Электричество (Лекции), страница 2

Эта формула справедлива только для электрическогополя неподвижных зарядов (электростатического).8. Потенциальная энергия заряда.В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работаконсервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.Поэтому работу A12 можно представить, как разность потенциальныхэнергий заряда q0 в начальной и конечной точках поля заряда q1 qq01 qq0−= W1 − W2 .4πε0 r14πε0 r2Потенциальная энергия заряда q0 , находящегося в поле заряда q нарасстоянии r от него равна1 qq0W=+ const .4πε0 rA12 =Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальнаяэнергия обращается в нуль, получаем:const = 0 .Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия(отталкивания) положительна, для разноименных зарядов потенциальнаяэнергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна.Если поле создается системой n точечных зарядов, то потенциальнаяэнергия заряда q0 , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальныхэнергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельностиnnq.4πε0 rii =1W = ∑U i = q0 ∑i =19.

Потенциал электростатического поля.ОтношениеWq0не зависит от пробного зарядаq0и является,энергетической характеристикой поля, называемой потенциаломϕ=W.q0Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля естьскалярная физическая величина, определяемая потенциальной энергиейединичного положительного заряда, помещенного в эту точку.Электричество3–83–9Например, потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q , равен1 qϕ=.4πε0 rA12 = W1 − W2 = q0 (ϕ1 − ϕ2 ) = q0 Δϕ .то есть, равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциаловв начальной и конечной точках.Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом полеопределяется работой, совершаемой силами поля, при перемещенииединичного положительного заряда из точки 1 в точку 2электростатическогопотенциала.12.

Эквипотенциальные поверхности.Для графического изображения распределения потенциала используютсяэквипотенциальные поверхности – поверхности во всех точках которыхпотенциал имеет одно и то же значение.222111поля,A12 = ∫ F d l = ∫ q0 E d l = q0 ∫ E d l .Отсюда2E = − gradϕ = −∇ϕ .Знак минус показывает, что вектор E направлен в сторону убыванияA12.q0Пользуясь определением напряженностиможем записать работу A12 в видеϕ1 − ϕ2 = Δϕ =∂∂∂i+j+ k.∂x∂y∂zПоскольку F = qE и W = qϕ , то10. Разность потенциаловРабота, совершаемая силами электростатического поля при перемещениизаряда q0 из точки 1 в точку 2, может быть представлена какϕ1 − ϕ2 = Δϕ =где ∇ ("набла") – оператор Гамильтона: ∇ =2A12= E d l = ∫ El d l .q0 ∫11где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющейначальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля независит от траектории перемещения.Если перемещать заряд q0 из произвольной точки за пределы поля(на бесконечность), где потенциальная энергия, а значит и потенциал, равнынулю, то работа сил электростатического поля A∞ = q0ϕ , откудаAϕ= ∞ .q0Таким образом, еще одно определение потенциала: потенциал –физическая величина, определяемая работой по перемещению единичногоположительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность.Единица потенциала – вольт (В): 1В есть потенциал такой точки поля, вкоторой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В=1Дж/1Кл).Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полей:Если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системызарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов.11.

Связь между напряженностью и потенциалом.Для потенциального поля, между потенциальной (консервативной) силой ипотенциальной энергией существует связьF = − grad W = −∇W .А.Н.Огурцов. Физика для студентовЭквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разностипотенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностямибыли одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей нагляднохарактеризует напряженность поля в разных точках.

Там, где эти поверхностирасположены гуще, напряженность поля больше. На рисунке пунктиромизображенысиловыелинии,сплошнымилиниями–сеченияэквипотенциальных поверхностей для: положительного точечного заряда (а),диполя (б), двух одноименных зарядов (в), заряженного металлическогопроводника сложной конфигурации (г).Для точечного заряда потенциал ϕ =1 q, поэтому эквипотенциальные4πε0 rповерхности – концентрические сферы. С другой стороны, линиинапряженности – радиальные прямые. Следовательно, линии напряженностиперпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.Можно показать, что во всех случаях1) вектор E перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и2) всегда направлен в сторону убывания потенциала.13. Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатическихполей в вакууме.1.

Электростатическое поле электрического диполя в вакууме.Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом)называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов( + q,− q ), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния дорассматриваемых точек поля (l << r ) .Плечо диполя l– вектор, направленный по оси диполя ототрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними.Электричество3–103–11Электрический момент диполя p e – вектор, совпадающийпо направлению с плечом диполя и равный произведению модуляpe = q lзаряда q на плечо l :1) Напряженность поля диполя на продолженииоси диполя в точке АE A = E+ − E− , ϕ = ϕ+ + ϕ− .Пусть r – расстояние до точки А от серединыоси диполя. Тогда, учитывая что r >> l ,1q1q1 2ql−==224πε0 ⎛4πε0 ⎛4πε0 r 3l⎞l⎞⎜r − ⎟⎜r + ⎟2⎠2⎠⎝⎝1 2 pe=,4πε0 r 31 ⎛ qq ⎞1 ql1 pe.ϕA =−=⎜⎟=4πε0 ⎝ r − l / 2 r + l / 2 ⎠ 4πε0 r 2 4πε0 r 2EA =2) Напряженность поля в точке B на перпендикуляре, восстановленном коси диполя из его середины при r ' >> l1q1qEB l≈≈ , поэтому,E+ r '4πε0 ( r ')2 + ( l / 2 )2 4πε0 ( r ')2l1 ql1 pe=,E B = ( E+ ) =3r ' 4πε0 (r ')4πε0 (r ')3ϕB = 0 .Точка В равноудалена от зарядов + q и − qE+ = E− =диполя, поэтому потенциал поля в точке В равеннулю.

Вектор E B направлен противоположновдоль направления поля E (рис.(а)).Во внешнем однородном поле момент парысил равен M = qEl sin α или M = [ pe , E ] . Во внешнем неоднородном поле(F2> F1) и ихрезультирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большейнапряженностью – диполь втягивается в область более сильного поля.2. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью+σ = d q d S . Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемойплоскости и направлены от нее в обе стороны.А.Н.Огурцов.

Физика для студентовϕ1 − ϕ2 =x2x2x1x1∫ Edx =σσ∫ 2ε0 d x = 2ε0 ( x2 − x1) .3. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженныхплоскостей с равными по абсолютному значению поверхностнымиплотностями зарядов σ > 0 и −σ .Из предыдущего примера следует, что векторы напряженности E1 и E 2первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направленыперпендикулярно плоскостям. Поэтому в пространстве вне плоскостей оникомпенсируют друг друга, а в пространстве между плоскостями суммарнаянапряженность E = 2E1 . Поэтому между плоскостямивектору l .3) Во внешнем электрическом поле на концыдиполя действует пара сил, которая стремитсяповернутьдипольтакимобразом,чтобыэлектрический момент p e диполя развернулся(рис.(в)) силы, действующие на концы диполя, неодинаковыВ качестве Гауссовой поверхности примемповерхность цилиндра, образующие которогоперпендикулярны заряженной плоскости, аоснования параллельны заряженной плоскости илежат по разные стороны от нее на одинаковыхрасстояниях.Так как образующие цилиндра параллельнылиниям напряженности, то поток векторанапряженности через боковую поверхностьцилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен суммеσпотоков сквозь его основания 2 ES .

Заряд, заключенный внутриE=2ε 0цилиндра, равен σS . По теореме Гаусса 2ES = σS ε0 , откуда:E не зависит от длины цилиндра, т.е. напряженность поля на любыхрасстояниях одинакова по модулю. Такое поле называется однородным.Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x1 и x2от плоскости, равнаE=σε0(в диэлектрике E =σ).εε0Поле между плоскостями однородное. Разность потенциалов междуплоскостямиddσσddx=εε00 0ϕ1 − ϕ2 = ∫ E d x = ∫0(в диэлектрике Δϕ =σd= Ed ).εε04. Поле равномерно заряженной сферической поверхности.Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряженаравномерно с поверхностной плотностью σ =q.4πR 2Электричество3–123–13Поскольку система зарядов и, следовательно,само поле центрально-симметрично относительноцентра сферы, то линии напряженности направленырадиально.В качестве Гауссовой поверхности выберем сферурадиуса r , имеющую общий центр с заряженнойсферой.

Если r > R , то внутрь поверхностипопадает весь заряд q . По теореме Гауссаq1 q σR 2, откуда E ==, (r ≥ R).ε04πε0 r 2 ε0 r 2При r ≤ R замкнутая поверхность не содержит4πr 2 E =По теореме ГауссаE=r2Если принять r1 = rr1r1поверхности ϕ =ρ=q=Vq.4 πR 33Центршараявляетсяцентромсимметрии поля.1) Для поля вне шара ( r > R ) получаем тот жерезультат, что и в случае сферической поверхностиE=2) При r = RE=По теореме Гаусса (при r > R )E=5. Поле объемно заряженного шара.Заряд q равномерно распределен в вакууме пообъему шара радиуса R с объемной плотностью1 qqq ⎛1 1⎞, ϕ=, ϕ1 − ϕ2 =⎜ − ⎟.4πε0 r 24πε0r4πε0 ⎝ r1 r2 ⎠1 qρRqρR 2.=,ϕ==4πε0 R 2 3ε04πε0 r 3ε03) Внутри шара сфера радиусом r < R охватывает заряд q =А.Н.Огурцов.

Физика для студентов4 3πr ρ .3q(r22 − r12 ) .8πε0 R 3dq.dlЛинии напряженности будут направлены порадиусам круговых сечений цилиндра содинаковойгустотойвовсестороныотносительно оси цилиндра.ВкачествеГауссовойповерхностивыберем цилиндр радиуса r и высотой lкоаксиальный с заряженной нитью.Торцы этого цилиндра параллельнылиниям напряженности, поэтому поток черезних равен нулю.Поток через боковую поверхность равенE 2πrl .1 q.4πε0 rσRq=.4πε0 R ε0r1q,3π3 Rравномерно с линейной плотностью τ =и r2 = ∞ , то потенциал поля вне сферическойϕ=ϕ1 − ϕ2 = ∫ E d r =46. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен1 qq ⎛1 1⎞dr =⎜ − ⎟.24πε0 r4πε0 ⎝ r1 r2 ⎠Вне заряженной сферы поле такое же, как поле точечного заряда q ,находящегося в центре сферы.