Отзыв официального оппонента (Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических систем на многообразии и некоторые вопросы ее стратификации)

Федеральное государственное бюджетное образовательноеучреждение высшего образования«Тульский государственный университет»ОТЗЫВофициального оппонента на диссертациюМалых Артема Евгеньевича«Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических системна многообразии и некоторые вопросы ее стратификации»,представленную на соискание ученой степени кандидатафизико-математических наук по специальности01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамическиесистемы и оптимальное управлениеДиссертационная работа посвящена изучению алгебраической аппроксимации глобальных аттракторов динамических систем и ее анализу.Задачи, требующие выяснения формы аттрактора или его приближения возникают повсеместно. Среди классических работ на эту тему можно отметить, например, многочисленные работы, посвященные анализу аттрактора системы Лоренца.

Существует несколько подходов крешению этой задачи (например, использование функций Ляпунова), однако подход, использующий алгебраические множества имеет ряд преимуществ. Во-первых, он позволяет аппроксимировать аттракторы, не наделенные структурой многообразия, во-вторых, алгебраическиемножества позволяют использовать для дальнейшего анализа широкий спектр техник из алгебраической геометрии, которая является быстро развивающимся разделом математики, втретьих, большинство пакетов компьютерного моделирования содержат в себе инструментыдля работы с алгебраическими множествами.

Начало изучению алгебраической аппроксимации положили работы Фояша и Темама (1988), рассматривающие динамические системы с непрерывным временем в банаховых пространствах. В диссертационной работе изучается алгебраическая аппроксимация дискретных динамических систем, а также делаются первые шагидля распространения результатов Фояша и Темама на случай проективного многообразия. Такие задачи ставятся впервые.Оригинальная теорема Фояша-Темама для систем с непрерывным временем в конечномерномлинейном фазовом пространстве доставляет возможность аппроксимации аттрактора динамической системы алгебраическими многочленами.

Изложению техники построения аппроксимирующих аттрактор алгебраических многочленов, а также программной реализации этойтехники с помощью символьных вычислений в пакете Matlab для аппроксимации аттракторасистемы Лоренца посвящены первые 3 раздела главы 1 диссертации.

Наиболее впечатляющимдостижением диссертанта следует считать последующие разделы главы 1, посвященные распространению аппроксимационной теоремы Фояша-Темама на динамические системы с дискретным временем, заданные уравнением с вещественно аналитической правой частью. Полученная в этих разделах модифицированная аппроксимационная теорема позволила, в частности, провести алгебраическую аппроксимацию аттрактора известной системы Хенона.Следующая глава диссертации посвящена аппроксимации аттракторов динамических системна многообразиях. Вводятся основные понятия динамических систем на многообразиях, подробно изучаются динамические системы на плоском цилиндре. В частности показано, чтоаппроксимационную теорему Фояша-Темама можно адаптировать для систем на плоском цилиндре.

Основное внимание уделено системам на проективном многообразии. Дело в том, чторассмотрение динамической системы на проективном многообразии дает возможность удобного анализа локализации аттракторов исходной системы. Поскольку в оригинальной теоремеФояша-Темама центральную роль играет интегральное представление точки, лежащей на аттракторе, возникает необходимость получить аналогичное представление для точек аттрактора на проективном многообразии. Основная проблема в получении такого представления состоит в том, что решение может находиться на разных картах проективного многообразия.Центральным результатом второй главы диссертации является интегральное уравнение длякоординат точки, лежащей на аттракторе системы, заданной на проективном многообразии.Заключительная глава диссертации посвящена изучению вопроса построения стратификацииУитни алгебраических множеств, аппроксимирующих аттрактор некоторой системы.

Основное достоинство стратификации определяется доставляемой ею возможностью изучать структуру самих аттракторов, или их аппроксимаций в случае, когда точная форма аттрактора неизвестна. В диссертации предложен алгоритм стратификации алгебраического множества вдвумерном евклидовом пространстве, использующий цилиндрическую алгебраическую декомпозицию.

Автором доказано, что процедура цилиндрической алгебраической декомпозиции, примененная к алгебраическому множеству в R 2 , дает стратификацию Уитни. Реализация предложенного диссертантом алгоритма стратификации иллюстрируется на примере аппроксимации аттрактора системы Хенона..По содержанию и оформлению диссертации имеются замечания.1.Автор не приводит оценки скорости сходимости аппроксимационных множеств аттрак-тора дискретной динамической системы к исходному аттрактору, хотя для оригинальной теоремы Фояша-Темама такие оценки приведены.2.В записи системы уравнений и матрицы A на странице 16 диссертации имеются ошибки..