Диссертация (Динамика спиновой когерентности в полупроводниковых наноструктурах), страница 10

В нашей работе было предложенопоследовательное изложение детального теоретического рассмотрения эффектаФарадея в квантовых точках [A21].Рассмотрим действие короткого поляризованного импульса света прямоугольнойформы на заряженные квантовые точки. Соответствующая теория может бытьобобщенадляслаболегированныхквантовыхям[A22],дляимпульсапроизвольной формы и длительности [A24], и для возбуждения не толькотрионных, но и экситонных состояний [A31].Воспользуемсяполуклассическимподходом:будемописыватьраспространение электромагнитного излучения уравнениями Максвелла, аполяризацию, возникающую в среде под действием света, будем рассматриватьквантово-механически.Пусть падающая линейно поляризованная волна распространяется вдольоси z (падает нормально на поверхность), а ее вектор поляризации направленвдоль оси х.

Таким образом, можно записать падающую волну как E = ex E (e −i (ωt − kz ) + c.c.)(2.6)Здесь ех - орт вдоль оси x, E - амплитуда электромагнитной волны, ω - частота, k волновой вектор в вакууме (k=ω/c, c - скорость света, с.с. означает комплексное57сопряжение. Линейно поляризованную волну можно разложить на двепротивоположно циркулярно поляризованные волны:E = Eσ + e+ e −i (ωt − kz ) + Eσ − e− e −i (ωt − kz ) + c.c.Здесь e+ =ex + ie y2, e− =ex − ie y2(2.7).Регистрация угла поворота.Сигналомфарадеевскоговращенияявляетсяуголповоротаплоскостиполяризации пробного линейно поляризованного светового пучка, прошедшегосреду (слой квантовых точек), предварительно возбужденную поляризованнымпучком накачки.Обозначим через Еt прошедшую сквозь среду волну.Перейдём в новую систему координат, повёрнутую относительно исходной на45°, тогда:Etx′ =Etx − Ety2, E ty ′ =Etx + Ety(2.8)2В эксперименте измеряется усредненная по времени разность:lim Tm →∞12TmTm∫−Tm E′ tx22− Ety′ dt .(2.9)Переходя к комплексному представлению электромагнитной волны можнонемного упростить расчет этого выражения:)(2.10)Et2  11 − sin 2θ F cos 2y F − i sin 2y F  ,4  22(2.11)2(Etx′ − Ety′ = −2 Re Etx Ety∗2Etx Ety∗ =θF – угол поворота плоскости поляризации,ψF - угол эллиптичности,эллиптичность εF определяется отношением меньшей оси эллипса к большей, εF =tan ψF.Удобно выписать отдельно:58Et2 1sin 2θ F cos 2y F4 2Et2 1∗Im(Etx Ety ) = −sin 2y F4 2Re( Etx Ety∗ ) = −(2.12)При малых значениях угла поворота и эллиптичности, θF,ψF<<1, можносчитать:22Etx′ − Ety′Et21=sin 2θ F cos 2y F ≈ Et2θ F42(2.13)Регистрация эллиптичности.При регистрации эллиптичности измеряется усредненная по времениразность интенсивностей циркулярно-поляризованных компонентEσ + =Eσ +2Etx + iEty2− Eσ −2=, Eσ − =Etx − iEty(2.14)22 Im(Etx Ety∗ )Et21=−σin 2y F ≈ − Et2y F42(2.15)Для нахождения амплитуды прошедшей электромагнитной волны и,следовательно, углаповорота иэллиптичности, необходимоопределитьполяризацию системы состояний электрон-трион в ансамбле квантовых точек придействии накачивающего и пробного пучков.

Поляризация – это дипольныймомент системы, который в квантово-механическом представлении описываетсякак среднее значение оператора дипольного момента, d̂ , на матрице плотностисистемы, ρ:P = Tρ (dˆρ ) ,(2.16)где операция Tr есть взятие следа матрицы.

Элементы матрицы плотностинаходятся путем решения уравнения Лиувилля:i[]∂ρ (t ) = Hˆ (t ), ρ + Γ .∂t(2.17)59Здесь Ĥ – Гамильтониан системы, а Γ – феноменологически вводимый операторрелаксации. Гамильтониан содержит три вклада: Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ B + Vˆ , где Ĥ 0 невозмущенная часть, описывающая собственные состояния электрона и триона,Ĥ B – часть, характеризующая взаимодействие с магнитным полем, а часть,описывающая взаимодействие со светом, представлена оператором возмущения:()Vˆ = dˆ E (t )e − iωt + E * (t )eiωt .(2.18)Здесь d - оператор дипольного момента оптического перехода в трионе, аE(t) есть огибающие импульса накачки и пробного импульса во времени.

ВотсутствиисветаэволюциясистемыопределяетсяневозмущеннымГамильтонианом Ĥ 0 , оператором Ĥ B (при наличии магнитного поля) иоператором релаксации Γ .Сделаем два предположения: при нахождении матрицы плотности системы,взаимодействующей со светом, можно пренебречь релаксацией Γ из-за малойдлительности импульса. И на время действия светового импульса не будемучитывать расщепление спиновых состояний за счет магнитного поля, полагая эторасщепление маленьким, по сравнению со спектральной шириной импульса.В результате, задача о нахождении матрицы плотности разбивается на две:1.

Вычислить матрицу плотности под действием импульса света (накачивающегоили зондирующего);2. Вычислить матрицу плотности с учетом релаксации во временном промежуткемежду импульсом накачки и пробным импульсом.Резонансное возбуждение триона прямоугольным импульсом поляризованногосветаВ отсутствии магнитного поля, проекции |+1/2〉, |-1/2〉 спина электрона и проекции|+3/2〉, |-3/2〉 углового момента триона определяют собственные функцииневозмущенного Гамильтониана Ĥ 0 . За ноль отсчета энергии удобно принять60положение состояний |±1/2〉, вырожденных в отсутствии магнитного поля.Обозначим состояния {|+1/2〉, |-1/2〉, |+3/2〉, |-3/2〉} через {φi} ≡ {|1〉, |2〉, |3〉, |4〉}.Для оператора возмущения Vˆ вследствие правил отбора отличны от нуля толькоэлементы:*V31 = V13* = −d + Eσ + e −iωt и V42 = V24= −d − Eσ − e −iωt .

Будем дальше предполагать,что матричные элементы d 31 ≡ d + и d 42 ≡ d − равны d + = d − ≡ d .Недиагональные компоненты матрицы плотности ρ13, ρ31, ρ23, ρ32, ρ14, ρ41, ρ24, ρ42осциллируютначастотепереходамеждуэлектроннымиитрионнымисостояниями, ω0., близкой к оптической частоте ω. Оптическая когерентность врассматриваемых системах затухает достаточно быстро, поэтому будем считать,что когда импульсы накачивающего и пробного пучков не перекрываются вовремени, все эти элементы равны нулю.

В результате, перед приходом импульсанакачки и между импульсами матрица плотности принимает блочный вид: ρ11ρρ =  210 0ρ12ρ 2200ρ 33ρ 43000 0 ,ρ 34 ρ 44 (2.19)Тогда после действия короткого импульса света элементы матрицы плотности:ρ11 (t ) = ρ11 (t0 ) + (ρ 33 (t0 ) − ρ11 (t0 ))θ +2ρ 33 (t ) = ρ 33 (t0 ) − (ρ 33 (t0 ) − ρ11 (t0 ))θ +2(1 − cos(Ω + (t − t0 )))2Ω 2+(1 − cos(Ω + (t − t 0 )))2Ω +2(ρ 33 (t 0 ) − ρ11 (t 0 ))θ +*e iω (t −t )[iΩ + sin (Ω + (t − t0 )) + v(1 − cos(Ω + (t − t0 )))]ρ13 (t ) = −20Ω+61ρ 22 (t ) = ρ 22 (t0 ) + (ρ 44 (t0 ) − ρ 22 (t0 ))θ −2ρ 44 (t ) = ρ 22 (t0 ) − (ρ 44 (t0 ) − ρ 22 (t 0 ))θ −2ρ 24 (t ) = −(1 − cos(Ω − (t − t0 )))2Ω 2−(1 − cos(Ω − (t − t 0 )))2Ω 2−(ρ 44 (t0 ) − ρ 22 (t0 ))θ −*eiω (t −t ) [iΩ sin (Ω (t − t )) + v(1 − cos(Ω (t − t )))]00−−−20Ω−v Ω + (t − t 0 )  Ω (t − t 0 )  sin  +−i  ×22 Ω+ ρ12 (t ) = ρ12 (t 0 ) cos  Ω (t − t 0 ) v Ω (t − t 0 )  sin  −×  cos −+i Ω22−+ ρ 34 (t 0 ) Ω (t − t 0 )   Ω − (t − t 0 ) sin  + sin 22Ω+Ω−  θ +*θ −*v Ω (t − t 0 )   Ω + (t − t 0 ) sin  +  ×+i22Ω+ρ 34 (t ) = ρ 34 (t0 ) cos  Ω (t − t 0 ) v Ω (t − t 0 )  sin  −×  cos − −i22 Ω−  + ρ12 (t 0 ) Ω (t − t 0 )   Ω − (t − t 0 ) sin  + sin 22Ω+Ω−  θ +*θ −*Здесь v = ω − ω0 , θ ± =(2.20)4d ± Eσ ±2, Ω ± = v 2 + θ ± , t0 – момент прихода импульса.Систему (2.20) можно использовать для описания действия как циркулярнополяризованного импульса накачки, так и линейно поляризованного импульсазондирования, подставляя соответствующие значения v , ω , Eσ ± , t0.Блочный вид матрицы плотности позволяет рассматривать состояния электрона итриона по отдельности.

Удобно описывать состояния электрона и трионавекторами спиновой поляризации электрона S(Sx,Sy,Sz) и триона ST(SxT,SyT,SzT)[2.13, 2.14, A26]. Как отмечалось в главе 1, матрицы операторов, действующих нафункции от спиновых переменных σ, имеют вид:621 0 1,sˆ x = 2  1 0 1 0 − i,sˆ y = 2  i 0 1 1 0 .sˆ z = 2  0 − 1(2.21)Компоненты векторов спиновой поляризации электрона Si, i=x, y, z, вычисляютсякак средние значения операторов ŝi с помощью матрицы плотности: Si=Tr(ŝiρ).Нетрудно получить, что Sz =(ρ11- ρ22)/2, Sx =Re(ρ12), Sy =-Im(ρ12).

Имея в виду, что втрионе, как и в экситоне, состояния с легкой дыркой далеко отщеплены и невзаимодействуют со светом (см. главу 1), можно аналогичным образом вычислитьвектор спиновой поляризации триона ST(SxT,SyT,SzT): SzT =(ρ33- ρ44)/2, SxT = Re(ρ34),SyT = -Im(ρ34).Динамика в магнитном полеИспользуяобозначенияS(Sx,Sy,Sz)иST(SxT,SyT,SzT),можнозаписатьуравнение Лиувилля для матрицы плотности системы в магнитном поле в видесистемы уравнений [2.13, 2.14, A26]: dS T µ BST STT−−=×gBSTt sT t r dtT dS = µ B [gB × S ] − S + S z e z dttrts[Воба]уравненияфеноменологически(2.22)введенычлены,описывающиерелаксационные процессы.

Релаксация, для простоты, считается изотропной. Впервом уравнении учтены потери трионной поляризации за счет спиновойрелаксации в трионе: время τTs – время спиновой релаксации дырки вотрицательно заряженном трионе, X − , или время спиновой релаксации электронав положительно заряженном трионе, X + , и излучательной рекомбинации триона (оптический переход тяжелая дырка – электрон, время τr). Во втором уравненииучитывается прецессия спина резидентного носителя в магнитном поле (первыйчлен) и уменьшение поляризации этого спина, происходящее в результатеспиновой релаксации (время τs), а так же ее увеличение за счет появленияносителей с ориентированным вдоль оси z спином после рекомбинации триона63(из-за соответствующих правил отбора, после рекомбинации триона, спинносителя поляризован параллельно или антипараллельно оси z,см. последний членво втором уравнении (2.22)).Следует подчеркнуть, что время существования трионной поляризации не можетпревышать времени излучательной рекомбинации τr, имеющим порядок долейнаносекунды, тогда как время жизни спина избыточного электрона ограниченотолько временем спиновой релаксации, которое в квантовых точках доходит доединиц миллисекунд [2.15].

Начальными условиями являются величины S(Sx,Sy,Sz)и ST(SxT,SyT,SzT), сформированные действием импульса накачки. Их можнополучить из системы (2.20), подставив соответствующие значения для v , ω , Eσ ± ,t0. и t = tp, где tp - длительность импульса.Процессы релаксации, рекомбинации и прецессии в магнитном, происходящихмежду приходами импульсов, подробно рассматриваются в главах 4 и 5.Вычисление поляризацииЦиркулярнополяризованныекомпонентыполяризацииэлектрон-трионнойсистемы:P + = Tr (d + r ) = r13 d + r 31d * , P − = Tr (d − r ) = r 24 d + r 42 d *(2.23)Найдем результирующее выражение для электромагнитной волны, котораядолжна включать в себя падающую линейно поляризованную пробную волну ивклад от поляризации трионов и электронов в квантовой яме.Уравнение Максвелла:1 ∂2 DE (r , t ) − ∇divE (r , t ) = 2 2 Dc ∂t(2.24)Предполагаем, что D ∝ eiωt .