13 (Лекции кафедральные (PDF))

Семестр 4. Лекция 13.Лекция 13. Квантовые системы из одинаковых частиц.Принцип тождественности одинаковых микрочастиц. Симметричные и антисимметричные состояния (волновые функции) тождественных микрочастиц. Бозоны и фермионы.Принцип Паули. Периодическая система элементов.По представлениям классической физики частицы можно различить либо сравнивая ихсвойства (масса, электрический заряд, спин) либо отслеживая траекторию каждой частицы. Этоосновано на том, что в классической механике в процессах взаимодействия частиц можно измерить положение каждой частицы с бесконечной точностью. Но этот подход противоречит принципам квантовой механики.

Состояние частицы в квантовой механике описывается с помощьюволновой функции, которая позволяет определить лишь вероятность нахождения частицы в данной точке пространства. В случае перекрытия в пространстве волновых функций двух (или более) частиц с одинаковыми свойствами происходит «перекрытие» областей обнаружения этихчастиц. Тогда поведение системы в целом описывается одной волновой функцией, следовательно, в этом случае, нет смысла говорить о том, какая из частиц находится в данной точке области;имеет смысл говорить лишь о вероятности нахождения в окрестности этой точки одной из частиц. В квантовой механике одинаковые частицы, как говорят, являются «неразличимыми».Тождественные (иначе неразличимые) частицы - это частицы, которые принципиально немогут быть распознаны и отличены одна от другой.

К таким частицам относятся: элементарныечастицы (электроны, нейтроны и т.д.), а также составные микрочастицы, такие как атомы и молекулы. Существует два больших класса тождественных частиц: бозоны и фермионы.Частицы с целым спином относят к классу бозонов. Частицы с нецелым спином относят кклассу фермионов.Принцип тождественности одинаковых частиц гласит, что в замкнутой системе дляодинаковых (то есть обладающих одинаковыми свойствами: массой, зарядом, спином и т.п.)частиц реализуются только такие квантовые состояния, которые не меняются при перестановке местами двух любых одинаковых частиц.Принцип тождественности является одним из основных различий между классической иквантовой механикой. В классической механике можно проследить за движением отдельныхчастиц по траекториям и таким образом отличить их друг от друга. В квантовой механике тождественные частицы полностью лишены индивидуальности.Замечание.

Принцип тождественности в квантовой механике является существенно новым, то есть он логически не вытекает из остальных основных её положений, но он им не противоречит. Он подтверждается всей совокупностью опытных фактов.Рассмотрим волновую функцию, описывающую систему тождественных частиц. Согласно принципу тождественности состояние системы не изменится, если переставить любые двечастицы.

Зависимость пси-функции от параметров переставляемых частиц условно обозначимцифрами 1 и 2. Тогда волновая функция до перестановки имеет вид Ψ (1, 2 ) , а после перестановки Ψ ( 2 ,1) . Так состояние системы не меняется при перестановке, то функция плотности вероятности не должна измениться и в каждой точке области выполняется равенствоΨ (1, 2 ) = Ψ ( 2,1) .22Это выполняется в частности, если при перестановке пси-функция либо меняет знакΨ (1, 2 ) = −Ψ ( 2,1) , либо не меняет знак Ψ (1, 2 ) = Ψ ( 2,1) .Говорят, что если при перестановке любых двух аргументов функция меняет знак, то онаявляется антисимметричной (по аргументам), если нет – то симметричной.Системы фермионов описываются антисимметричными функциями, а системы бозонов– симметричными.1Семестр 4. Лекция 13.Принцип Паули.Прямым следствием принципа тождественности одинаковых частиц является принципПаули.Принцип Паули (принцип запрета) - один из фундаментальных принципов квантовой механики, согласно которому два и более тождественных фермиона не могут одновременно находиться в одном квантовом состоянии.Принцип Паули можно сформулировать следующим образом: в пределах одной квантовой системы в данном квантовом состоянии может находиться только один фермион, состояниедругого должно отличаться хотя бы одним квантовым числом.Действительно, т.к.

системы фермионов описываются антисимметричными функциями,то при перестановке двух тождественных фермионов выполняется равенство Ψ (1, 2 ) = −Ψ ( 2,1) .Но т.к. частицы являются тождественными, то их нельзя различить, следовательно, нельзя пронумеровать. В этом случае пси-функция не должна зависеть от номеров тождественных частиц,т.е. Ψ (1, 2 ) = Ψ ( 2,1) . Получаем равенство Ψ (1, 2 ) = −Ψ (1, 2 ) , откуда следует Ψ (1, 2 ) = 0 , т.е. такое состояние является нереализуемым.В системе, состоящей из тождественных бозонов нет ограничений на количество частиц,которые могут находиться в одном состоянии.Отсюда следует, что статистические функции распределения частиц в системах, состоящих из тождественных бозонов и системах состоящих из тождественных фермионов должныбыть различными.

Поведение систем тождественных фермионов описывается статистикой Ферми – Дирака, а бозонов – Бозе-Эйнштейна.Квантово-механическая модель атомаСовременная модель атома является развитием планетарной модели. Согласно этой модели, ядро атома состоит из положительно заряженных протонов и не имеющих заряда нейтронови окружено отрицательно заряженными электронами.

Однако представления квантовой механики не позволяют считать, что электроны движутся вокруг ядра по сколько-нибудь определённымтраекториям (неопределённость координаты электрона в атоме может быть сравнима с размерами самого атома). Говорят, что электроны образуют «электронное облако» вокруг ядра.Электронное облако изолированного атома не изменяет своей формы с течением времениотносительно ядра. Говорят, что электрон «движется» по орбитали. Существует дискретный набор таких орбиталей, и электроны могут находиться длительное время только в этих состояниях.Замечание.

Название «орбиталь» (а не орбита) отражает отличие от классического движения по траектории.Орбиталь - одноэлектронная волновая функция в сферически симметричном электрическом поле атомного ядра, задающаяся главным n, орбитальным l и магнитным m квантовымичислами.Метод самосогласованного поляАтом, как составную систему, можно полностью описать только полной волновой функцией.

Однако такое описание практически невозможно для атомов сложнее атома водорода - самого простого из всех атомов химических элементов. Удобно применять приближённое описание - метод самосогласованного поля (метод Хартри-Фока). В этом методе вводится понятие оволновой функции каждого электрона.

Волновая функция всей системы (атома) записываетсякак надлежащим образом симметризованое произведение одноэлектронных волновых функций.При вычислении волновой функции каждого электрона поле всех остальных электронов учитывается как внешний потенциал, зависящий в свою очередь от волновых функций этих остальныхэлектронов.В результате применения метода самосогласованного поля получается сложная системанелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Нахождение явного решения такой системыявляется весьма трудоёмкой задачей.2Семестр 4. Лекция 13.Однако уравнения самосогласованного поля имеют вращательную симметрию (то естьони сферически симметричны).

Это позволяет полностью классифицировать одноэлектронныеволновые функции, из которых составляется полная волновая функция атома. Волновую функцию электрона в самосогласованном поле можно охарактеризовать квантовыми числами.Квантовые числа.Главное квантовое число n может принимать любые целые положительные значения, начиная с единицы (n = 1,2,3, … ∞) и определяет общую энергию электрона на данной орбитали(энергетический уровень).

Энергия для n = ∞ соответствует энергии одноэлектронной ионизациидля данного энергетического уровня.Орбитальное квантовое число l (называемое также азимутальным квантовым числом) определяет момент импульса электрона и может принимать целые значения от 0 до n − 1.Орбитали принято называть по буквенному обозначению их орбитального числа:Значение орбитального квантового числа l0 1 2 3 4Буквенное обозначениеs p d fgЗамечание.