klassicheskaya_mekhanika (Вырезка из книги), страница 17

Введем понятие потока вектораскорости через произвольную поверхность. Элементарный потоквектора скорости жидкости 4N через элемент поверхности 45 равен= (V• 45) = (V • п)45 =•п)45 = Vп45,где п — нормаль к элементу поверхности 45.Ясно, что элементарный поток 4N равен объему жидкости, протекающей за единицу времени через элемент поверхности 45 в направлении внешней нормали. Тогда поток вектора скорости черезпроизвольную поверхность N = \и„а5.5Если приходится иметь дело с вычислением потока через замкнутую поверхность, то поток определяется как интеграл по замкнутойповерхности N = <5и„45.

Очевидно, что этот поток равен количеству жидкости, вытекающей в единицу времени из объема, ограниченного замкнутой поверхностью 5". Если N < О, то внутрь поверхности |втекает больший объем жидкости, чем вытекает из него. Если N > О,96то наружу вытекает больше жидкости, чем«2втекает внутрь.

Если N = 0, то объемы втекающей и вытекающей жидкости равны.Рассмотрим трубку тока и посчитаемпоток через замкнутую поверхность, ограниченную боковой поверхностью трубки Рис. 1.67. К выводу урави двумя сечениями ^ и 52, перпендикулярнения неразрывностиными линиям тока. Скорости частиц жидкости в этих сечениях соответственно равны у( и и2 (рис. 1.67).

Поток вектора скорости жидкости через замкнутую поверхность будетскладываться из потоков через сечения 1^, 52 и боковую поверхность(поток жидкости через боковую поверхность равен нулю, так каклинии тока не пересекают поверхность трубки тока). Поток черезсечение ^ отрицательный, так как угол между направлением скорости и направлением внешней нормали равен 71(со8л = -1), и равен^\5\.

Поток через сечение ^положительный, так как на этой поверхности угол между направлением скорости и направлениемвнешней нормали равен нулю и равен и252. В результате суммарный поток через замкнутую поверхность N = -и[51 + и252. Так какпоток стационарен, плотность жидкости постоянна, ее количество внутри выбранной замкнутой поверхности неизменно, и, следовательно, суммарный поток N = 0. Другими словами, при стационарном течении сколько жидкости входит в замкнутый объем,столько и выходит из него.

Таким образом, для стационарногопотока несжимаемой жидкости справедливо уравнение неразрывностиV^5^ =(1.81)Основное уравнение гидродинамики. Рассмотренное ранееописание текущей жидкости является кинематическим. Динамическое описание предполагает вывод уравнения движения жидкостина основе динамики Ньютона.Первым, кто использовал уравнение Ньютона для описания текущей жидкости, был Л. Эйлер. Изучая движение твердого телав жидкости, Эйлер, по сути, и создал новую механическую модель —модель сплошной среды, использовав придуманную им аксиому,согласно которой второй закон Ньютона справедлив и для элементатвердого тела или жидкости, мысленно выделенного из всей среды.Именно новый подход позволил Эйлеру составить дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (т.е.

жидкости, у которой отсутствует внутреннее трение). Действия Эйлера сводилиськследующим операциям.Выделим область жидкости, находящуюся в точке г (х, у, %), в форМекуба объемом 4т: = 4х4у4%. Этот элемент жидкости будет испытывать действие контактных сил со стороны окружающей жидкостииДействие силы тяжести (рис. 1.68).97рКонтактное действие определяетсядавлением. Давлением р называется ска- |лярная физическая величина, равнаяотношению нормальной составляющей!внешней силы, действующей на элементарную площадку, к площади поверхно-1Р\сти этой площадки: р =—У-.

Единица из-|•]мерения давления в СИ — паскаль (Па),|1 Па = 1 Н/м2. Внесистемной единицей]давления является 1 мм рт. ст. = 133 Падавление, оказываемое столбом ртутиЦРис. 1.68. К выводу основ- высотой 1 мм на дно сосуда.ного уравнения гидродинаНа грань куба ахау снизу вверх дей-1микиствует сила /V = рахау, а на противопо-]ложную грань — сила р± = (р + Ар)ахау= р1 ахау. Так как размеры куба малы,|то малое приращение давления на отрезке а?, вдоль направлениядействия силы тяжести Ар=р1-р=''Ъ Итак, вдоль оси 02" на![р += ахауа?, -объем куба). Сила тяжести, действующая на рассматриваемый эле-1мент, равна р§с1г, где р — плотность жидкости; § — ускорение сво-|бедного падения.

Тогда по второму закону Ньютонагде VI — компонента скорости по оси 2О.В направлениях других осей сила тяжести не действует, поэтомуполученные по аналогии уравнения будут иметь вид:ОУХ __дра"1дх'аи:удрагду'Объединим полученную систему скалярных уравнений в векторное уравнениедудт.где /,_/, 1с — единичные орты.| Ф ~ др ~ др .-ЛпьекторI — / + — У + — & В математической теории поля обозна-|В окончательном виде уравнение(1.82)носит название основного закона гидродинамики для идеальной (безтрения) жидкости. Формула справедлива как для стационарного, таки нестационарного потоков идеальной жидкости.Уравнение Бернулли. Другой подход к описанию движения жидкостей использовали И.

Бернулли (1667—1748) и Д. Бернулли (1700—1782), отец и сын. Для получения уравнения движения они использовали закон сохранения энергии (в те времена он назывался законсохранения живых сил), а не законы Ньютона. Получим уравнениедля стационарного течения несжимаемой жидкости, используя подход И. и Д. Бернулли. (Отметим, что это уравнение можно такжеполучить и используя основное уравнение гидродинамики.)Рассмотрим частицу жидкости, текущую по трубке тока и занимающую в момент времени I участок трубки длиной 7—2 (рис.

1.69).Пусть за время А/ частица переместилась по трубке и в моментвремени /Ч А(занимает участок трубки Г —2'. Тогда изменения,которые произошли при перемещении данной частицы жидкости,состоят в том, что часть объема частицы жидкости ^Д*! занялаобъем 6"2Дх2, где Ах\ — смещение заднего фронта частицы за времяА1, а Ах2 — смещение переднего фронта частицы за время А/; ^У,,52 — площадь сечения трубки в положениях соответственно 7 и 2.Средняя часть 1' — 2 не изменила своего состояния, просто онасостоит из других молекул. Используем для нахождения уравнениятеорему о кинетической энергии: АЕ = А, где А.Е — приращениекинетической энергии частицы жидкости; А — работа сил тяжестии давления.

Тогда в соответствии с выбранными обозначениямии рисунком имеемД/игл222(1.83)Ат^/?!) + /!Ах, - Г2Ах2.Масса несжимаемой жидкости, протекающей за равные промежутки времени через любые поперечные сечения трубки тока, не должна изменяться. Такимобразом, Аяг = р51Ах, = р6>,АГ = р^2Ах2 == Р^2г;2А/, .р\ = р{81, Р2 = рг8г.

Подставляясоответствующие выражения для массыисилы и разнося слагаемые с одинакоБЬШИ индексами в разные стороны от знаКачается символом §гайр и называется градиентом давления.98равенства, получим - - + р1+р§Н1 = Рис. 1.69. К выводу уравнения Бернулли99= Н-2. + р2 + Р8&2- Поскольку сечения / и 2 были выбраны совершенно произвольно, то уравнение может быть представлено в общемвиде,р + рЩП += СОП81.(1.84)Уравнение Бернулли, названное в честь Даниила Бернулли, одного из представителей семьи Бернулли, внесших существенныйвклад в развитие математики и механики, позволяет находить скорости ламинарного течения жидкостей в трубах переменного сечения.Например, проведем оценку скорости истечения жидкости из медицинского шприца, если медсестра давит на поршень шприца с силойР.

Для этого надо рассмотреть линию тока вблизи оси симметриишприца и применить к ней уравнение Бернулли. В результате полу7Е1ним: р0 + - - +—ри() = р0 + —ри2, где р0 — атмосферное давление;5*0 25^ — площадь сечения поршня; р — плотность жидкости; УО — скорость жидкости у поршня; V — скорость истечения жидкости из шприца. Кроме того, из уравнения неразрывности следует, что УО^О = иЗ,где 5 — площадь сечения иглы. Подставляя значение и0 = гл^/^о в уравнение Бернулли, найдем скорость истечения жидкости из шприцаV=.

Так как обычно 5"0 » ,5", можно считать, чтоV «\2Р5Если учитывать вес жидкости, то &гайр = р%. В системе координат с направленной вниз осью О^это уравнение эквивалентно тремскалярным уравнениямдр „ др „ др— = 0; — = 0; — =дхдуд%(1.85)В этом случае давление зависит только от координаты ^. Для однородной несжимаемой жидкости в результате интегрирования уравнения (1.85) получим Р = р0+Р8г, где р0 — давление жидкостина уровне ^ = 0. Если начало координат поместить на свободной поверхности жидкости, давлениер0 будет атмосферным давлением. Этаформула определяет давление жидкости на дно и стенки сосуда,а также на поверхность всякого тела, погруженного в жидкость.Получить зависимость давления в жидкости от глубины можнопутем рассмотрения равновесия жидкости в цилиндрическом сосуде,не прибегая к интегрированию.

Выделим объем жидкости в виде слоявысоты п, прилегающего к поверхности (рис. 1.70). На него действуют силы давления со стороны верхней р08, нижней р8 и боковых Р6поверхностей, а также сила тяжести М§ (5 — площадь сечения цилиндрического сосуда). Так как жидкость находится в равновесии,векторная сумма сил, действующих на слой жидкости, равна нулю,что в проекции на вертикальную ось дает уравнениер05 - р8 + М§ = 0.(1.86)Поскольку масса жидкости в выделенном слое М = рУ = р5п,уравнение (1.86) принимает вид: р05 - р8 + р5п§ = 0, откуда(1.87)р=р0+рЬ§.§ 22.

ГидростатикаЗакон Паскаля. Гидростатика рассматривает равновесие жидкости, при котором скорость жидкости равна нулю и основное уравнение гидродинамики принимает вид: §тайр = р#. При этом еслине учитывать вес жидкости, то §гайр = 0, что тождественно выпол„ 8р др др пнению уравнении — = — = — =0, из которых следует, что в отсутстдх ду д%вии силы тяжести давление во всех точках покоящейся жидкостиодинаково. Данное утверждение эквивалентно закону Паскаля, установленному экспериментально в середине XVII в. одним из величайших французских мыслителей Блезом Паскалем (1623—1662)и носящему его имя. Как правило, закон Паскаля приводится в несколько иной формулировке: давление, оказываемое на поверхностьжидкости внешними силами, передается одинаково во всех направлениях.100На графике зависимости давления в жидкости от глубины п (рис.1.71) пунктир соответствует отрицательной глубине: например, давлению в трубке с ртутью в знаменитом опыте Торричелли по определению атмосферного давления (Эванджелйста Торричелли (1608—1647) — итальянский математик и физик, ученик Галилея).

В опыте-А,,Рис. 1.70. К вопросу о равновесиижидкостиАРис. 1.71. Зависимость давленияжидкости от глубины101Торричелли (рис. 1.72) стеклянная трубка длиной~1 м, запаянная с одного конца и заполненнаяртутью, опускается открытым концом в чашус ртутью. При этом ртуть выливается в чашуне полностью, а частично — таким образом, чторазность уровней ртути в трубке и чаше составляет примерно Н - 760 мм. Полную высоту столба жидкости А 0 в опыте Торричелли можно найтиприравниваядавление нулю: р = р0 - р/г^ = О,Рис. 1.72.