Автореферат (Асимптотическая теория головной волны интерференционного типа)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиМАЦКОВСКИЙ АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧАСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГОЛОВНОЙ ВОЛНЫИНТЕРФЕРЕНЦИОННОГО ТИПАСпециальность 01.01.03 — математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург – 2016Работа выполнена в ФГБОУ ВО «Санкт–Петербургский государственный университет»Научный руководитель:Бабич Василий Михайлович,доктор физико-математических наук, профессор, СанктПетербургский государственный университет, профессорОфициальные оппоненты:Лукьянов Валерий Дмитриевич,доктор физико-математических наук, профессор, CанктПетербургский национальный исследовательский университетинформационных технологий, механики и оптики, профессорПлаченов Александр Борисович,кандидат физико-математических наук, доцент, Московскийтехнологический университет, доцентВедущая организация:Московский государственный университет имени М.В.

ЛомоносоваЗащита состоится «» октября 2016 г. вчасов на заседаниидиссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Среднийпр., д. 41/43, ауд. 304.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотекеим. М.

Горького СПбГУ и на сайте Санкт-Петербургского государственного университета https://disser.spbu.ru/.Автореферат разослан «Ученый секретарьдиссертационного советаД 212.232.24, д.ф.-м.н.»2016 года.АксёноваЕлена ВалентиновнаОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы исследования. Исследования, которым посвящена диссертация, связаны с работами 1960-х годов В.С. Булдырева иего учеников (см.

публикации [1], [2] и [3]), в которых теоретически изучались волны, сосредоточенные в окрестности границ разделяющих различные среды. Развитие этой тематики привело В.С. Булдырева к формулам, описывающим так называемую головную волну интерференционного типа. Она действительно имеет ряд черт, роднящих её с классической головной волной (для краткости мы будем называть далее головнуюволну интерференционного типа “волной Булдырева”).Исследованиям свойств волны Булдырева при помощи метода пограничного слоя посвящены работы В. М. Бабича [4] и [5].В отличие от классической головной волны волна Булдырева структурно устойчива, то есть при малых изменениях скорости или параметров границы раздела сред аналитический характер формул, её описывающих, сохраняется.

Изучение структурно устойчивых волн представляется важным и актуальным.Методы исследований. Точное решение эталонной задачи, постановкакоторой дана в первой главе диссертации, находится при помощи преобразования Фурье по переменной, параметризующей прямолинейную границу раздела двух сред. Для выделения из точного решения эталоннойзадачи частей, описывающих волны шепчущей галереи и головную волнуинтерференционного типа, использованы теоремы теории функций комплексного переменного (теоремы Коши, Руше и другие). Для асимптотической оценки решений типа шепчущей галереи был использован методперевала.

Высокочастотная асимптотика головной волны интерференционного типа найдена, пользуясь теоремами теории функций комплексного переменного, а также комбинированным методом В.Б. Филиппова (см.[6]). Структура волновых фронтов рассматриваемых волн найдена припомощи лучевого метода.Научная новизна. Все результаты диссертации – новые. Найдено точное решение эталонной задачи дифракции волн точечного источника награнице двух полуплоскостей. Получен главный член высокочастотнойасимптотики волны Булдырева в эталонной задаче.

Исследованы основные свойства структуры волновых фронтов волн шепчущей галереи и3волны Булдырева.Достоверность результатов. Уровень строгости изложения соответствует современному уровню строгости работ по математической физике.Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации подтверждают эвристические формулы Булдырева теории головной волны интерференционного типа. Это позволяет с большой уверенностью утверждать, что многие реально наблюдаемые акустические иупругие волны являются головными волнами интерференционного типа.Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались наСанкт-Петербургском семинаре по теории дифракции и распространения волн в ПОМИ им. В.А. Стеклова РАН, Санкт-Петербургском акустическом семинаре им.

Д.П. Коузова, а также докладывались на международных конференциях “Days on Diffraction” (Санкт-Петербург, 2013,2015).Личный вклад автора. Первая и вторая главы диссертации основываются на работах диссертанта [A2], [A3] и [A4]. Третья глава основываетсяна совместных работах диссертанта с В.М. Бабичем [A1], [A5], результаты которых принадлежат соавторам в равной степени.Публикации. Материалы диссертации опубликованы в пяти печатныхработах, из них четыре публикации в журналах, входящих в список ВАК[A1]-[A4], и одна публикация в сборнике трудов международной конференции [A5].Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трехглав, заключения и библиографии.

Общий объем диссертации составляет69 страниц текста с 19 иллюстрациями. Список литературы содержит 26наименований.ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо Введении содержится информация об актуальности темы исследования, дается обзор используемой литературы, формулируется основная цель работы и описываются методы используемые для решенияпоставленных задач. Перечисляются основные результаты работы, ихнаучная новизна и значимость. Описывается структура и содержаниедиссертационной работы.Первая глава состоит из шести разделов.

Раздел 1.1 посвящен по4Рис. 1: Дифракция волны, заданной своим геометро-оптическим разложением на гладкой границераздела двух плоских сред.становке задачи, асимптотическое исследование решений которой является основной целью диссертационной работы. Рассматривается плоскаяскалярная задача. Гладкая кривая S разделяет две области Ω1 и Ω2 (см.рис. 1). Предполагается, что колебания гармонические (ω - частота колебаний) и волновой процесс в областях Ω1 и Ω2 описывается уравнениямиω2∆+ 2cj!Uj = 0; j = 1, 2;(1)∂2∂2∆ = 2 + 2,(2)∂x∂zгде U1 и U2 – волновые поля в областях Ω1 и Ω2 соответственно.

Из среды Ω1 на границу S падает волна, заданная своим геометро-оптическимразложением:∞XUjinc(x, z)inciωτ (x,z)U ∼e,(3)j+χ(−iω)j=0Ujinc – гладкие в области Ω1 функции, χ – произвольная вещественнаяпостоянная. Обозначим k = cω1 – волновое число в среде Ω1.На границе раздела S выполнены следующие краевые условия:1 ∂U1 1 ∂U2 U1|S = U2|S ,=,(4)κ1 ∂n Sκ2 ∂n Sκj - гладкие положительные функции, заданные на S, n - нормаль к S,направленная вглубь среды Ω1.Предполагается, что вблизи Sc2 (x, y) > c1 ,5(5)а также выполняется неравенство:111 ∂c2(x, z)≡−> 0, (x, z) ∈ S,P (x, z) ρ(x, z) c2 (x, z) ∂n(6)где P - эффективный радиус кривизны границы раздела S (термин введен В.С. Булдыревым, см.

[1], [7]), 1ρ - кривизна границы раздела.√При r → ∞, где r = x2 + z 2 , потребуем выполнения принципа предельного поглощения, состоящего в следующем: частоту ω в формулах(1) заменим на ω ′ = ω + iε′ , где ε′ = const > 0 достаточно мало. Решениепоставленной задачи будем искать в классе функций экспоненциальноубывающих при r → ∞. В качестве решений при вещественном параметре ω примем пределы:U 1,2(ω, x, z) = limU 1,2(ω ′ , x, z).′ε →0Предел здесь понимаем как равномерное стремление U 1,2(ω ′ , x, z) кU 1,2(ω, x, z) на каждом компакте в R2 , не содержащем точку x = x0,z = z0 .В разделе 1.2 излагаются основы теории классической головной волны.В разделе 1.3 дается постановка эталонной задачи.

Рассматриваетсядифракция волн точечного источника на границе двух полуплоскостейΩ1 и Ω2. Скорость распространения волн в области Ω1 предполагается1постоянной, равной c1 , а в области Ω2 – c2 (z) = √α1c+α, где z – декартова2zкоордината, ортогональная прямолинейной границе раздела S, причемz < 0 в области Ω2. Постоянные α1 и α2 удовлетворяют условиям: 0 <α1 < 1, α2 > 0. Представлено точное решение поставленной задачив виде контурных интегралов. В области Ω2 искомое волновое поле U2имеет вид 2√ 23kik[z1−p−px]2Z+∞e 0vp − α1 − α2 z dpα2k 2 2,−p2π133kk2′(p2 − α1 ) + ik 1 − p2v(p2 − α1 )−∞ (α2 k ) 3 vα2α2(7)где v(ζ), w1(ζ), w2 (ζ) – функции Эйри в определении В.

А. Фока (см.[7]). Волновое поле в области Ω1 представляется в виде U1 = Uinc + Uref l ,где Uinc – волновое поле точечного источника при отсутствии границы6раздела сред, а функция Uref l имеет вид:Z+∞ ik[(z+z0)√1−p2 −px]1epUref l (x, z) =R(p)dp,2π2i 1 − p2(8)−∞где R(p) определяется следующим выражением: 2 2p3k 3k2 31 ′22(α2k ) vp − α1 − ik 1 − p2vp − α1α2α2. 2 2p331kk(p2 − α1 ) + ik 1 − p2v(p2 − α1 )(α2 k 2) 3 v ′α2α2(9)Единственность решения эталонной задачи доказывается в разделе1.4.В разделе 1.5 исследуется траектория лучей вышедших из точечного источника излучения в приближении геометрической оптики. Даетсяопределение волн шепчущей галереи, вычисляется их высокочастотнаяасимптотика.В разделе 1.6, пользуясь полученными в разделе 1.5 асимптотическими формулами, описывается структура и взаимное расположение волновых фронтов волн шепчущей галереи и головной волны интерференционного типа.

Волновой фронт любой волны шепчущей галереи можноразделить на две гладкие кривые – KiQi и Qi P . Индекс i равен количеству переотражений рассматриваемой волны при распространении вобласти Ω2. Точка P называется точкой выхода головной волны. Структура волн шепчущей галереи с i ∈ [n+1, n+4] (n – целое число, n ≫ 1), атакже головной волны интерференционного типа изображена на рис. 2.Доказываются утверждения: точка P является общей точкой волновых фронтов волн шепчущей галереи; участок волнового фронта волнышепчущей галереи с индексом i – KiQi представляет собой выпуклуюкривую, QiP – вогнутую; точки Q1 , Q2,... лежат на одной прямой; участки волновых фронтов волн шепчущей галереи P Qi в пределе при i → ∞стремятся к поверхности постоянной фазы головной волны интерференционного типа.Раздел 2.1 второй главы посвящен краткому описанию подходаВ.С.

Булдырева в исследовании высокочастотной асимптотики головнойволны интерференционного типа в задаче рассеяния волн точечного источника на границе неоднородного цилиндра произвольного сечения (см.[1]).7PQn+1Kn+2Kn+3Kn+4Qn+2Qn+3OQn+4Рис. 2: Волновые фронты головной волны интерференционного типа и волн шепчущей галереи. Пооси абсцисс откладывается значение переменной x, по оси ординат – переменной z.В разделе 2.2 исследуется поведение асимптотической формулы В.С.Булдырева (см. [1]) при увеличении расстояния от точечного источникаизлучения до границы раздела сред.