Автореферат (Кооперация в дискретных линейно-квадратичных играх)

На правах рукописиТур Анна ВикторовнаКООПЕРАЦИЯ В ДИСКРЕТНЫХЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫХ ИГРАХ01.01.09 — Дискретная математика и математическая кибернетикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург20152Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университетеНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Петросян Леон АганесовичОфициальные оппоненты: Мазалов Владимир Викторович,доктор физико-математических наук, профессор,Институт прикладных математическихисследований КарНЦ РАН, директорСандомирский Фёдор Алексеевич,кандидат физико-математических наук,Санкт-Петербургский экономико-математическийинститут Российской академии наук,научный сотрудникВедущая организация:ФГБУН "Институт математикии механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН"Защита состоится «10» июня 2015 г.

в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 на базе Санкт-Петербургского государственногоуниверситета по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 10 линия В.О., д. 33/35,ауд. 74.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199304, СанктПетербург, Университетская наб., 7/9 и на сайтеhttp://spbu.ru/science/disser/dissertatsii-dopushchennye-k-zashchite-i-svedeniyao-zashchite.Автореферат разослан «»Ученый секретарьдиссертационного совета,доктор физ.-мат.

наук, профессор2015 г.Нежинский В. М.3Общая характеристика работыАктуальность темы. Во многих областях человеческой деятельности,таких, как экономика, экология, производство, менеджмент, в процессе принятия решения участвуют несколько сторон, цели которых зачастую оказываютсяразными и даже противоположными. В связи с этим возникает необходимостьприятия решения в условиях конфликта. Теория игр является разделом математики, в котором рассматриваются математические модели ситуаций подобногорода. А поскольку все такие процессы развиваются на некотором временномпромежутке, актуальным направлением современной теории игр является исследование динамических и дифференциальных игр.Одним из основоположников дифференциальных игр принято считать Р.Айзекса, в работах которого и было введено понятие дифференциальной игры.Фундаментальные результаты в исследовании антагонистических дифференциальных игр получены отечественным школами академиков Л.С.

Понтрягинаи Н.Н. Красовского. В развитие неантагонистических дифференциальных игрсущественный вклад внесли А.Ф. Кононенко, А.Ф. Клейменов, Л.А. Петросян,В.И. Жуковский, Т.Н. Тынянский, С.В. Чистяков и др.В настоящее время активно исследуется такой класс дифференциальныхигр, где динамика рассматриваемой системы имеет линейный вид, а выигрышиигроков квадратичны. Такие игры называют линейно-квадратичными. Актуальность исследования подобных задач обусловлена несколькими причинами.Так, многие приложения дифференциальных игр используют именно такуюструктуру, также важной оказывается возможность получения аналитическихрезультатов и использования эффективных численных методов решения.

В своих работах исследовали задачи подобного типа Дж. Энгверда, Т. Башар, Г.Олсдер, В.А. Жуковский, А.А. Чикрий, В. Чжан, П. Бернхард и др. Решениянекооперативных линейно-квадратичных игр двух или многих лиц в различныхклассах стратегий подробно рассмотрены авторами. При этом исследуются модели как с конечным временем окончания игры, так и с бесконечным. В некоторых работах рассмотрены также кооперативные игры, где в качестве принципаоптимальности берётся Парето-оптимальное решение.

Однако модели с возможной кооперацией игроков, где игроки объединяются с целью максимизировать4суммарный выигрыш и разделить его согласно некоторому выбранному правилу, оказываются наиболее приближенными к жизненным конфликтным ситуациям.

В связи с этим исследование кооперативных линейно-квадратичныхдинамических игр является актуальной задачей.Также очень важным является вопрос устойчивости кооперативного решения. Понятия динамической устойчивости впервые было введено Петросяном Л.А.1 Динамическая устойчивость гарантирует состоятельность выбранного принципа оптимальности на всем промежутке игры. Д.В.К. Янгом2былопредложено ещё одно важное свойство, гарантирующее устойчивость кооперации, это "устойчивость против иррационального поведения игроков". При выполнении этого свойства, даже при возникновении иррационального поведенияигроков, другие игроки не проигрывают по сравнению с некооперативным решением.

В работе Марковкина М.В.3рассмотрены эти аспекты устойчивостикооперативных решений для линейно-квадратичных дифференциальных игр.В реальных конфликтных ситуациях возможны случаи, когда информация о системе доступна не непрерывно во времени, а только в определенныемоменты. В связи с этим актуальным оказывается исследование дискретных динамических игр. В диссертации проводится исследование описанных проблемустойчивости для кооперативных дискретных линейно-квадратичных игр.Целью диссертационной работы является исследование кооперативных линейно-квадратичных дискретных игр. Построение кооперативных решений для игр с бесконечной продолжительностью, для игр со случайной продолжительностью, для игр с нетрансферабельными выигрышами, а также дляигр на сети с управляющей коалицией, исследование динамической устойчивости полученных решений и вывод достаточных условий устойчивости противиррационального поведения игроков.Научная новизна работы. Все основные результаты, представленныев диссертации являются новыми.

В работе впервые исследуются вопросы дина1Петросян Л.А. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками. ВестникЛенинградского университета, 1977, N 19, Вып. 4.2Yeung D.W.K. An Irrational-Behavior-Proof Condition in Cooperative Differential Games // IGTR 2007, 9(1),5–7.3Марковкин М.В.

Линейно-квадратичные кооперативные дифференциальные игры: диссертация кандидата физико-математических наук, СПбГУ, Санкт-Петербург, 2006. 106 с.5мической устойчивости и устойчивости против иррационального поведения игроков в линейно-квадратичных дискретных кооперативных играх различноготипа. А также впервые определена и исследована линейно-квадратичная дискретная игра на сети с управляющей коалицией.Теоретическая и практическая значимость работы следует из области применения кооперативных линейно-квадратичных дискретных игр. Решения, полученные для разных вариантов рассматриваемых игр, применимыв качестве математических моделей для описания процессов, происходящих вразличных сферах человеческой деятельности, таких, как менеджмент, экономика, экология и др. В работе рассмотрены экономические приложения.

Результаты, полученные в диссертации, представляют теоретический и практическийинтерес.Методология и методы исследования. В диссертации применяются методы теории некооперативных и кооперативных игр, теории управления,теории вероятностей. Исследование динамической устойчивости решений проводится в рамках подхода, разработанного научной школой Л.А. Петросяна.Основные результаты, выносимые на защиту.1. Построено кооперативное решение в дискретных линейно-квадратичныхиграх с бесконечным временем окончания с использованием характеристической функции. Сформулирована и доказана теорема о динамическойустойчивости полученного кооперативного решения.

Получены достаточные условия устойчивости против иррационального поведения игроков.2. Построено кооперативное решение в дискретных линейно-квадратичныхстохастических играх со случайной продолжительностью. Сформулирована и доказана теорема о динамической устойчивости полученного кооперативного решения. Получены достаточные условия устойчивости противиррационального поведения игроков.3. Сформулированы и доказаны теоремы о динамической устойчивостиПарето-оптимального решения линейно-квадратичных игр с нетрансферабельными выигрышами с предписанной продолжительностью и с бесконечной продолжительностью.64.

СформулированыидоказанытеоремыобустойчивостиПарето-оптимального решения против иррационального поведения игроковдля линейно-квадратичных игр с нетрансферабельными выигрышами спредписанной продолжительностью и с бесконечной продолжительностью.5. Определена линейно-квадратичная дискретная игра на сети с управляющей коалицией. Построено некооперативное и кооперативное решение втаких играх.Апробация работы. Основные результаты были представлены на I,III, VII Международных конференциях Game Theory and Management GTM’07,GTM’10, GTM’14 (Санкт-Петербург, 2007, 2009, 2014 гг.); на Всероссийской конференции «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2010); наXXXVIII, XXXIX, XL, XLI международных конференциях студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2007, 2008,2009, 2010 гг.); на 46-й Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 2015 г.); насеминаре отдела динамических систем Института математики и механики им.Н.Н.

Красовского УрО РАН.Публикации. По материалам диссертации опубликованы работы [1-8].Из них статьи [4], [6] опубликованы в журналах, входящих в список ведущихроссийских рецензируемых научных журналов ВАК РФ, статья [7] – в издании,входящем в международную реферативную базу zbMATH.Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результатыполучены автором лично.Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка используемой литературы. Общий объем диссертации 105 страниц. Список литературы включает 70наименований на 8 страницах.Содержание работыПервая глава посвящена линейно-квадратичным дискретным играм сбесконечной продолжительностью.

Рассматривается игра n лиц, динамика си-7стемы описывается системой уравненийx(k + 1) = A(k)x(k) +nXBi(k)ui(k),(1)i=1где k ≥ k0, k0 ∈ T+ , x ∈ Rm – вектор-столбец, ui ∈ Rr – вектор-столбец управления игрока i; A(k), Bi(k) ∈ Z(T+) – (m×m) и (m×r) – матрицы соответственно,x(k0) = x0 – начальное состояние, T+ – множество неотрицательных целых чисел, Z(T+) – множество ограниченных на T+ матриц.

Выигрыш игрока i имеетвид:Ji (k0, x0, u) =∞X(xT (k)Pi(k)x(k) + uTi (k)Ri(k)ui(k)),(2)k=k0где Pi (k) = PiT (k), Ri(k) = RiT (k) ∈ Z(T+) – (m × m) и (r × r) – матрицысоответственно. Каждый игрок стремится максимизировать свой выигрыш.Определение 1. Набор стратегий вида{ui(k, x) = Mi (k)x,i = 1, . . . , n}(3)будем называть допустимым, если выполняются условия:1) Mi (k) ∈ Z(T+),i = 1, . . . , n;2) Система (1), замкнутая набором стратегий (3), т. е. системаPx(k + 1) = (A(k) + ni=1 Bi(k)Mi(k))x(k) равномерно асимптотически устойчива (при k → ∞).В работе Т. Башара и Г.

Олсдера4 была сформулирована теорема о нахождении равновесия по Нэшу в линейно-квадратичных дискретных играх.В данном параграфе приводится аналог этой теоремы для рассматриваемогокласса игр, в котором приведены необходимые и достаточные условия для существования равновесия по Нэшу в игре Γ(k0 , x0). Согласно этой теореме, если наEбор стратегий {uN= MiN E (k)x,ii = 1, . . .