klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 19

Период колебаний математического маятника может быть найден по формуле (1.82), в которой следует при-сое8ц _ расстояние от точки подвеса до плоскости орбиты.§ 24. Затухающие и вынужденные колебанияЗатухающие колебания. В реальных условиях свободные колебания являются затухающими, поскольку всегда имеются силы трения, на преодоление которых расходуется запасенная в системеэнергия. Если поместить рассмотренный ранее пружинный маятникв сосуд с водой, то при движении тела возникнет сила вязкого трения,пропорциональная скорости Д„ = -Ы), и в проекции на ось ОХ уравнение движения примет вид2ахт- 2' а(Это уравнение, приведенное к виду2нять а = I — длине нити, а / = М1 , откуда Т= 2п I—.Независимость периода колебаний математического маятника!от амплитуды (это явление получило названия изохронизма) выпол-|няется только для малых колебаний.

Отметим, что период колебаний!математического маятника не зависит от массы.Математический маятник может совершать движение не только!в вертикальной плоскости. Если нить отклонить на угол а и придать!грузу должную скорость в плоскости, перпендикулярной углу откло-|нения, нить будет двигаться по поверхности конуса, а груз — по ок-1ружности в горизонтальной плоскости. Такой маятник получил на-|звание конического (рис. 1.77).Согласно второму закону Ньютона N + т§ = 1= та.

Проецируя это уравнение на радиус окружности и вертикальную ось О2, получаемV21= т — = /ясгЛ; Л^соза - т& = О,КгдеРис. 1.77. Схема конического маятника108Vцентростремительное ускорение; со — |угловая скорость. Из системы уравнений следу-;со2Лет, что 18 ос =.к:••'!!;*? • •';.»- Фа гз'КлЕш»=(1.94)где — = о>2 — = 2|—1 = 28, 8 = — представляет собой уравнениет' т\2т)1тгармонического осциллятора с затуханием. Известно, что решениеуравнения этого типа имеет вид(1-95)где со =Л /со^-8 2 .

Амплитуда и начальная фаза колебаний могут бытьполучены из начальных условий.Вынужденные колебания. Если возбуждение колебаний происходит не только в начальный момент времени (как в случае собственных колебаний), но и в течение всего процесса движения, то возникающие колебания называют вынужденными.Для реализации нужного движения изменим несколько схему:открепим от стенки второй конец пружины, уберем стенку и прикрепим этот конец к устройству, которое будет продольно двигатьконец пружины по закону гармонического колебания. Тогда на пружину будет действовать внешняя сила Г = Рй ыпр1, меняющаяся"о гармоническому закону с частотой р.

Уравнение движения грузамассы т примет вид109та2х§ 25. Механические волны в упругих средах—тПроведем те же операции по приведению уравнения к каноническому виду, в результате чего получим хорошо известное дифференциальное уравнение~<.2(1.96)тИспользуя справочник, получим общее решение этого уравнения,которое состоит из «короткоживущей» и затухающей со временемчасти и «долгоживущей» периодической части. Нас не интересуетзатухающая часть, относящаяся к переходному процессу установленияколебаний. Поэтому остановимся только на периодической частирешения: х(1) = А&т(р( + ф), где• амплитуда колебаний2а"{26А=-(1.97)• фаза колебаний> = агс1§-(1.98)и по-прежнему 5 = —,приведенного решения видно,2тчто частота вынужденных колебаний системы равна частоте изменения внешней силы.Поскольку амплитуда установившихся вынужденных колебанийтакже зависит от частоты внешних воздействий, анализ полученныхрешений целесообразно начать с рассмотрения графика зависимостиА =/(р) (амплитуды от частоты вынуждающей силы).При малых значениях 8 в области частот около собственной частоты колебаний тела ю0 амплитуда резко возрастает (рис.

1.78). Это явление носит названиерезонанса. Резонанс — явление возрастанияамплитуды колебаний при приближении частоты внешней силы к частоте собственныхколебаний системы. Частота, при которой амплитуда А(р) максимальна, называется резонансной частотой. Ее можно найти из ураваАнения — = 0 , решение которого дает значениеарРис. 1.78. Резонанснаякривая110резонансной частоты О = ,/—-2(—)2.\т2тПонятие о волновом процессе.

В сплошных средах может происходить сложное связанное механическое движение, которое можно свести к комбинации поступательного, вращательного и колебательного движений. Каждый из нас видел, что если в водоем броситькамень, то в момент касания камнем поверхности воды от места касания начинают расходиться круги, представляющие собой системуконцентрических кольцеобразных выпуклостей и вогнутостей — волнна поверхности воды. При этом сама вода остается на месте. Можнозаметить, что вода, сформировав волну в каком-либо месте, не движется вместе с волной, а колеблется на одном месте.

Прохождениеволны через участок поверхности воды с поплавком приводит егок колебанию «вверх — вниз», а в направлении распространения волны он не движется.Такого рода движения распространены в природе. Можно привести много примеров, при всем разнообразии которых есть общаяспецифика. В каждом случае имеется среда (вода, воздух, твердоетело и т.д.), в которой сначала возникает локальное возмущение,потом оно начинает распространяться в среде в разных направлениях, а среда при этом, как целое, не движется вместе с возмущением.Итак, при волновом движении переноса частиц среды вместе с волной не происходит.С другой стороны, в рамках механики Ньютона любое возмущение, приводящее к движению, связано с силами, и при распространении возмущения будет производиться работа, а работа, по определению, есть мера передачи энергии.

Таким образом, при волновомдвижении имеет место перенос энергии без переноса вещества и это основная специфика всех физических волн независимо от ихприроды.Поскольку механические среды имеют поверхностную границу,волны могут возникать как в самой среде (обычно их называют упругими волнами, например звуковые волны), так и на поверхностисреды (поверхностные волны, например, рассмотренные ранее «круги на воде»).В качестве простой модели распространения волны рассмотримДвижение «горбика», образовавшегося вследствие удара палкойпо натянутому резиновому шнуру. Вообще говоря, при ударе по шнуРУ возникают два «горбика», которые начинают двигаться в противоположных направлениях без изменения формы.

Проследим за одним из них. Чтобы сформировать «горбик», частицы шнура должнысмещаться в вертикальном направлении, увлекая за собой в силу^Ругих свойств среды соседние частицы, и обеспечивая, тем самым,Распространение волны вдоль шнура. Таким образом, существуютДве характеристики: скорость движения частиц поперек шнура0искорость движения волны вдоль шнура с (рис. 1.79).111На рис. 1.79 изображен горбик в двапоследовательных момента времени I и I+|(+А1+ А/. Тогда отрезок уД7 — смещение точки]шнура, а отрезок с/\( — смещение волтсДГза время Дг1. При этом скорость V являетсяЧфункцией времени, а скорость с постоянох на.

Таким образом, скорость V связанасо смещением частиц, а скорость с Рис. 1.79. Распространение с распространением возмущения (переноимпульса по шнурусом энергии). Волна при движении сохраняет свой профиль, т.е. у = /(х), где у отклонение от равновесия (оси ОХ) частицы с координатой х. Сохранение профиля волны при движенииозначает, что если волна сформировалась в точке О в момент времени I - О, то в точку с координатой х. она придет в момент времени(--'- и отклонение частиц в этой точке будет меняться со временемс,как такая же функция у = /\ (— Поскольку в противоположномснаправлении (область отрицательных значений х) также распространяется волна, для нее у = /\х,сВолны, в которых направление смещения частиц и направлениераспространения волны перпендикулярны друг другу, называютсяпоперечными.

Существуют волны, в которых направление смещениячастиц и направление распространения волны направлены вдольодной прямой. Такие волны называют продольными. Так, если подвесить на нитях спиральную пружину в горизонтальном положениии с одного конца пружины резко ударить пружину по направлениюоси спирали, то в месте удара возникнет уплотнение витков, котороеначнет передвигаться вдоль пружины, дойдя до противоположногоконца пружины, уплотнение начнет двигаться в обратном направлении. При этом смещение витков и распространение волны будутнаправлены вдоль оси спирали.СоотношениеX,может описывать волну любого просфиля.

Поскольку распространение возмущений в сплошной средепроходит от точки в точке, уравнение, описывающее такой процесс,должно быть дифференциальным. Чтобы получить такое уравнение,достаточно заметить, что вторые частные производные от функции2ду1 82уу по х и I, связаны соотношением- = ——%-.Это соотношение,2дхс2.д(2записанное в виде112/\ 12Ву2дх1 д2ус2 а1(1.99)называется волновым уравнением.В общем случае, когда волна распространяется в пространствев произвольном направлении, волновое уравнение имеет вид:дх2 ду2где/ч?=/(/ -Л- ; г — радиус-вектор с координатами (х,у, г).VС)Характеристики волнового движения.