Автореферат (Некоторые классы циклических модулей над алгебрами Ли)

Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé èíñòèòóòÂûñøàÿ Øêîëà ÝêîíîìèêèÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÌàêåäîíñêèé Åâãåíèé Àëåêñàíäðîâè÷Íåêîòîðûå êëàññû öèêëè÷åñêèõ ìîäóëåé íàäàëãåáðàìè Ëè01.01.06 ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåëÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà 2016Ðàáîòà âûïîëíåíà íà ôàêóëüòåòå ìàòåìàòèêè íàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî óíèâåðñèòåòà Âûñøàÿ Øêîëà ÝêîíîìèêèÎôèöèàëüíûå îïïîíåíòû:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Ïàíîâ Àëåêñàíäð Íèêîëàåâè÷, çàâåäóþùèé êàôåäðîé Àëãåáðû è Ãåîìåòðèè ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãîôàêóëüòåòà Ñàìàðñêîãî íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåòèìåíè àêàäåìèêà Ñ.Ï. Êîðîëåâà;äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Êîøåâîé Ãëåá Àëåêñååâè÷, ãëàâíûé íàó÷íûé ñîòðóäíèê ëàáîðàòîðèè ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè ÖÝÌÈ ÐÀÍ.Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:Èíñòèòóò Òåîðåòè÷åñêîé Ôèçèêè èìåíè Ë.

Ä. Ëàíäàó"2016 ãîäà â÷àñîâ íà çàñåäàíèèÇàùèòà ñîñòîèòñÿ "äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 002.077.03 ïðè Èíñòèòóòå ïðîáëåì ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè èì. À.À.Õàðêåâè÷à ÐÀÍ, ðàñïîëîæåííîìó ïî àäðåñó:127051, ã.Ìîñêâà, Áîëüøîé Êàðåòíûé ïåðåóëîê, 19, ñòð.1.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â áèáëèîòåêå Èíñòèòóòà ïðîáëåìïåðåäà÷è èíôîðìàöèè èì. À.À.Õàðêåâè÷à ÐÀÍ.Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàí ""2016 ãîäàÎòçûâû è çàìå÷àíèÿ ïî àâòîðåôåðàòó â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ, çàâåðåííûåïå÷àòüþ, ïðîñüáà âûñûëàòü ïî âûøåóêàçàííîìó àäðåñó íà èìÿ ó÷¼íîãîñåêðåòàðÿ äèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà.Ó÷åíûé ñåêðåòàðüÄèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 002.077.03,äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÑîáîëåâñêèé À.Í.3Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÄàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ íåêîòîðûõêëàññîâ öèêëè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé àëãåáð Ëè.Àêòóàëüíîñòü òåìû.Âîïðîñàì ðó÷íîñòè è äèêîñòè ïîñâÿùåíî ìíîãî ðàáîò, íàïðèìåð, [Gel],[D], [D1], [Han], [Sam] è ìíîãèå äðóãèå.

Êëàññèôèêàöèîííàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ ðó÷íîé, åñëè ìíîæåñòâî åå ðåøåíèé ïàðàìåòðèçóåòñÿ êîíå÷íûìñåìåéñòâîì îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâ. Íåòðèâèàëüíûìè ïðèìåðàìè ðó÷íûõ çàäà÷ ÿâëÿþòñÿ çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ïðåäñòàâëåíèé êîë÷àíîâ, ó êîòîðûõ ïîäëåæàùèé ãðàô (òî åñòü ãðàô, ïîëó÷àþùèéñÿ çàáûâàíèåì íàïðàâëåíèé ñòðåëîê) ÿâëÿåòñÿ àôôèííîé äèàãðàììîé Äûíêèíà.Äèêîé íàçûâàåòñÿ çàäà÷à, ê êîòîðîé ñâîäèòñÿ çàäà÷à êëàññèôèêàöèèïàðû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ñ òî÷íîñòüþ äî îäíîâðåìåííîé çàìåíû áàçèñà. Äàííàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ ýòàëîííîé ñëîæíîé çàäà÷åé.

Òàê ìîæíîñ÷èòàòü, íàïðèìåð, ïîòîìó, ÷òî ê äàííîé çàäà÷å ñâîäèòñÿ çàäà÷à êëàññèôèêàöèè íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ëþáîé êîíå÷íîìåðíîé àëãåáðû.Þ. Äðîçä äîêàçàë, ÷òî çàäà÷è êëàññèôèêàöèè êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé ëþáîé êîíå÷íîìåðíîé àññîöèàòèâíîé àëãåáðû ÿâëÿåòñÿ ëèáî ðó÷íîé, ëèáî äèêîé. Ïîýòîìó äëÿ ìíîãèõ äðóãèõ êàòåãîðèé åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ î òîì, ÿâëÿåòñÿ ëè çàäà÷à êëàññèôèêàöèè íåðàçëîæèìûõîáúåêòîâ ýòîé êàòåãîðèè ðó÷íîé èëè äèêîé.

 ÷àñòíîñòè, åñòåñòâåííîïîñòàâèòü âîïðîñ î òîì, âñåãäà ëè çàäà÷à êëàññèôèêàöèè ïðåäñòàâëåíèéêîíå÷íîìåðíîé àëãåáðû Ëè ÿâëÿåòñÿ ëèáî ðó÷íîé, ëèáî äèêîé, è åñëèäà, òî îïðåäåëèòü, â êàêèõ ñëó÷àÿõ ýòà çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ ðó÷íîé. ñòàòüå [2] àâòîðà áûëî äîêàçàíî, ÷òî çàäà÷à êëàññèôèêàöèè êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íîìåðíîé àëãåáðû Ëè ïðàêòè÷åñêè âîâñåõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ äèêîé, òî åñòü â íåêîòîðîì ñìûñëå ýòà êëàññèôèêàöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåâîçìîæíîé. Ýòà êëàññèôèêàöèÿ âîçìîæíà (çàäà÷àêëàññèôèêàöèè ÿâëÿåòñÿ ðó÷íîé) òîëüêî äëÿ ïîëóïðîñòûõ àëãåáð Ëè èîäíîìåðíûõ ðàñøèðåíèé ïîëóïðîñòûõ.

Ïîýòîìó èìååò ñìûñë èçó÷àòüñïåöèàëüíûå êëàññû ïðåäñòàâëåíèé. äàííîé äèññåðòàöèè èññëåäóþòñÿ ìîäóëè Âåéëÿ. Ýòî öèêëè÷åñêèåïðåäñòàâëåíèÿ áîðåëåâñêèõ ïîäàëãåáð àôôèííûõ àëãåáð, îïðåäåëåííûåíåêîòîðûì íàáîðîì ñîîòíîøåíèé. Îíè èçó÷àëèñü âî ìíîãèõ ðàáîòàõ, íàïðèìåð, [CL], [FL1], [FL2], [Kn], [S], [I].  ÷àñòíîñòè, èçó÷àëàñü èç âçàèìîñâÿçü ñ ìíîãî÷ëåíàìè Ìàêäîíàëüäà.  ðàáîòàõ Ñàíäåðñîí, Èîíà è ×àðèáûëî äîêàçàíî, ÷òî õàðàêòåð ìîäóëåé Âåéëÿ ñîâïàäàåò ñ ìíîãî÷ëåíàìèEλ (x, q, 0), λ ∈ −P+ , òî åñòü ñî ñïåöèàëèçàöèÿìè â íóëå íåñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ Ìàêäîíàëüäà. Äëÿ íåñêðó÷åííûõ òèïîâ A, D, E èäëÿ ñêðó÷åííûõ àôôèííûõ àëãåáð Ëè ýòî ñëåäóåò èç ñëåäóþùåãî ñîïîñòàâëåíèÿ.

Ñ îäíîé ñòîðîíû, íåñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû Ìàêäîíàëüäà ïîðîæäàþòñÿ äðóã èç äðóãà ñ ïîìîùüþ ïðèìåíåíèÿ íåêîòîðûõñïëåòàþùèõ îïåðàòîðîâ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, õàðàêòåðû ìîäóëåé Äåìàçþðà ïåðåâîäÿòñÿ äðóã â äðóãà ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðîâ Äåìàçþðà. Äàëåå4îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè ïîäñòàíîâêå t = 0 â ñïëåòàþùèå îïåðàòîðû ïîëó÷àþòñÿ îïåðàòîðû Äåìàçþðà, à àíòèäîìèíàíòíûå ìîäóëè Äåìàçþðàñîâïàäàþò ñ ìîäóëÿìè Âåéëÿ.Îäíàêî íà ýòîì ñâÿçü ìîäóëåé Âåéëÿ è ñïåöèàëèçàöèé íåñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ Ìàêäîíàëüäà íå çàêàí÷èâàåòñÿ.  ÷àñòíîñòè, ×åðåäíèêîì è Îððîì [CO1] èçó÷àëèñü ñïåöèàëèçàöèè íåñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ Ìàêäîíàëüäà â t = ∞.  ÷àñòíîñòè, ó íèõ âîçíèêàåò ãèïîòåçà îñâÿçè ìíîãî÷ëåíîâ Ìàêäîíàëüäà è ôèëüòðàöèé Ïóàíêàðå-ÁèðêãîôôàÂèòòà.

Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïóñòü M íåêîòîðûé öèêëè÷åñêèé ìîäóëü íàäàëãåáðîé Ëè g. Òîãäà íà ýòîì ìîäóëå ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì îïðåäåëèòü ÏÁ ôèëüòðàöèþ.  ÷àñòíîñòè, íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ÏÁÂôèëüòðàöèè íà ìîäóëÿõ Âåéëÿ Wµ . Ïóñòü U(n[t])s ÏÁÂ-ôèëüòðàöèÿ íàóíèâåðñàëüíîé îáåðòûâàþùåé àëãåáðå. Òàê êàê Wµ = U(n[t])wµ , ìû ïîëó÷àåì èíäóöèðîâàííóþ ôèëüòðàöèþ íà ìîäóëå Äåìàçþðà. Ïóñòü Wµgr àññîöèèðîâàííûé ãðàäóèðîâàííûé ìîäóëü.

Òîãäà:Wµgr =MWµgr (s), Wµgr (s) =s≥0U(n[t])s wµ.U(n[t])s−1 wµÎòìåòèì, ÷òî Wµgr ïðåäñòàâëåíèå àáåëåâîé àëãåáðû na [t], ãäå na àáåëåâà àëãåáðà Ëè ñ ïîäëåæàùèì âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì n. Ïóñòü D îïåðàòîð ÏÁÂ-ñòåïåíè íà Wµgr , òî åñòü D|Wµgr (s) = s · Id. Ïóñòü d îïåðàòîð ñòåïåíè ïî t â àôôèííîé àëãåáðå Ëè.

Ïîëîæèâ dwµ = 0, ìû ïîëó÷àåì äåéñòâèå îïåðàòîðà d íà Wµ . Ïóñòü Wµgr (s, r) ìíîæåñòâî âåêòîðîâv ∈ Wµgr (s), òàêèõ ÷òî dv = rv . Îòìåòèì, ÷òî êàæäûé Wµ (s, r) åñòåñòâåííûì îáðàçîì ÿâëÿåòñÿ bh-ìîäóëåì. Ìû îáîçíà÷àåì ÏÁÂ-õàðàêòåðWµ êàêXchq,p Wµ =q r ps ch Wµgr (s, r).r,s≥0Ãèïîòåçà ×åðåäíèêà-Îððà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñïåöèàëèçàöèè àíòèäîìèíàíòíûõ ìíîãî÷ëåíîâ Ìàêäîíàëüäà Ew0 (λ) (x, q −1 , ∞) ñîâïàäàåò ñîñïåöèàëèçàöèåé ÏÁÂ-õàðàêòåðà ìîäóëÿ Wλ ïðè p = q .  äàííîé äèññåðòàöèè ýòà ãèïîòåçà äëÿ òèïà A äîêàçûâàåòñÿ â ñëåäóþùèõ ÷àñòíûõñëó÷àÿõ: åñëè âåñ ÿâëÿåòñÿ êðàòíûì ôóíäàìåíòàëüíîìó è åñëè âåñ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ïåðâîãî è ïîñëåäíåãî ôóíäàìåíòàëüíîãî. ñòàòüå Êàöà è Âàêèìîòî ñêàçàíî, ÷òî õàðàêòåðû èíòåãðèðóåìûõ(2)ïðåäñòàâëåíèé ñî ñòàðøèì âåñîì äëÿ àôôèííûõ àëãåáð Ëè òèïà A2nñîâïàäàþò ñ õàðàêòåðàìè èíòåãðèðóåìûõ ïðåäñòàâëåíèé ìîäóëåé íàä\àôôèííûìè ñóïåðàëãåáðàìè Ëè òèïà osp(1,2n).

 äàííîé äèññåðòàöèè\2) èèññëåäóåòñÿ âîïðîñ ñâÿçè àôôèííûõ ñóïåðàëãåáð Ëè òèïà osp(1,(2)ïîëèíîìîâ Ìàêäîíàëüäà òèïà A2 .5Öåëü ðàáîòû ñîñòîèò â äîêàçàòåëüñòâå äèêîñòè çàäà÷èêëàññèôèêàöèè ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íîìåðíûõ àëãåáð Ëè, íå ÿâëÿþùèõñÿ ïîëóïðîñòûìè èëè îäíîìåðíûìè ðàñøèðåíèÿìè ïîëóïðîñòûõ. Òàêæåöåëüþ ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå ìîäóëåé Âåéëÿ è èçó÷åíèå ñâÿçè èõ õàðàêòåðîâ ñî ñïåöèàëèçàöèÿìè íåñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ Ìàêäîíàëüäà.  äèññåðòàöèè îïðåäåëåíû îáîáùåííûå ìîäóëè Âåéëÿ è äîêàçàíî,÷òî ñïåöèàëèçàöèè ìíîãî÷ëåíîâ Ìàêäîíàëüäà â t = ∞ ñîâïàäàþò ñ õàðàêòåðàìè íåêîòîðûõ îáîáùåííûõ ìîäóëåé Âåéëÿ.

Òàêæå â ðàáîòå äîêàçûâàåòñÿ íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ãèïîòåçû ×åðåäíèêà-Îððà. Òàêæå â ðàáîòå èçó÷àåòñÿ ñâÿçü ìíîãî÷ëåíîâ Ìàêäîíàëüäà-Êîîðíâèíäåðà ñïðåäñòàâëåíèÿìè ñóïåðàëãåáðû osp(1, 2).Öåëü ðàáîòû. íàøåé äèññåðòàöèè èñïîëüçîâàíû ìåòîäûòåîðèè ïðåäñòàâëåíèé êîë÷àíîâ äëÿ èçó÷åíèÿ ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íîìåðíûõ àëãåáð Ëè. Ïðèìåíåíà êîíñòðóêöèÿ äóáëÿ Ãàáðèåëÿ êîë÷àíà èôîðìà Òèòñà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äèêîñòè çàäà÷ ïðåäñòàâëåíèé àëãåáðËè ñ áîëåå ÷åì îäíîìåðíûì ðàäèêàëîì.Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.Ïðèìåíÿåòñÿ ïîäõîä Õàãëóíäà-Õàèìàíà-Ëîåðà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ Ìàêäîíàëüäà â òèïå A. Òàêæå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâÌàêäîíàëüäà ïðèìåíÿåòñÿ ôîðìóëà Îððà è Øèìîçîíî.

Äëÿ îöåíêè ñíèçó ðàçìåðíîñòåé ìîäóëåé ïðèìåíÿåòñÿ êîíñòðóêöèÿ ôüþæåí-ïðîèçâåäåíèÿ.Äèññåðòàöèÿ ñîäåðæèò ñëåäóþùèå íîâûå îïðåäåëåíèÿ, ðåçóëüòàòû è ìåòîäû:Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè.• Äîêàçàíî, ÷òî çàäà÷è êëàññèôèêàöèé ïðåäñòàâëåíèé êîíå÷íîìåðíûõ àëãåáð Ëè ðàçáèâàþòñÿ íà ðó÷íûå è äèêèå è îïðåäåëåíî.êîãäà ýòà çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ ðó÷íîé, à êîãäà äèêîé.• Îïðåäåëåíû îáîáùåííûå ìîäóëè Âåéëÿ.• Äîêàçàíî, ÷òî õàðàêòåðû îáîáùåííûõ ìîäóëåé Âåéëÿ ñîâïàäàþòñî ñïåöèàëèçàöèÿìè àíòèäîìèíàíòíûõ íåñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ Ìàêäîíàëüäà â t = ∞.• Ïîëó÷åíî íîâîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ×àðè-Èîíà î òîì, ÷òîõàðàêòåðû (êëàññè÷åñêèõ) ìîäóëåé Âåéëÿ ñîâïàäàþò ñî ñïåöèàëèçàöèÿìè àíòèäîìèíàíòíûõ ìíîãî÷ëåíîâ Ìàêäîíàëüäà â t = 0.• Äîêàçàíà ãèïîòåçà ×åðåäíèêà-Îððà â òèïå A äëÿ âåñîâ, êðàòíûõ ôóíäàìåíòàëüíûì, è äëÿ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ïåðâîãî èïîñëåäíåãî ôóíäàìåíòàëüíûõ âåñîâ.Íàó÷íàÿ íîâèçíà.ÿâëÿþòñÿ íîâûìè.Îïðåäåëåíèå 2 ÿâëÿåòñÿ íîâûì.

Òåîðåìû 1,2,3,4,5,6Äèññåðòàöèÿ èìååò òåîðåòè÷åñêèõ õàðàêòåð. Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ìîãóò áûòü ïîëåçíû ìàòåìàòèêàì, çàíèìàþùèìñÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè êîíå÷íîìåðíûõ àëãåáð Ëè,Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü.6ñïåöèàëèñòàì ïî ñèììåòðè÷åñêèõ ôóíêöèÿì, ñïåöèàëèñòàì ïî ìîäóëÿìÂåéëÿ.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà ñëåäóþùèõ íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèõ ñåìèíàðàõ: Ãîìîòîïè÷åñêèé ñåìèíàð ÂØÝ;Àïðîáàöèÿ ðàáîòû. ñåìèíàð ëàáîðàòîðèè ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè è òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé ÂØÝ.Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà ñëåäóþùèõ êîíôåðåíöèÿõ: PBW ltrations of modules for Lie algebras and their appearance/applicationsin Representation Theory, Ãëàçãî, ìàé 2014; Àëãåáðàè÷åñêèå ãðóïïû, àëãåáðû Ëè è òåîðèÿ èíâàðèàíòîâ, Ñàìàðà,èþëü 2015; Integrability in algebra, geometry and physics: new trends, Àñêîíà,èþëü 2015; PBW Structures in Representation Theory, Îáåðâîëüôàõ, ìàðò 2016.Ïóáëèêàöèè.

Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â 2 ðàáîòàõ, ñïèñîê êîòîðûõ ïðèâåäåí â êîíöå àâòîðåôåðàòà.Ñòðóêòóðà ðàáîòû. Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, òðåõ ðàçäåëîâè ñïèñêà ëèòåðàòóðû. Ïîëíûé îáúåì äèññåðòàöèè 107 ñòðàíèö, ñïèñîêëèòåðàòóðû ñîñòîèò èç 63 íàèìåíîâàíèé.7Êðàòêîå ñîäåðæàíèå ðàáîòû0.1. Ðó÷íîñòü è äèêîñòü. Î ðó÷íîñòè è äèêîñòè çàäà÷ òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé ñì., íàïðèìåð, ðàáîòû [Gel], [D], [D1], [Han], [Sam] è ìíîãèåäðóãèå.  ýòèõ ðàáîòàõ ñðåäè íåêîòîðûõ êëàññîâ çàäà÷ âûäåëåíû ðó÷íûåè äèêèå.Ðàññìîòðèì àëãåáðó Ëè L. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó êëàññèôèêàöèè åå êîíå÷íîìåðíûõ ëèíåéíûõ ïðåäñòàâëåíèé ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè.  äàííîé äèññåðòàöèè èññëåäóåòñÿ âîïðîñ î òîì, äëÿ êàêèõàëãåáð Ëè L äàííàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ äèêîé èëè ðó÷íîé. Òàêèå àëãåáðûáóäåì íàçûâàòü, ñîîòâåòñòâåííî, äèêèìè è ðó÷íûìè.

Íà äàííûé âîïðîñäàåòñÿ ñëåäóþùèé îòâåò.Òåîðåìà 1.Ðó÷íûìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå àëãåáðû Ëè:1) ïîëóïðîñòûå;2) îäíîìåðíàÿ àëãåáðà;3) ïðÿìûå ñóììû ïîëóïðîñòûõ ñ îäíîìåðíîé.Âñå îñòàëüíûå äèêèå.Èç ýòîé Òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî êîíå÷íîìåðíûå àëãåáðû Ëè ðàçáèâàþòñÿ íà äâà êëàññà ðó÷íûõ è äèêèõ.Ïðåäñòàâëåíèÿ íåïîëóïðîñòûõ àëãåáð Ëè èçó÷àþòñÿ ïðè ïîìîùè íåêîòîðîãî áåñêîíå÷íîãî êîë÷àíà. Àëãåáðà ïóòåé ýòîãî êîë÷àíà íå èçîìîðôíà îáåðòûâàþùåé àëãåáðå èñõîäíîé àëãåáðû Ëè. Îäíàêî êàòåãîðèÿ êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé ýòîé àëãåáðû ýêâèâàëåíòíà êàòåãîðèè êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé èñõîäíîé àëãåáðû Ëè.0.2. Ìîäóëè Âåéëÿ è ÏÁÂ-ôèëüòðàöèè. Ïîñêîëüêó çàäà÷à êëàññèôèêàöèè ïðåäñòàâëåíèé àëãåáð Ëè ïî÷òè âñåãäà ÿâëÿåòñÿ äèêîé, èìååòñìûñë èçó÷àòü íåêîòîðûå êîíêðåòíûå êëàññû ïðåäñòàâëåíèé, èìåþùèõõîðîøèå ñâîéñòâà.