С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 102

—,' + — — ' = -(р1АзА;е"*, дА~ 1 дЛ1 д~ В, д~ —,-'-+ — — '-- ((),А(е™. дАз 1 дА, дз и, й Здесь А, и А,— комплексные амплитуды основного излучения и второй гармоники соответственно, Л = 2й, — й, — волновая рас- стройка. Граничные условия для системы (1) в случае генерации гармоники следующие: А1((, г=О)=Ам(С), А,(1, г=О)=0, (8.3.2) (8.3.1 б) где А„(() — случайная функция. В общем случае при и,чьи, и учете обратной реакции волны второй гармоники на волну основной частоты систему уравнений (1) решить ие удается. Это условие называют условием фазового синхронизма. Если же речь идет об удвоении частоты шумовой волны, то условие фазового синхронизма для всех спектральных компонент выполнить не удается.

Картина взаимодействия шумовых волн осложняется и тем обстоятельством, что, помимо умножения частот спектральных компонент волны, возникают нелинейные взаимодействия между спектральными компонентами. Ниже мы убедимся, что эта сложная картина становится физически прозрачной, если воспользоваться временным описанием. В дальнейшем будет показано, что влияние временной некогерентности волн на процесс нелинейного взаимодействия просто описывается в терминах группового запаздывания; основными параметрами при этом являются расстройка групповых скоростей и время группового запаздывания.

Начнем с анализа удвоения частоты излучения с неполной временной когерентностью, а затем рассмотрим возбуждение гармоники пространственно некогерентным излучением. Генерация второй гармоники плоскими шумовыми волнами в первом приближении теории дисперсии описывается уравнениями типа (8,1.20): 564 ГЛ. О.

СЛУЧАЯНЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЯНЫХ СРЕДАХ Поэтому ниже мы будем основываться на анализе приближенных решений уравнений (1). Весьма полное исследование статистических характеристик взаимодействующих волн удается провести в квазистатическом режиме, когда групповые скорости взаимодействующих волн совпадают 14 — 11). В этом случае поле гармоники в некоторой пространственно-временной точке ((, г) определяется полем основной волны В той же самой точке.

Если взаимодействие перестает быть квазистатпческим, аналитическое решение (1) удается записать лишь в довольно сильных предположениях о характере нелинейного взаимодействия: в приближении заданного поля основной волны (вид основной волны в нелинейной среде предполагается заданным, обратная реакция гармоники на основную волну вообще не учитывается) 14 — 12, 37) и в так называемом приближении заданной интенсивности основной волны (интенсивность основной волны предполагается заданной, но учитывается обратная реакция поля гармоники на фазу основной волны) [44). Квазистатический режим. В этом случае предполагается, что и, =ио =и.

Тогда в бегущей системе координат ь=г, п=о — г/и уравнения (1) записываются в виде = — ФА А" '"' ' = — фА(- (8-3.3) В (3) для простоты принято, что А=О (р,= ро= р); величина т1 входит как параметр. Уравнения (3) имеют такой же вид, как и уравнения для взаимодействия плоских монохроматических воли, получаемые из (1) при д/до=О, Переходя к действительным амплитудам р и фазам Ч~г (Аг =от ехр ир,), для уравнений (3) с учетом условий (2) получаем известные решения (см, (1)); Рл (гь г) = Рло (П) зесй 1РРло (П) г), (8.3.4а) ро (ть г) = рло (т)) 15 (дрло(т)) г), (8.3.46) <р, (П, г) = <рло(т)) оро (пь г) = дрло(т1) — и!2. (8.3.4В) Отсюда видно, что между амплитудами и фазами взаимодействующих Волн существуют алгебраические соотношения, т. е. преобразование является безынерционным. Для расчета временных корреляционных функций поля основного излучения и второй гармоники в нелинейной среде, т. е.

функций Во(т; г) =- (р,р„ехр)(~ро — ср„)), (8.3.5а) В,(т; г) =(рлр„ехр ~'(~рл-- рм)), (8. 3. 56) 3 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮШЕЙ СРЕДЕ 665 где Р„=р„(т), г), Р„,=Р„(з)+т, г), в общем случае необходимо знать четырехмерную функцию распределения огибающей и фазы исходной волны. Если падающая основная волна представляет собой случайный гауссовский процесс с симметричным спектром, то четырехмерное распределение согласно формуле (2.4.10) имеет вид ') ю (Р, Р,: р, р,) = ррз ро+рт — 2рр О (т) сон (Чт — Чт ) ) и'о' (1 — Ьо (т)) р 1 оо (1 — оо (т)) Здесь введены обозначения: р = Р„(/), р, = р„(/+ т), О' = ра, Ь (т) — (РР )/Р . В случае возбуждения второй гармоники излучением со стабилизированной амплитудой (например, одномодовым излучением лазера, работающего высоко над порогом генерации) для расчета корреляционных функций (5) нужно знать лишь двумерную функцию распределения фазы (см.

(2.5.49)) цт (гр„Чтзс) = (4п')-' ~) ехр ~ — — из/" (т)~ сод и (Чт„— трз), (8,3.7) где /(т) =От для излучения с лоренцевским спектром и /(т) = — для излучения с гауссовским спектром. со В рассматриваемом случае (рщ — р,=-сопи() для корреляционных трункций после подстановки в них выражения (7) получаем В,(т; г)=/,ехр( — /(т)/2), В (т: г)=1оехр( — 2/'(т)), (8.3.8а, б) где 1, и 1,— интенсивности основного излучения и второй гармоникии соответственно: /з= Ро зес)т'(РРог), /о = Ро ()т (Ррог) (8.3.9а, б) Следует отметить, что точно такие же выражения для интенсивностей имеют место в отсутствие фазовых флуктуаций, т.

е. для монохроматических волн. Согласно (9) интенсивность основного излучения может быть полностью преобразована в интенсивность второй гармоники (рис. 8.2). Из (8) видно, что в процессе нелинейного взаимодействия воли вид корреляционных функпий, а следовательно, и спектров не меняется. При этом для времен корреляций второй гармоники н основного излучения т„, нетрудно получить следующие ') В этом парагра4те для упрощения записи интенсивность волны определяется кзк /=АА*=-рз, строго тье в связи с записью поля в виде (8.1 11) интенсивность / = ср'/2п, 566 гл. а.

случдиньш волны в нилинаиных сриддх соотношения: (8.3.10а) (8.3. 10б) т в=т„,/4, т„т= 2/О для лоренцевского спектра и г,а — — г„/2, тн, =- 2те для гауссовского спектра. Из соотношений (1О) следует, что в случае лоренцевского спектра ширина спектра второй гармоники в четыре раза больше ширины спектра основного излучения, т. е. Лсо<л> 4Лоу(л> (8.3.11а) я ! а в случае гауссовского спектра ширина спектра гармоники больше ширины спектра основного излучения в даа раза, т.

е. Лоу!г! 2Лот!г! (8 3 11б) Л уг/г 5О Полученные результаты, таким образом, показывают, что соотношения между ширинами линий й взаимодействующих волн зависят от формы исходного спектра. Ниже будет установлено, что указанные соотношения зависят, кроме лучени я. Рис 8 2. Зависимость интенсивно- Для исходной волны, прЕдставсти оснонного монохроматичесиого лающей собой случайный процесс иалучения /, (!) и интенсивности С гауСсовСкой Статистикой, точ- а аналитические ~~рижанин для веденного расстояния в иелинеяно: среде г/!нл корреляционных функций (5) по- ничимся зчесь рассмотрением преного ивлучени» нв входе среди.

дельных случаев для второй гар- моники. Но прем!де всего введем характерную нелинейную длину 1„= (йрв)- '. Согласно (9б) на этой длине для случая плоских монохроматпческих волн коэффициент преобразования во вторую гармонику /а/р,' составляет около 60егв (см.

также рис. 8.2). В соответствии с (4) имеем Рг Рта (т)), г ~/н„(8.3.12а) Ры (т)), г ~ /нгс (8.3.12б) Подставляя (12б) и (4в) в (5а), для корреляционной функции второй гармоники получаем (на больших расстояниях) Вн (т; г ~ /нл) = (р„рт„ехр 1!2 (гртв — греет)]). (8.3.13) 4 о. случхнныв волны в диспвягнжощвн сиада 6ат В выражении (13) усреднение следует производить по распределению (6). Воспользовавшись разложением ехр(Ьсозф) = ~ч, 7 (Ь)созтф, после интегрирования по фазам получим В,(т; г) =2аоо$~х,'хоУо(ех,хо)е ( + )о(х,дх„(8.3.14) о где х = р)о, а=(1 — Ь'(т))-, е = 2аЬ(т), 7 (Ь) — функция Бесселя. Для интегрирования (14) воспользуемся формулами 6.643 и ?.621 (ГР, с.

734 и 873); в результате получим В,(т; г~(„,)= — Ь'(т)поР~ —, —, 3; Ь(т)~, (8.3.15) где г (!!2, !/2, 3; х) — гипергеометрическая функция, изменяющаяся от 32)9л-1,13 до ! при изменении аргумента х от 1 до О. В (15) входит квадрат корреляционной функции основного излучения. Поэтому время корреляции гармоники меньше, чем время корреляции исходного излучения. Это связано (см.

(13)) с большим вкладом фазовых флуктуаций во флуктуации поля гармоники по сравнению с их вкладом в поле основного излучения. Средняя же интенсивность гармоники равна средней интенсивности основного излучения: 12 (г> ! „) — 7~0 Другими словами, в квазистатическом режиме взаимодействия волн возможно, в принципе, полное преобразование основного излучения во вторую гармонику.

На малых расстояниях (в приближении заданного поля) корреляционная функция второй гармоники в соответствии с (4в), (5а) и (12а) дается выражением В, (т; г о~ 1„,) (()г)о (р(ор!о, ехр 1(2 (ср,о — тра,)1) = (8 г)о (А'оА~©о). (8 3 ! 6) В данном случае, чтобы найти среднее (16), удобно воспользоваться соотношением (А'(тц) А" (по)) -2 (А (тц) А' (по))о = 2Во (т)о — ти), (8.3.1?) справедливым для случайной комплексной амплитуды А с гауссовской статистикой. С учетом (17) для корреляционной функции (16) получаем В, (т; г ~ 1„,) - 2 фг)о В!о (т). (8.3.18) 568 ГЛ. 8. СЛУЧАННЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕИНЫХ СРВДАХ При этом средняя интенсивность второй гармоники равна 18 (г <*,1„о) 2 фг)о 1[о.