Voprosy_dlya_podgotovki_k_ekzamenu (Теория)

Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине«Интегралы и дифференциальные уравнения»Модуль1. Интегралы1. Сформулируйте определение определенного интеграла; егогеометрический смысл.2. Сформулируйте и докажите теорему об оценке определенного интеграла.3. Сформулируйте и докажите свойство аддитивности определенногоинтеграла.4. Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании неравенств междуфункциями.5. Сформулируйте и докажите теорему о среднем значении дляопределенного интеграла.6.

Сформулируйте и докажите теорему о производной от интеграла спеременным верхним пределом.7. Выведите формулу Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.8. Сформулируйте признаки сходимости несобственных интегралов 1-города для неотрицательных функций.9. Сформулируйте и докажите предельный признак сходимостинесобственных интегралов 1-го рода для неотрицательных функций.10.

Сформулируйте и докажите предельный признак сходимостинесобственных интегралов 2-го рода для неотрицательных функций.11. Сформулируйте признаки сходимости несобственных интегралов 2-города для неотрицательных функций.12. Выведите формулу площади криволинейного сектора, заданного вполярной системе координат.13. Выведите формулу для вычисления объема по известным площадямпоперечных сечений и формулу для вычисления объема тела,образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси OX .14. Выведите формулу объема тела, образованного вращениемкриволинейной трапеции вокруг оси OY .15.

Дайте определение длины дуги плоской кривой. Напишите формулыдлины дуги кривой, заданной в декартовой и полярной системахкоординат.16. Напишите формулу площади поверхности, образованной вращением дугиплоской кривой вокруг оси OX .Модуль2. Дифференциальные уравнения1. Сформулируйте и докажите теоремы о свойствах частных решенийлинейных однородного и неоднородного дифференциальных уравнений.2. Сформулируйте и докажите теорему о вронскиане линейно зависимойсистемы функций.3. Сформулируйте и докажите теорему о вронскиане линейно независимойсистемы частных решений линейного однородного дифференциальногоуравнения.4.

Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решениялинейного однородного дифференциального уравнения n  го порядка.5. Дайте определение фундаментальной системы решений линейногооднородного дифференциального уравнения n  го порядка.Сформулируйте и докажите теорему о существовании фундаментальнойсистемы решений для указанного уравнения.6. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решениялинейного неоднородного дифференциального уравнения n  го порядка.7.

Выведите формулу Остроградского - Лиувилля для линейногооднородного дифференциального уравнения 2-го порядка.8. Сформулируйте и докажите теорему о наложении частных решенийлинейного неоднородного дифференциального уравнения (принципсуперпозиции).9. Дайте обоснование метода вариации произвольных постоянных (методавариации Лагранжа) для линейного неоднородного дифференциальногоуравнения 2-го порядка.10. Выведите формулу общего решения линейного однородногодифференциального уравнения 2-го порядка с постояннымикоэффициентами в случае простых действительных корнейхарактеристического уравнения.11. Выведите формулу общего решения линейного однородногодифференциального уравнения 2-го порядка с постояннымикоэффициентами в случае комплексных корней характеристическогоуравнения.12. Выведите формулу общего решения линейного однородногодифференциального уравнения 2-го порядка с постояннымикоэффициентами в случае кратных корней характеристическогоуравнения..