Отзыв официального оппонента 2 (Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических систем на многообразии и некоторые вопросы ее стратификации)

ОТЗЫВ официального оппонента о диссертации МАЛЫХ Артема Евгеньевича на тему «Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических систем на многообразии и некоторые вопросы ее стратификации», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02— дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление. Изучение вопроса аппроксимации глобальных аттракторов динамических систем на многообразиях обусловлено частым применением динамических систем в качестве моделей сложных процессов. Нередко для анализа поведения таких систем необходимо получить локализацию и аппроксимацию их глобальных аттракторов, если они есть.

Алгебраические множества являются универсальным и удобным механизмом для достижения этой цели. Универсальность выражается в том, что алгебраические множества позволяют приближать не только аттракторы, имеющие структуру многообразий, но и странные аттракторы, то есть имеющие нецелую размерность Хаусдорфа. Удобство же их заключается в относительной простоте моделирования на компьютере. Развитие этих методов для изучения систем на многообразиях учитывает современную тенденцию в теории управления, которая заключается в геометризации многих алгоритмов в теории управления. В работах Фояша и Темама рассматривается алгебраическая аппроксимация алгебраическими множествами систем, заданных в конечномерных и бесконечномерных линейных пространствах.

Представляет интерес перенесение и расширение их результатов на системы, заданные на многообразиях. В диссертационной работе сделаны первые шаги в этом направлении. Кроме эволюционных систем с непрерывным временем большой интерес представляют системы с дискретным временем, часто возникающие в рамках задач, связанных с численными аштроксимациями аттракторов. Стратификация разных типов множеств рассматривается в работах Уитни и других авторов. В связи с анализом аттракторов, использование стратификации позволяет свести задачи оценки размерности и энтропии к рассмотрению на подмножествах малой размерности. Все выше сказанное свидетельствует об актуальности темы диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 47 наименований и приложения. Ее общий объем 78 страниц. Диссертация содержит ряд существенно новых результатов.

Так в теореме 1.3 из параграфа 1.4 построен вариант аппроксимационной теоремы Фояша-Темама для динамических систем с дискретным временем. В этом же параграфе рассмотрено применение теоремы 1.3 для аппроксимации глобального ограниченного аттрактора системы, порожденной отображением Хенона. И там же сформулирована и доказана теорема 1.4 о связи аппроксимации глобального аттрактора дискретизированной системы и глобального аттрактора системы с непрерывным временем. В параграфе 2.4 из главы 2 найдено интегральное представление точки, лежащей на глобальном аттракторе динамической системы, заданной на проективном многообразии. И, наконец, в третьей главе в параграфе 3.2 установлено, что процедура цилиндрической алгебраической декомпозиции, примененная к алгебраическому множеству в аз дает стратификацию Уитни, По рассматриваемым диссертации и автореферату следует высказать ряд критических замечаний.

Хотя в целом изложение материала в работе достаточно ясное и подробное, а оформление аккуратное, в ней встречаются досадные опечатки и технические дефекты. Например: 1) имеются недочеты в автореферате (на стр. 10 в правой части равенства для 11„.1т1 есть функция с()г, т), а определение этой функции вводится лишь следующем абзаце; там же в самостоятельное утверждение (теорема 2) выделено обоснование справедливости формулы (2.53), однако в диссертации это обоснование приводится в тексте без выделения в самостоятельное утверждение); 2) в диссертации имеются неудачные выражения грамматические ошибки и технические дефекты. Так, например, на стр.

7 в 4-5 строках сверху, написано «Более подробно об этом можно почитать, например, в работах...» Представленная работа является диссертацией, а не учебным пособием. Аналогичные замечания далее: на стр. 37 в 4 строке сверху, на стр.42 в 12-13 строках сверху и т, д На стр. 12 в 1 строке сверху, на стр.

35 в 3 строке снизу: множественное число от слова вектор — это векторы, а не вектора. На стр. 14 в 14 строке сверху в формуле написано 1Л,. )г)л', а должно быть (Л+ И)л. На стр. 36 и 39 имеются два разных примера, озаглавленные одинаково; «пример 2.1». На стр. 42 автор пишет, что «... описание проективного подхода к анализу динамических систем можно найти в ... » и ссылается на монографию Амелькина В,В. и Садовского А, П. Здесь стоило было бы упомянуть, что первым проективный подход предложил еще А.Пуанкаре, так как иначе по тексту создается впечатление, что метод предложили Амелькин В. В. и Садовский А.

П. Сделанные замечания, однако, не касаются основного математического содержания диссертации, не умаляют значения выполненной работы в целом и полученных в ней результатов, а относятся, по существу, к редакционному оформлению работы, Подводя итог, необходимо констатировать, что рассматриваемая диссертационная работа Малых Артема Евгеньевича представляет собой цельную законченную научноисследовательскую работу, в которой установлено следующее. 1. Получена адаптация для систем с дискретным временем аппроксимационной теоремы Фояша-Темама.

2. Получено интегральное представление точки, лежащей на глобальном аттракторе динамической системы, заданной на проективном многообразии. 3. Предложен алгоритм построения стратификации алгебраического множества в двумерном евклидовом пространстве на основе цилиндрической алгебраической аппрокси- мации, Все основные результаты диссертации изложены подробно и снабжены необходимыми доказательствами, что не вызывает сомнения в их справедливости. Говоря о диссертации в целом, следует отметить ее хороший технический уровень, проявившийся при доказательстве результатов работы.

По теме диссертационной работы опубликовано четыре печатных работы, в том числе две в рецензируемых изданиях, индексируемых в реферативной базе Ясорцз. Автореферат правильно отражает содержание диссертации. .