С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 104

Ь Таким образом, корреляционная функция К =!() ~ (А!е(ц+ни) АГз(и+к~!)) егьм г(чтя Гь с-Г =г28$ В1з(т(ь — ьт))егдс ай!= 2()егаг 5 В1з(ъх)е" г(х. (8.3.37) Ь е Усредненное уравнение (36) а учетом (37) принимает вид — '= 4рз В' (тх) ага* с(х. (8.3.38) д~'. В области справедливости выражения (38) интенсивность гармоники определяется (31). $ Х СЛУЧАИНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮШЕИ СРЕДЕ 873 Таким образом, результат (31) нами получен двумя способами; 1) как предельное значение усредненного динамического решения (25) и 2) как следствие прямого усреднения уравнения (35). Последний способ применим только в области некогерентного рассеяния (г ь 1„,„) и соответствует приближению марковского случайного процесса (см, 8 7 гл.

1). Именна эту методическую цель мы преследовали, излагая второй способ решения (24). То обстоятельство, что нелинейный оптический процесс на расстояниях г~ь 1„,„можно описывать как случайный марковский процесс, мы уже использовали в 8 6 гл. 6 для анализа процессов параметрического усиления (см. также 8 4 этой главы). Проанализируем теперь спектр второй гармоники О, (ек г) в некогерентном режиме. Для его нахождения применим к соотношению (28) теорему Винера — Хинчина: 6,(а; г)= — „~ В,(т; г) е-' 'Йт, 1 В,(т; г)- ~ 0,(вк г)е' 'йо.

кк Выполняя несложные преобразования (28), получим О, (го; г) з!пс'[(оУ вЂ” Л) г121 Око (а), (8.8.39) где Око(в) определяется сверткой; Ом(оз)=26'г ~ Ом(в — 11)ОШ(й)1и, (8.3.40) Ом(в) — спектр основного излучения. Распределение Ом(в) полностью определяет спектр второй гармоники только в когерентном режиме генерации. Как было показано выше, в этом случае корреляционные функции гармоники и основного излучения связаны между собой алгебраически (см. формулы (8), (15) и (18)).

В иекагереитном режиме (г„~1„„) форма и ширина спектра гармоники зависят от групповой расстройки у и длины г. Изменение спектра гармоники иллюстрируется кривыми, изображенными на рис. 8.5. Видно, что с ростом длины г происходит сужение спектра гармоники. В существенна некогерентном режиме генерации (г ~1„,„) спектр второй гармоники полностью определяется функцией э(пс'((ов — Л) г121 (рис. 8.6). Ширина спектра гармоники по половинному уровню равна Л1о.,"" = — '-й-, или ЛЛ, = — ' — ', (8.3,41) 8,88 кк 2,78 Л1 Ле — длина волны второй гармоники. Таким образом, ширина спектра гармоники Ло1кк оказыаастся обратно пропорциональной 674 гл. в.

случхииые волны в нвлинвиных срадхх времени группового запаздывания тч= иг, т. е. она определяется исключительно дисперсионными свойствами среды. Для произвольного соотношения между длинамн г и ширину Лвз при Л= 0 можно найти приближенно, заменяя в (39) з(псах = ехр) — 0,3бхз). Есля форма спектра основного излучения гауссовская (корреляционная функция (22)), то свертка (40) принимает аид бз, (в) = ехр ( — (со/Лсв,)з), где Лвт определяется формулой (23б).

Тогда из (39) следует, что пирииа спектра гармоники равна (ЛывО) Лв) (г) = ((Лв))-'+(Лв.",') "~ '" = Лвз (1+ 2 (г/(яог) ~ " . (8.3.42) Иногда ширину спектра гармоники (35) в нестационарном режиме генерации удобно определять по первым нулевым значениям модулирующеи функции з!пс'х, когда арг)мент х=)-п. При атом (ср. с (41)) Лсооснк) 4п/иг. Заметим, что при фазовой расстройке ЛчьО спектр гармоники имеет несимметричную форму (см. рис. 8.6), а его максимум приходится на частоту в = — - — (1+(Лв,"Я/Лв,)з)-с. -аа -ае а ае аа и,)ви, Рис.

8.8. Спектральное распределение второй гармоники, возбуждаемой в нестннионарном режиме основным излучением с гауссовской формой спектра, на различных длинах х: 1) ям)ног: )) Я-!„,Р 3) в с) Я з)„, кпнвые 1 — 3 йоатроояы аяя Ь О. Š— Ы вЂ” !. каг Рис. 8.6. Спектральное распределение второй гармоники, возбуждаемой в нестанионарном режиме в кристалле К)ЗР излучением лазера на неоди. маном стекле [421. й 3 СЛУЧАННЫВ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГНРУЮШВА СРВДВ буй Напомним, что от есть отклонение от удвоенной средней частоты основного излучения. Законы распределения; статистика фотоотсчетов. Помимо рассмотренных выше средней интенсивности и спектра (или корреляционной функции) второй оптической гармоники, определенный интерес может представить статистика поля гармоники, которая может быть измерена с помощью метода фотоотсчетов (см.

~ 9 гл. 2). В случае гауссовского основного излучения распределение интенсивности подчиняется закону (2.9.!4) и ему соответствует бозе-эйнштейновское распределение фотоотсчегов (2.9,)5). Статистика же фотоотсчетов гармоники зависит как от статистики основного излучения, так и от режима генерации. й(ы будем считать, что время измерения Т (время выборки) гораздо меньше времени корреляции гармоники тею и для нахождения распределения фотоотсчетов используем упрощенную формулу 1т(анделя (2.9. ! О).

В квазистатическом режиме возбуждения гармоники (х(1„„) при малых коэффициентах преобразования (а ~1„,) согласно ()2а) между мгновенными интенсивностями основного излучения 1, = =1„и второй гармоники 1, имеет место соотношение 1, = йв1! (() = ()2). Этим же соотношением в отсутствие эффектов насыщения можно описывать различные двухфотонные процессы (ионизацшо, детектирование, люминесценцию и т. п., см. чк 1 гл. 5).

При этом параметр () зависит от вероятности многофотонного процесса, а 1, есть либо интенсивность излучения, либо ток фотоэмиссии. Поэтому проводимый ниже анализ одноквантовых фотоотсчетов второй гармоники является в то же время анализом двухквантовых фотоотсчетов основного излучения *). Пусть основное излучение имеет распределение интенсивности (2.9.!4): ю (1т) = 1,' ехр ( — 1т/1а), 1,— среднее значение интенсивности. Поскольку интенсивность второй гармоники определяется выражением (43), ее распределение дается формулой го(1в)=гп(!г 1згР) — '= — ' Р( '1! '). (8.3.44) Ла 2 )г Ьучма е) Следует отмегнтгч что статнсгнну двухквантовых фотоотсчетов удобно измерять, нспользуя именно генерацию второй гармоники.

Прн нспользованнн для этой цели двухквантовой фотоэмнсснн встречаются с проблемон отделения двухквантового фотоэффекта от одноквантового. В случае генерацнн гар. моннк основное излучение можно наде кно от!нльтровюь Сдал ~иное ~амечанне раскростран...св н на генерацкю гариюннк н многоквапгоьые процессы более высокого порядка.

578 Гл. а. случАнные ВОлны В нелинеиных средАх В формуле Манделя (2.9.10) обозначим квантовую эффективность детектора через а и припишем величинам сс и Р индекс 2, указывающий на то, что они относятся ко второй гармонике. Подставим в эту формулу распределение (44). Ра(п) = (т ' ' ехр( — ааТ1а — )гг1а/81ео1 г(1а. Е 2л!)Г'8!17, Для расчета интеграла произведем замену 1,=Ха и воспользуемся формулой 3.462 (ГР, с. 351).

В результате для распределения фотоотсчетов второй гармоники получим выражение (2л)! екр ()14аа) / ! Р,(л)= „.г —.- ' О-!!+ел)~,г=~ (8.3.45) Здесь Ла =2ааРТ)ае — сРеднее число фотоотсчетов гаРмоники, которое в два раза больше, чем при возбуждении гармоники моно- хроматическим излучением с интенсивностью 1,. и(41 йг г 4(агу! б г 4 Гл кг гр Рис. 8.7, Распределения интенсивности (а) и фотоотсчетов (б) для излучения с гауссовской статистикой (!) и его второй гарионики (2), построенные для оди. иакового среднего чкг ла фотоотсчетов. Распределение фотоотсчетов (45) (кривая 2 рис. 8.7, б) существенно отличается от распределения Бозе — Эйнштейна (2.9.15) (кривая 1 рис.

8.7, б). Чтобы убедиться в этом, рассчитаем факториальный момент второго порядка (7.5.35): Н, = (й,— л' — й )1п', который в случае пуассоновского распределения (2.9.12) равен нулю, а для распределения Бозе — Эйнштейна (2.9.15) — единице. Учитывая (2.9.7), запишем Не через моменты интенсивности гармоники: На Я 1а)11а (8.3А6) й з, случАЙные Волны а диспеРГНРуюшен сРеде 677 Пространственная статистика гармоники; генерация анизотропных оптических полей. Как влияет неполная про транственная когерентность основного излучения на процесс удвоения частоты? Естественно, чтобы ответить на этот вопрос, следует рассмотреть эффекты дифракцив. Однако «У име|отся ситуации, когда в геометрооптическом приближении случайная поперечная структура г пучка основного излучения мажет сильно по- 3 влиять на к.

и. д. удвоителя частоты и стах тистические свойства излучения второй гарманики. Ю Ниже будет показано, что различие на- ), 8 8 с) Рис. 8 8. Относительные правлснш( лучевого и волнового векторов не- ориентации вол| аылх и луобыл. овеннар аолцы в а|щзогро;п.а; с) еде, чсвых вся|аров олшэлод эилприводящее к различна направленш тучевых ны (йо э|) и ватны второй вектоРов взаимодействующих вали (г. е. к гармоннки (йэ зй длЯ взаимоденствия оо — г.