zm3 (Типовые задания к зачету)

Задание нунЗ Папвшпто программу расчета того, как остывает кувшгш с кофе, прелполагая, что изме- пеппе температуры кофе Т полчиляется следугощему уравнению телвопроводностп: лт' — = -г(Т вЂ” Т,), Лг где Т, — температура окружагощей среды, г — "скорость остывалия". Используйте в программе значение г = 0,026 мин '. Пояснения Уравнение (1) легко решить алалити гескп. Сделайте это. Ответ: Т(1) = Т + (Те— т.) ехр(-гг), где те — начальная температура кофе в момент времени 1 = О.

Нарялу с аналитическим решением часто приходится иметь дело с численным решением укаэаилой задаче. Пусть лам надо решать задачу (Ц с начальными условиями Т(1 = О) = т, ва отрезке (О, 1) (Задачу коши). Разобьем весь отрезок времени ла йг равных интервалов (1„,1„ш), так что 1„„, — 1„= гзс длЯ любого и = 0,1,...,Ф вЂ” 1. Тогда, если в ьгал~ент вРемени с„пам известна Решение т(г„) ж т„, то в ьюмент вРемени с„е, Решение может быть записано в виде (2) т„, = т„+ ~ — (т — т.) 11. Так как при гислелцом иптегрвровалии значения фупкцпй могут быть известпы толька па граиппах интервалов (в узлах расчетной сетки), то в общем случае интеграл (2) может быть вычислеп только приближенна.

В простейшем случае лодиитегральиое выражение может быть аппракпимировало его значением ла левой границе интервала и (2) приобретает вил: т„„= 1'„— (т„— т,)аг. Соотношение (3) опрелезгяет алгоритм првбллжевнога (численного) решения задачи (1), который носит название схемы Эйлера. Основным достоинствам схемы Эйлера является ее простота. Прп решепии многих задач эта схема оказывается неустойчивой (происходит рост опп~бкгг, возникшей в процессе числеллага решения (см. (1)).

Однако для решения залачл (1) вполне может быть кспоиьзована и зта простейшая схема. При этан можно показать, что численное решение сходится к точному в узлах расчетной сетки прк Ж О. Таким образом, можно ожидать полученде более точного решения прв умельшеиии йг. Указания ° Лля решепия пастаплеипой эалачи воспользуйтесь алгоритмом Эйлера. ° Используйте аналитическое решепие задачи для проверки и определения точности численного решения.

Лобейтесь точности численного решения це хуже О.беты ° Напишите программ> так, чтобы ола запрашивала ка ввод с квавиатуры начальное значение температуры кофе, зиачеппе температуры окружающей среды, ту температуру кофе, которую желательпо полу шть и опрелеляла бы время достп;келия этой температуры. Постарайтесь обеспечить "разумную" работу программы, даже лрп аноде завппомо "неразумных" иачальпых данных. .