Магнетизм (Лекции), страница 2

Магнитное поле свободно движущегося заряда.Проводник с током создает вокруг себя магнитное поле. Электрический токG– это упорядоченное движение электрических зарядов. Магнитное поле Bточечного заряда q , свободно движущегося с постоянной нерелятивистскойGскоростью υ ( υ << c )G GG μ0μ q[υ,r ]B=,34π rμ0μ qυsin α ,4π r 2Gгде r – радиус-вектор, проведенный из заряда q к точке наблюдения, α – уголG Gмежду υ и r .B=15. Сила Лоренца.Так же как и на проводник с током, магнитное поле действует и наотдельный заряд, движущийся в магнитном поле.Сила, действующая на электрический заряд q , движущийся в магнитномGGполе B со скоростью υ , называется силой ЛоренцаGGGG GF = q[υ, B]или F = qυB sin α ,где α – угол между υ и B .Магнетизм4–84–9Сводная таблица.Проводник с токомСвободно движущийся зарядМагнитное полеСила,действующая наGG μ0μ I [d l , rG ]dB =4πr3закон Био–Савара–ЛапласаJJJGJJG Gd F = I [d l , B ]Суммарное движение будет движением поспирали, ось которой параллельна магнитномуполю.

Шаг винтовой линии h = υ||T = υT cos α , гдеG GG μ μ q[υ,r]B= 04π r 3T=GG GF = q[υ, B]сила Амперасила ЛоренцаНаправление силы Лоренца, так же как исилы Ампера, определяется по правилу левойруки. Сила Лоренца всегда перпендикулярнаскорости движения заряженной частицы. Поэтомуона изменяет только направление этой скорости,не изменяя ее модуля.

Следовательно, силаЛоренца работы не совершает.Постоянное магнитное поле не совершаетработы над движущейся в нем заряженнойчастицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитномполе не изменяется.GДвижение заряда, на который кроме магнитногополя с индукцией BGдействует и электрическое поле с напряженностью E , описывается формулойЛоренцаGGG GF = qE + q[υ, B] .16. Движение заряженных частиц в магнитном поле.Считаем, что магнитное поле однородно и на частицы не действуютэлектрические поля. Рассмотрим три возможных случая:G G1.

υ B – Заряженная частица движется в магнитном поле вдоль линийGGмагнитной индукции (угол α между векторами υ и B равен 0 или π ).Сила Лоренца равна нулю. Магнитное поле на частицу не действует, и онадвижется равномернои прямолинейно.G G2. υ ⊥ B – Заряженная частица движется в магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции (угол α = π / 2 ).Сила Лоренца F = qυB : постоянна по модулю и нормальна к траекториичастицы. Частица будет двигаться по окружности радиуса R с центро-υ2mυ2. Из второго закона Ньютона qυB =RRmυ2πR 2πmполучаем радиус окружности R =и период вращения T =.=qBυqBстремительным ускорением an =3. Заряженная частица движется под углом α к линиям магнитнойиндукции.Движение частицы можно представить в виде суммы двух движений:1) равномерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростьюυ|| = υ cos α ,2πRmυ– период вращения частицы, и R =υqB2πmυ cos α.h=qBЕсли магнитное поле неоднородно изаряженная частица движется под углом к линияммагнитного поля в направлениивозрастанияGполя, то величины R и h уменьшаются с ростом B .

На этом основанафокусировка заряженных частиц магнитным полем.17. Эффект Холла.Эффект Холла – это возникновение электрического поля в проводникеили полупроводнике с током при помещении его в магнитное поле.Эффект Холла – следствие G влияния силы Лоренца на движениеносителей тока. В магнитном поле B при протекании через проводник тока сGплотностью j устанавливается электрическое поле с напряженностьюG GGE = R[ B, j ] ,где R – постоянная Холла.Пусть, например, металлическаяпластинка с током расположена вмагнитном поле перпендикулярном току(см. рисунок). Сила Лоренца приводит кповышению концентрации носителей тока– электронов – у верхнего края пластинки.При этом верхний край зарядитсяотрицательно, а нижний, соответственно –положительно.

Стационарное распределение зарядов будет достигнуто, когдадействие созданного таким образом электрического поля уравновесит силуΔϕ= eυB , или Δϕ = υBa , где a – ширина пластинки, e –aзаряд электрона, Δϕ – поперечная (холловская) разность потенциалов.Поскольку сила тока I = jS = neυS ( S = ad – площадь поперечногосечения пластинки толщиной d и шириной a , n – концентрация электронов,υ – средняя скорость упорядоченного движения электронов), тоI1 IBIBΔϕ ==R .Ba =neaden dd1совпадает со знаком носителей тока,Знак постоянной Холла R =enЛоренца:eE = eпоэтому эффект Холла используют для определения природы носителей тока ввеществах и определения их концентрации.2) равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной полю.А.Н.Огурцов.

Физика для студентовМагнетизм4–104–11G18. Теорема о циркуляции вектора B .GЦиркуляцией вектора B по заданному замкнутому контуру L называетсяследующий интеграл по этому контуру:JJGгде dl – элемент длины контура,G JJGv∫ Bd l = v∫ Bl d lLLBl = B cos α –Gсоставляющая вектора B в направлении касательной кконтуру, с учетом выбранного направления обхода; α –G JJGугол между векторами B и dl .GB (закон полного магнитного поля вТеорема о циркуляции вектораGвакууме): циркуляция вектора B по произвольному замкнутому контуру равнапроизведению магнитной постоянной μ0 на алгебраическую сумму токов,направленный вдоль обхода контура;охватываемых этим контуромnG JJGBdl=Bdl=μIk ,∑0lv∫v∫Lk =1Lгде n – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольнойформы.Эта теорема справедлива только для поля в вакууме, поскольку для поляв веществе надо учитывать молекулярные токи.

Каждый ток учитываетсястолькораз,сколькоонохватываетсяконтуром.Положительным считается ток, направление которого связанос направлением обхода по контуру правилом правого винта.Пример: магнитное поле прямого тока.Замкнутый контур представим в виде окружностирадиуса r .GВ каждой точке этой окружности вектор B одинаков по модулюи направлен по касательной к окружности:v∫ Bl d l = v∫ B d l = B v∫ d l = B 2πr = μ0 I , отсюдаLLLB=GGμ0 I.2πrСравним выражения для циркуляций векторов E и B .G JJGv∫ E d l = 0,LnG JJGv∫ Bd l = μ0 ∑ I k .k =1LПринципиальноеразличие между этими формулами в том, что циркуляцияGвектора E электростатического поля всегдаG равна нулю.

Такое поле являетсяпотенциальным. Циркуляция вектора B магнитного поля не равна нулю.Такое поле называется вихревым или соленоидальным.19. Магнитное поле соленоида.Соленоидом называется свернутый в спираль изолированный проводникпо которому течет электрический ток. Рассмотрим соленоид длиной l ,Gимеющий N витков. Циркуляция вектора B по замкнутому контуру ABCDA ,охватывающему все N витков, равнаv∫Bl d l = μ0 NI .ABНаучасткахиCDконтурперпендикулярен линиям магнитной индукции,следовательно Bl = 0 .

Можно показать, что внебесконечного соленоида магнитное поле B = 0(удалив участок CB на бесконечность, гдемагнитное поле соленоида равно нулю,поскольку магнитное поле каждого витка−3соленоида уменьшается с расстоянием ~ r ).На участке DA контур совпадает с линиеймагнитной индукции, внутри соленоида поле однородно ( Bl = B ), поэтому∫ Bl d l = Bl = μ0 NI .DAМагнитная индукция (бесконечного) соленоида в вакуумеB=μ0 NI.l20. Магнитное поле тороида в вакууме.Тороидом – называется кольцевая катушка свитками, намотанными на сердечник, имеющий формутора, по которой течет ток.Магнитное поле отсутствует вне тороида, авнутри его оно является однородным.Линии магнитной индукции, как следует изсоображений симметрии, есть окружности, центрыкоторых расположены на оси тороида.В качестве контура выберем одну такуюокружность радиуса r . По теореме о циркуляцииB 2πr = μ0 NI , где N – число витков тороида.

ОтсюдаB=μ0 NI.2πr21. Поток вектора магнитной индукции.Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) черезплощадку dS называется скалярная физическая величина, равнаяG JJJGd Φ B = Bd S = Bn d S ,GGгде Bn = B cos α – проекция вектора B на направление нормали n к площадкеJJJGGGd S , α – угол между векторами n и B , d S – вектор, модулькоторого равенGd S , а направление совпадаетс направлением нормали n к площадке.GПоток вектора B может быть как положительным, так иотрицательным в зависимости от знака cosα .GПоток вектора B связывают с контуром по которому течет ток.Положительное направление нормали к контуру связано с направлением токапо правилу правого винта. Поэтому магнитный поток, создаваемый контуромс током через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.ABCDAА.Н.Огурцов.

Физика для студентовМагнетизм4–124–13Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность SG JJJGΦ B = ∫ Bd S = ∫ Bn d S .SSЕсли поле однородно и перпендикулярно ему расположена плоскаяповерхность с площадью S , тоΦ B = BS .Единица магнитного потока – вебер (Вб): 1Вб – магнитный поток,проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1м2, расположеннуюперпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1Тл(1 Вб=1 Тл·м2).22. Теорема Гаусса для магнитного поля в вакуумеПоток вектора магнитной индукции сквозьповерхность равен нулюлюбуюиндукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,d A = I dΦ .Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равнапроизведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимсяпроводником.25.

Работа по перемещению контура с током в магнитном поле.Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка – зачертеж. Работа d A сил Ампера при перемещении контура ABCDA равнасумме работ по перемещению проводниковABC ( d A1 ) и CDA ( d A2 ), т.е.d A = d A1 + d A2 .При перемещении участка CDA силыАмпера направлены в сторону перемещения(образуют с направлением перемещения острыеуглы), поэтому d A2 > 0замкнутуюG JJJGv∫ Bd S = 0 .SЭта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствиечего линии магнитной индукции не имеют ни начала ни конца и являютсязамкнутыми.23. Потокосцепление.Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром,называется потокосцеплением Ψ этого контура.Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в самомэтом контуре, называется потокосцеплением самоиндукции.Например, найдем потокосцепление самоиндукции соленоида ссердечником с магнитной проницаемостью μ .