающая с направлением трансляций Аt0, где t0 – расстояние между соседнимианионами, А – любое целое число.

Если в каждом звене заменить один атом хлора на Br,слабые вторичные взаимодействия Pt...Pt и Br...Br приведут полученную цепь (PtCl3Br2–)∞в энергетически выгодную заслоненную конфигурацию с поворотом соседних звеньев на90о (Рис. 2.17 б). В этой цепи уже нет поворотной оси 4, но она обладает трансляционнойсимметрией с периодом повторяемости t = 4t0 и винтовой симметрией: поворот цепивокруг оси на 90о против часовой стрелки со сдвигом на t/4=t0 также приводит к еесамосовмещению. Такую винтовую ось обозначают 41; четырехкратный винтовой поворот414 эквивалентен трансляции цепи t=4t0.

Нетрудно построить и другие модельныебесконечные цепи с периодом повторяемости t=nt0, самосовмещающиеся при повороте на360о/n против часовой стрелки со сдвигом на t/n=t0 (где t0 – по-прежнему расстояниемежду соседними звеньями). Каждая такая цепь обладает винтовой осью, по системеГермана-Могена обозначаемой N1 (N=n – целое число, см. гл. 1), где N1n=t в соответствиис формулой (2.8).

Переходя от одиночной бесконечной цепи к бесконечному кристаллу,мы должны ограничиться кристаллографическими винтовыми осями порядка 3, 4 и 6.Модельную бесконечную цепь (PtCl3Br2–)∞ можно, однако, построить и по-другому,поворачивая соседние фрагменты PtCl3Br2– на 90о не против, а по часовой стрелке (Рис.2.17 в). Две полученные цепочки (PtCl3Br2–)∞ энантиоморфны, поскольку они непереводятся друг в друга движениями в трехмерном пространстве (см. ч.

1). Винтовую осьцепи на Рис. 2.17 в обозначают 43. Ниже мы поясним смысл этого символа.(а)(б)(в)(г)Рисунок 2.17. Винтовые оси 4р в модельных цепочках комплексных ионов с плоскоквадратной координацией атома Pt: (а) 4 + трансляции t0, (б) 41, (в) 43, (г) 42.Построим еще одну модельную цепь из дианионов транс-PtCl2Br22-, соседниефрагменты которой развернуты на 90о (Рис.

2.17 г). Вдоль этой цепи, очевидно, проходитповоротная ось 2, а ее период повторяемости равен 2t0. Но у цепочки (транс-PtCl2Br22-)∞21есть и винтовая симметрия: ее поворот на 90о со сдвигом на t0 (теперь это половинатрансляции) также приведет к самосовмещению. Такую винтовую ось обозначают 42;подстрочный индекс «2» показывает, на сколько 1/4 долей трансляции сдвигаетсяпостроенная нами фигура при винтовом повороте с самосовмещением.Рассмотренные модели позволяют дать общее определение винтовой осипроизвольного порядка n. Еще раз подчеркнем, что такие оси присутствуют только вбесконечных периодических фигурах и направлены в них вдоль трансляций Аt (где t –кратчайшая трансляция, А – целые числа).Определение 4. Винтовая ось Np приводит к самосовмещению бесконечнойпериодической фигуры при повороте вокруг оси на угол 360o/N против часовой стрелки сосдвигом вдоль оси на (p/N)t, где p<N – целое число, t – кратчайшая трансляция внаправлении оси.

Таким образом, N-кратное повторение винтового поворота Np1эквивалентно сдвигу фигуры на pt в соответствии с формулой (2.8).Определению 4 соответствует симметрия всех модельных цепочек на Рис. 2.17.При отсутствии сдвига (p=0) винтовая ось превращается в поворотную (ось 4 на Рис.2.17 а). Случаю p=1 отвечает винтовая ось 41, т.е.

поворот против часовой стрелки на 90осо сдвигом на 1/4 трансляции «вверх» от плоскости рисунка (рис. 2.17 б). Действию оси 43на рис. 2.17 в (p=3) отвечает такой же поворот против часовой стрелки на 90о со сдвигомна 3/4 трансляции. Но поскольку любое целое число трансляций t=4t0 также приводит ксамосовмещению цепочки, комбинация винтового поворота 43 и трансляции –4t0эквивалентна повороту на –90о (т.е. по часовой стрелке) со сдвигом «вверх» на четвертьтрансляции. Таким образом, действие оси 43 отвечает винтовому движению «анти-41» почасовой стрелке.

На Рис. 2.17 б атомы Br, связанные осью 41, располагаются на левойспирали, а на Рис. 2.17 в такие же атомы, связанные осью 43, расположены наэнантиоморфной правой спирали. Наконец, ось 42 на рис. 2.17 г отвечает повороту на 900со сдвигом на половину трансляции (t=2t0). В модельной цепи (транс-PtCl2Br22-)∞ атомы Brзанимают положения на ахиральной двойной спирали, поэтому ось 42 не имеетэнантиоморфов.На основе определения 4 легко перечислить все одиннадцать винтовыхкристаллографических осей Np, которые получаются из кристаллографическихповоротных осей N=2, 3, 4 и 6 добавлением нижнего индекса p, принимающего значенияот 1 до n–1. Все оси Np и Nn-p с p  n–p образуют энантиоморфные пары (31 и 32, 41 и 43, 61и 65, 62 и 64; тогда как оси 21, 42 и 63 (p=N/2) не имеют энантиоморфов,.

Графическиесимволы всех винтовых осей показаны на Рис. 2.18. В отличие от учебной литературы, всправочниках по кристаллографии на графиках пространственных групп поворотную ось2, параллельную плоскости рисунка, обозначают двойной стрелкой, а такую же винтовуюось 21 – «половинной» стрелкой.Поскольку винтовые оси Np можно вывести из поворотных осей N того же порядка,все точки, связанные осью Np (симметрически эквивалентные позиции), в проекции вдольнаправления оси располагаются в вершинах правильного N-угольника.

В нижней частиРис. 2.17 показаны такие системы точек для осей 41, 43 и 42. Из рисунка можно видеть, чтодва последовательных винтовых поворота 41 эквивалентны вращению на 180о со сдвигомна половину трансляции, т.е. действию винтовой оси 21:412=21, или 4121(«винтовая ось 21 содержится в винтовой оси 41»). Два винтовых поворота 43эквивалентны вращению на 180о со сдвигом на полторы трансляции, т.е.432 = 21 + t, или снова 432122(«с точностью до трансляции»), а два последовательных винтовых поворота 4 2 приводят кповороту на 180о со сдвигом на одну трансляцию, т.е4222Построив системы эквивалентных позиций для винтовых осей 3-го и 6-го порядков,нетрудно убедиться, что61  31, 21; 65  32, 21; 62  32, 2; 64  31, 2, и 63  3, 21Эти математические соотношения родственны соотношениям между закрытымиэлементами симметрии 42 и 63, 2 (если не забывать, что вдоль винтовых осей всегдаимеются трансляции).2121 ||(2 ||:313232 ||414342616562)и т.

д.6463Рисунок 2.18. Кристаллографические винтовые оси (|| – параллельные плоскости рисунка).2.6. Взаимодействия открытыхпространственных группэлементовсимметрии.ГрафикинекоторыхОбсуждая плоские сетки, т.е. двумерные решетки, мы уже использовали для ихобозначения комбинацию типа решетки и точечной симметрии узла (р2, p2mm, c2mm идр.). Подобное сочетание символов решетки Браве и набора порождающих элементов(среди которых могут быть как закрытые, так и открытые) лежит в основе международнойсистемы обозначения симметрии любых двумерных и трехмерных кристаллов.

Внастоящем разделе мы рассмотрим общие правила построения символовпространственных групп и простейшие примеры их графиков.Определение 5. Совокупность всех преобразований симметрии, приводящих ксамосовмещениюатомнойструктурытрехмерногокристалла,называетсяпространственной группой. Пространственная группа любого кристалла содержитбесконечную подгруппу всех его трансляций: решетку.