10 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-10Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:СкачК первой строке прибавим третью:tigtu.ruаносanКо второй строке прибавим третью:Искомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-10Условие задачии, построенные по векторами?ачКоллинеарны ли векторыСкРешениеВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Нетрудно заметить, чтоТ.е., а значит векторыдля любыхи- коллинеарны..

Т.е. векторыи.Условие задачииНайти косинус угла между векторамиРешениеи:между векторамии:аносНаходим косинус угла.anНайдемtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-10Т.е. косинус угла:ачи следовательно уголЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-10Условие задачиСкВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахи.tigtu.ruРешениеПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:и, численно равна модулю их векторного, используя его свойства векторного произведения:ВычисляемanВычисляем площадь:Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-10аносУсловие задачиКомпланарны ли векторыРешение,и?Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхСкачплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.Так как, то векторы,ине компланарны.было равноУсловие задачиtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-10Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.Решениепроведем векторы:anИз вершиныи его высоту, опущенную изаносВ соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:ачВычислим смешанное произведение:СкПолучаем:Так какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:anПолучаем:tigtu.ruВычислим векторное произведение:Объем тетраэдра:Высота:аносТогда:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-10Условие задачидо плоскости, проходящей через три точкиачНайти расстояние от точки.РешениеСкНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точкиПроведем преобразования::tigtu.ruот точкидо плоскости:anРасстояниеНаходим:аносЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-10Условие задачиНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуРешение.:ачНайдем векторперпендикулярно векторуСкТак как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-10Условие задачиНайти угол между плоскостями:Решениемежду плоскостями определяется формулой:аносУголanДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-10Условие задачи, равноудаленной от точекачНайти координаты точкиРешениеиСкНайдем расстояниеТак как по условию задачи:, тои.tigtu.ruТаким образом.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-10Условие задачиanПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?РешениеПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьи коэффициентомпереходит в плоскостьанос.

Находим образ плоскостиПодставим координаты точкиТак как, то точкав уравнение:не принадлежит образу плоскостиачЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-10Условие задачиСкНаписать канонические уравнения прямой.РешениеКанонические уравнения прямой:,.::.

ПустьСкачаносНайдем какую-либо точку прямойanНайдем направляющий векторtigtu.ruгде- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:Следовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:, тогдаУсловие задачиНайти точку пересечения прямой и плоскости.РешениеаносПодставляем в уравнение плоскости:anЗапишем параметрические уравнения прямой.tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-10Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:ачПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-10СкУсловие задачиНайти точкусимметричную точкеотносительно прямой.tigtu.ruРешениеНаходим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точкуТак плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взятьнаправляющий вектор прямой:Тогда уравнение искомой плоскости:аносanпересечения прямой и плоскости.Найдем точкуЗапишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:ачНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:СкПолучаем:Так какявляется серединой отрезка, то.аносачСкtigtu.ruanПолучаем:.