12 (Лекции кафедральные (PDF))

Семестр 4. Лекция 12.Лекция 12. Спонтанное и индуцированное излучение.Коэффициенты «А» и «В» Эйнштейна. Активные среды с инверсной заселенностью энергетических уровней. Оптические квантовые генераторы. Особенности лазерного излучения. Основные типы лазеров, их применение.Вынужденное излучение. Коэффициенты «А» и «В» Эйнштейна.Атом может самопроизвольно перейти из одного состояния в другое, энергия которогоменьше энергии предыдущего. Такой переход (и испускаемое при этом излучение) называетсяспонтанным.Под действием внешнего излучения атом также может перейти из одного состояния вдругое.

Если энергия конечного состояния больше энергии начального, то атом поглощаетэнергию. Если энергия конечного состояния меньше энергии начального, то атом испускаетэнергию. Такой тип излучения называется вынужденным или индуцированным излучением.При этом внешнее излучение принято называть вынуждающим излучением.Направление распространения вынужденного излучения, его частота, фаза, поляризация полностью совпадают, соответственно, с направлением, частотой, фазой и поляризациейвынуждающего излучения. Следовательно, вынужденное и вынуждающее излучения являютсястрого когерентными.Рассмотрим у атома какие-то два уровня энергии En и Em, Em > En .

Для упрощения исследования предположим, что переход с уровня En на уровень Em может быть только при поглощении кванта энергии, а обратный переход, с испусканием кванта энергии, может быть какспонтанным, так и вынужденным. Обозначим вероятность вынужденного перехода (в единицувремени) с уровня En на уровень Em как Pnm , а вероятность вынужденного обратного перехода Pmn .

При высокой температуре T → ∞ доля спонтанных переходов будет незначительной, поэтому будут преобладать вынужденные переходы, следовательно, из условия термодинамического равновесия следует, что вероятности прямого и обратного переходов должны быть равными Pnm = Pmn .Вероятность перехода с частотой ω под действием вынуждающего излучения должнабыть пропорциональная спектральной объёмной плотности энергии этого излученияPnm = Bnmuω , Pmn = Bmn uω . Коэффициенты пропорциональности Bnm и Bmn называются коэффициентами (коэффициенты «В») Эйнштейна. Из равенства Pnm = Pmn следует Bnm = Bmn .В состоянии термодинамического равновесия количество атомов, перешедших в единицувремени с одного уровня энергии на другой, должно быть равным количеству атомов, перешедших в обратном направлении N nm = N mn .

Но так как переход с меньшего уровня энергии Enна больший Em > En может быть только вынужденным, то N nm = N nm ВЫНУЖД . Обратный переход(с большего уровня энергии на меньший) может быть как спонтанным, так и вынужденнымN mn = N mn СПОНТ + N mn ВЫНУЖД .Тогда в состоянии термодинамического равновесия выполняется равенствоN nm ВЫНУЖД = N mn СПОНТ + N mn ВЫНУЖД .Вероятность спонтанного перехода (в единицу времени) с высокого уровня энергии нанизкий обозначим как Amn (это обозначение называется коэффициентом «А» Эйнштейна).Количество атомов, находящихся в состоянии с энергией En обозначим через N n , а в состоянии с энергией Em - N m .Количество атомов, перешедших за единицу времени с одного уровня энергии на другойдолжно быть пропорциональным количеству атомов, находящихся на начальном уровне энергии N nm ВЫНУЖД = Pnm N n = Bnmuω N n , N mn ВЫНУЖД = Pmn N m = Bmn uω N m , N mn СПОНТ = Amn N m .Подставляем эти выражения в условие термодинамического равновесия и получаем1Семестр 4.

Лекция 12.Bnmuω N n = Amn N m + Bmn uω N mоткуда можно найти спектральную объёмную плотность равновесного излученияAmn N mA1uω == mn.Bnm N n − Bmn N m Bmn N n N m − 1Для равновесной термодинамической системы можно применить классическое распределение Больцмана. Вероятность нахождения системы в одном из состояний со значением энергии En определяется выражением E exp  − n  kT pn = E ∑i exp  − kTi здесь суммирование проводится по полному набору дискретных значений { E1 ,E2 ,...,EN } .Пусть общее число атомов системы равно N, тогда число атомов, находящихся в состоянии сэнергией En равно N n = pn N , а в состоянии с энергией Em - соответственно N m = pm N .

Откуда E  exp  − n  NnpN kT  = n =N m pm N  Ei   ∑ exp  − kT   i Em   exp  − kT    = exp  Em − En  exp  − Ei   kT ∑ kT   iN ω Но разность энергий равна энергии кванта излучения Em − En = ω . В итоге, n = exp .Nm kT Подставим это выражение в формулу для спектральной объёмной плотности энергииAA11uω = mn= mn.Bmn N n N m − 1 Bmn ω exp  −1 kT Эта формула должна совпадать с формулой Планка для спектральной объёмной плотностиэнергии1ω3uω ,T = 2 3.πc ω exp  −1 kT ω3Поэтому Amn = 2 3 Bmn . Откуда находим для вероятности спонтанного переходаπcuω ,T ω3Pmnω3 ω  Amn = 2 3 Bmn= 2 3= Pmn  exp  − 1 .πcuω ,T π c  kT   ω31 2 3 π c exp  ω  − 1   kT  Т.е., действительно, при больших значениях температуры T → ∞ вероятность спонтанного перехода в единицу времени значительно меньше вероятности вынужденного перехода.Замечание.

Вероятность спонтанного перехода с верхнего уровня энергии на нижний обратнопропорциональна среднему времени жизни возбуждённого состояния.Активные среды с инверсной заселенностью энергетических уровней.Вещество, находящееся в состоянии термодинамического равновесия поглощает проходящее через него излучение. Обычно в веществе количество атомов в основном состоянии гораздо больше, чем атомов возбужденных. Поэтому электромагнитная волна, проходя по веще2Семестр 4.

Лекция 12.ству, расходует свою энергию на возбуждение атомов. Интенсивность излучения I при этом падает, подчиняясь закону Бугера:I = I 0 e − kll – геометрическая длина хода луча, I0 – начальная интенсивность при l = 0 , k – коэффициентпоглощения.В случае, когда количество атомов, находящихся в возбуждённом состоянии превышаетколичество атомов в основном состоянии, возможна ситуация, при которой интенсивность излучения будет возрастать по мере прохождения излучения сквозь вещество.Вещество, в котором возбужденных атомов гораздо больше, чем атомов в основном состоянии, называется активным. Число атомов N m на определенном уровне энергии Em называется заселенностью этого уровня, а ситуация, когда N m > N n при Em > En – инверсной заселенностью уровней.Пусть по активному веществу проходит электромагнитная волна, частота которой соотE − Enветствует переходу между уровнями энергии ωnm = mс инверсной заселённостью. Тогдаза счет индуцированного излучения при вынужденных переходах Em → En (которых будет значительно больше, чем актов поглощения En → Em ) будет происходить ее усиление.

«Наглядно»это означает, что каждый пролетевший сквозь вещество фотон вызывает появление точно такого же фотона. Вместе они порождают еще два фотона, эти четыре – восемь и так далее – в активном веществе возникает фотонная лавина. Такое явление приводит к экспоненциальномузакону нарастания интенсивности излучения, который записывается аналогично закону Бугера,но с коэффициентом (квантового) усиления α вместо коэффициента поглощения k: I = I 0 eαl .Nn E − En = exp  m формально следует,Nm kT что инверсная населённость уровней N m > N n при Em > En возможна при T < 0 . Поэтому инверсную населённость уровней иногда называют состоянием с «отрицательной» температурой.На практике, однако, столь стремительного роста числа фотонов не происходит.

В реальных веществах всегда есть множество факторов, вызывающих потерю энергии электромагнитной волны (рассеяние на неоднородностях среды, понепрозрачноеполупрозрачноеглощениепримесями и пр.). В итоге, можно добитьсязеркалозеркалоусиления волны хотя бы в десятки раз, только увеличив длину ее пробега в активной среде до несколькихметров, что осуществить нелегко. Но есть и другойпуть: поместить активное вещество между двумя параллельными зеркалами (в так называемый оптический резонатор). Волна, многократно отражаясь отних,пройдет достаточное для большого усиления расактивное веществостояние, если, конечно, число возбужденных атомовбудет оставаться большим, т.е.

сохранится инверснаязаселенность.Если одно из зеркал резонатора сделать полупрозрачным, то часть излучения выйдет наружу, а часть, после отражения будет возвращена в активную среду для генерации нового вынужденного излучения. (Так называемая обратная связь.)В качестве «глухого» зеркала нередко используют призму полного внутреннего отражения, в качестве полупрозрачного – стопу стеклянных пластин.После многократных отражений от зеркал останутся только те лучи, которые практически параллельны оси системы, остальные выйдут через боковые поверхности системы.

(Как мыλзнаем, угол расхождения лучей в пучке δϕ ≈ обратно пропорционален ширине пучка b. ПоbЗамечание. Из отношения для населённости уровней3Семестр 4. Лекция 12.этому, даже при очень точном расположении параллельных плоских зеркал расхождение лучейявляется неустранимым.)Замечание. Иногда применяют сферические зеркала большого радиуса.После многократных отражений в системе появится большое количество волн, испущенных в разные моменты времени. Т.к.

эти волны порождены вынужденным излучением, то ониявляются когерентными и между ними должна наблюдаться интерференция при отражении отзеркал. Если расстояние между зеркалами равно L, то условие усиления интенсивности дляволн c длиной волны λ после N проходов (одной из них) между зеркалами имеет вид LN = mλ(m – целое число). Ввиду наличия естественной спектральной ширины излучения, в составе индуцированного излучения будут волны с длинами в некотором интервале ( λ ,λ + δλ ) . Поэтому«выставляя» определенное расстояние между зеркалами можно добиться того, чтобы усиливалась та длина волны, на которую приходится максимум интенсивности излучения.Инверсную заселенность можно осуществлять и поддерживать при помощи отдельногоисточника энергии, который как бы «накачивает» ею активное вещество.

Таким источникомможет быть мощная лампа, электрический разряд, химическая реакция и т.п. Процесс созданияинверсной заселённости уровней называют «накачкой».Кроме того нужно, чтобы атомы на одном из верхних энергетических уровней оставались достаточно долго (относительно среднего времени жизни возбуждённого состояния) ичтобы там накопилось достаточное количество атомов вещества. А для этого необходимо иметькак минимум три уровня энергии рабочих частиц (атомов или ионов).Трехуровневая схема генерации излучения работает следующим образом. Накачка переводит атомы с нижнего энергетического уровня E1 на самый верхний E3.