11 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-11Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:СкачВычтем из второй строки первую:К третьей строке прибавим первую умноженную на::аносantigtu.ruК третьей строке прибавим вторую умноженную наИскомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-11ачУсловие задачиСкКоллинеарны ли векторыи, построенные по векторами?РешениеВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.. Т.е.

векторыТ.е.для любых, а значит векторыии.и.tigtu.ruНетрудно заметить, что- коллинеарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-11Условие задачиНайти косинус угла между векторамииРешениеи:между векторамии:аносНаходим косинус углаanНайдем.ачТ.е. косинус угла:Ски следовательно уголЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-11Условие задачиВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахtigtu.ruРешениеПлощадь параллелограмма, построенного на векторахвекторного произведения:, численно равна модулю их, используя его свойства векторного произведения:anВычисляемианосВычисляем площадь:Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-11Условие задачи,иачКомпланарны ли векторы?РешениеДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхСкплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.было равно, то векторы,иtigtu.ruТак каккомпланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-11Условие задачиРешениепроведем векторы:аносИз вершиныи его высоту, опущенную изanВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:СкачВычислим смешанное произведение:Получаем:Так какtigtu.ruСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:anВычислим векторное произведение:Получаем:Объем тетраэдра:Высота:аносТогда:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-11Условие задачидо плоскости, проходящей через три точки.СкачНайти расстояние от точкиРешениеНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точки:от точкиНаходим:tigtu.ruдо плоскостианосРасстояниеanПроведем преобразования::Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-11Условие задачиперпендикулярно вектору.ачНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуСкРешениеНайдем вектор:Так как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-11Условие задачиНайти угол между плоскостями:Решениемежду плоскостями определяется формулой:аносУголanДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-11Условие задачи, равноудаленной от точекачНайти координаты точкиСкРешениеНайдем расстояниеи:и., тоТаким образомtigtu.ruТак как по условию задачи.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-11Условие задачиan- коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат.

Верно ли, чтопринадлежит образу плоскости ?РешениеаносПустьточкаПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскость. Находим образ плоскостиТак какв уравнениеачПодставим координаты точки, то точка:принадлежит образу плоскостиСкЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-11Условие задачиНаписать канонические уравнения прямой..:Канонические уравнения прямой:,tigtu.ruРешение:аносНайдем направляющий векторanгде- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:СкачНайдем какую-либо точку прямой. Пусть, тогдаtigtu.ruСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-11Условие задачиanНайти точку пересечения прямой и плоскости.РешениеаносЗапишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:СкачНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Получаем:Условие задачиНайти точкусимметричную точкеРешениеtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-11относительно прямой.аносТогда уравнение искомой плоскости:anНаходим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точку.

Так плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можновзять направляющий вектор прямой:Найдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.СкачПодставляем в уравнение плоскости:Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Так какявляется серединой отрезка, тоСкачаносanПолучаем:tigtu.ruПолучаем:.