17, 18 (Лекции кафедральные (PDF)), страница 2

Такие зависимости E k в трехмерном пространстве( )также называют зонами Бриллюэна.Зоны Бриллюэна - это области значений волнового вектора k , в которых энергия электронов изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разрыв.Понятие зоны Бриллюэна играет важнейшую роль в физике твёрдого тела. Например, установлено, что на кристаллической решётке дифрагируют только те лучи, волновой вектор которых оканчивается на границе зоны Бриллюэна.4Семестр 4. Лекции 17-18.Из-за периодичности кристаллической решётки и наличия зон Бриллюэна в кристалле возникают запрещённые и разрешённые энергетические состояния. Возникновение запрещённых зонсвязано с тем, что для волн определённых длин де Бройля электрона на границе зон Бриллюэнавозникает условие брэгговского отражения, и волна отражается от границы зоны. Физическиэто равносильно тому, что возникает стоячая волна, и, следовательно, групповая скорость данной электронной волны равна нулю.

Таким образом, возникает интервал запрещённых частот(т.е. энергий).Проводимость металловРассмотрим движение электрона, участвующего в электропроводимости, с точки зренияклассической физики. На электрон со стороны внешнего электрического поля действует силаFK = qE , а со стороны усреднённого поля решётки металла и других электронов действует силаdv сопротивления FC , поэтому уравнение движения имеет вид m= FK + Fp = FОБЩ . Электричеdtский ток создаётся упорядоченным движением заряженных частиц, движущихся с установившейся скоростью (скоростью дрейфа).Если рассматривать волновое описание движения электронов, то как описать электропроводность в этом случае? Оказывается, что классическое рассмотрение и в этом случае остаётся справедливым, только необходимо модифицировать некоторые классические понятия.Введём понятие эффективной массы электрона, движущегося в периодическом полеdv кристалла.

Уравнение движения оставим в прежнем виде mэфф= FОБЩ . Предположим, чтоdtэлектрон движется вдоль силовой линии поля, поэтому вдоль линии тока можно перейти отdvвекторов к скалярам mэфф= FОБЩ .dtdωВ качестве скорости электрона примем групповую скорость волнового пакета v =.dk1 dEdv 1 d  dE  1 d 2 E dkТ.к. E = ω , то v =.

Найдем ускорение. (Здесь использовано== dkdt dt  dk  dk 2 dtdE dE dkсоотношение=.)dt dk dtdEМощность силы равна скорости изменения кинетической энергии FОБЩ v =. Тогдаdt1 dE dEdk FОБЩFОБЩ=или=. Подставим это выражение в формулу для ускорения dk dtdtdv 1 d 2 E 2 dv= 2Fили= FОБЩ . Поэтому эффективная масса электрона принимает видОБЩdt dk 2 d 2 E  dt 2  dk mэфф =Для свободно движущегося электрона E =2. d 2E  2  dk 2 2d 2 E 22k , поэтому=иm== m , т.е.эфф2mdk 2 m d 2E  2  dk совпадает с обычной массой.5Семестр 4. Лекции 17-18.Если электрон движется в периодическом поле кристалла, то зависимость E ( k ) непрерывна в пределах зон Бриллюэна.Рассмотрим, например, вторую зону.

Точка А находится нанижней границе зоны, поэтому под действием внешней силы скорость электронов должна только увеличиваться (на границе зонеdv FОБЩфункция E ( k ) терпит разрыв). Т.е.=> 0 , откудаdt mэффECΑΒk d 2E 2>0,поэтомувэтойточке 2  > 0 .

Соответственπ/a 2π/a0 d 2E  dk  A 2  dk но, точка В находится на верхней границе зоны, поэтому под действием внешней силы скоростьdv FОБЩ2электронов должна только уменьшаться. Т.е.=< 0 , откуда mэфф =< 0 , поэтомуdt mэфф d 2E  2  dk mэфф = d 2E в этой точке  2  < 0 . Тогда существует точка перегиба графика - точка С, в которой dk  B d 2E 2=0.Вэтойточкеm== ∞ , т.е электрон не «реагирует» на внешнюю силу 2 эфф d 2E  dk C 2  dk ускорение равно нулюdv FОБЩ== 0 . Соответствующую скорость можно принять за скоростьdt mэффдрейфа.Замечание. В реальных кристаллах эффективная масса зависит от направления движения, т.е.является тензорной величиной.Зонная структура в металлах, полупроводниках и диэлектрикахВ кристаллических телах существуют разрешённые и запрещённые энергетические зоны,в каждой из которых имеется большое число дискретных подуровней энергии, количество которых равно числу атомов в кристалле.Для того чтобы электрон принял участие в электропроводности, у него должна появитьсясоответствующая скорость упорядоченного движения.

Т.о. под воздействием внешней силыэлектрон должен приобрести дополнительную энергию, т.е. перейти на следующий энергетический уровень. Это возможно только в том случае, если уровень энергии свободен (в соответствии с запретом Паули).Если в переделах одной разрешённой энергетической зоны существуют свободные уровни энергии, то электроны могут перейти на эти уровни даже под воздействием небольшоговнешнего воздействия.Если в пределах данной зоны свободных уровней нет, но есть в следующей (по возрастанию), то электрону необходимо сообщить дополнительную энергию такой величины, чтобы онсмог «перепрыгнуть» запрещённую энергетическую зону.Распределение электронов по разрешённым энергетическим зонам и расположение этихзон на энергетической диаграмме определяет электропроводность тел.Т.к. электроны стремятся занять состояние с наименьшей энергией, то существует зонаполностью заполненная, но обладающая наибольшей энергией.

Её принято называть валентнойзоной. Следующая за ней зона, называемая зоной проводимости, может быть не заполненнойили частично заполненной.6Семестр 4. Лекции 17-18.В различных веществах, а также в различных формах одного и того же вещества, энергетические зоны располагаются по-разному. По взаимному расположению этих зон вещества делят натри большие группыПроводники - вещества, у которых либо электроны имеются в зоне проводимости, либовалентная зона и зона проводимости перекрываются. Таким образом, электрон может свободноперемещаться между уровнями энергии, получив любую допустимо малую энергию. К проводникам относят все металлы. Щелочные и благородные металлы имеют один валентный электрон, поэтому зона с наибольшей энергией у них будет заполнена наполовину.

Такие металлыхорошо проводят электрический ток. Щелочноземельные элементы имеют два валентных электрона, и, казалось бы, их зоны должны быть полностью заполнены, однако зоны в этих металлах перекрываются с образованием «общей» зоны «большей вместимости». Из-за этого зона снаибольшей энергией не полностью заполнена, а сами щелочноземельные элементы оказываются проводниками.Диэлектрики – вещества, энергетические зоны у которых не перекрываются и расстояниемежду ними составляет более 3,5 эВ.

Таким образом, для того, чтобы перевести электрон из валентной зоны в зону проводимости требуется значительная энергия, поэтому диэлектрики токпрактически не проводят. Четырехвалентный углерод (алмаз) имеет полностью заполненнуювалентную зону, отделенную от зоны проводимости запрещенной зоной порядка 5 эВ; алмазоказывается хорошим изолятором. Ионные кристаллы, являющиеся диэлектриками, также состоят из атомов с полностью заполненными валентными зонами.Полупроводники – это вещества, у которых зоны не перекрываются, но расстояние междуними составляет менее 10 kT при комнатной температуре.

Для того чтобы перевести электрониз валентной зоны в зону проводимости требуется энергия меньшая, чем для диэлектрика, поэтому чистые (собственные, нелегированные) полупроводники слабо пропускают ток. Частьэлектронов в результате теплового движению сможет «перебраться» из полностью заполненнойзоны в зону проводимости. В таком случае в валентной зоне появятся свободные состояния(дырки), а в зоне проводимости - состояния, занятые электронами.Четырехвалентные кремний и германий имеют полностью заполненную валентную зону,отделенную от зоны проводимости запрещенной зоной порядка 1,2 и 0,7 эВ соответственно, чтосоставляет примерно 10kT при комнатной температуре, электроны могут в таком случае переходить из валентной зоны в зону проводимости; кремний и германий являются самыми распространенными полупроводниками.

Электропроводность германия при нагреве быстрее увеличивается, чем кремния, поскольку ширина запрещенной зоны германия меньше, чем кремния.Поскольку одним из основных механизмов передачи электрону энергии является тепловой, то проводимость полупроводников очень сильно зависит от температуры. Также, проводимость можно увеличить, создав разрешенный энергетический уровень в запрещенной зоне, путем легирования. Подобным образом создаются все полупроводниковые приборы: солнечныеэлементы (преобразователи света в электричество), диоды, транзисторы, твердотельные лазерыи другие.Зонная теория является основой современной теории твёрдых тел. Она позволила понятьприроду и объяснить важнейшие свойства металлов, полупроводников и диэлектриков.