Teoriya_veroyatnostey (Книга (теория вероятностей)), страница 6

Вео..- " а- ся Сбрасываются послодоватольио 3 сб 3.. П ': . ' тох 1 с г ог . ООМО.. Иатн вероятность тох что будет! ТОХ'О, 1) не молев с:емн лс»ладюи»й; 2) хотя бы одно г;оладаннв. Реыесйие. 1) требуетоя олределнть Рт 174 ~~ . '1слогн— зуя Дюрмул», (4), ЛОлучим Требуя гсй ОД13еделгсть 3 1,( —, )(а с лы (4) лотучаехс а Оснований йюрьсу- 8 Р, ~(йт,) юТР(Б)=~-Р4ю)-Я ф=(-®= 33 О Ответ, 1) Ве оятность сть не меггео сомы лоладаанй ав сть .- °; . 1 равна , хчО ° " тя ы одного 11ог»ада!вся равна О 6, нме 4, Схолвк, - °,сг лвкО раз нужиО бросссть 11г чтобьс вероятность Р .

.' о Б сть !.р лойвлегисй хо'хй бы О Б была не мелев 3,3? ОДБОй исвотЕРХБ бозначим через »( искоь Ре иенне, рез ~ - чхсло лоявггег ' ° а ОМОЕ '1НСЛ13 ннй ыестОркБ в 11 Оиыта "УСЛЕХИ" В ОДНОМ ОИЫ. )х- й . ° ЛОВ ч'тобы адыге )хе . Г1О слов оиы. 33- у ловию чадачи требуегсй )то о на основавнн форыугвя (.4) р ~„. р ~~~ „!!»р „, Й('(-Я' 2дб,( .Б.бу 3„Я, " .г Отве'.г. Нужно не менее !3 ра б аз роснть кубик.

Г лава П, Сг чай ые веги ! . 3 !чины. з ал )е 3 4 й 1 овальные л соб ю»овайяя с с ай 1х ве чии Зак асл е еле»1 »лссисн дана фунхино 1а НхинОиалЬнея заанс311 3»» -"ГЬ МЕЖ С »-Я с»»ЕЛ Й П та. усть зли»сть между случайнымн велнчнна- У = '(.('.3), прячем Мотность рлс 33».33 . Бйя ролла 1(х), (б) ' 3'1 Требуетсн нзйтк плотность, распрэдепеквя (,,[~~ случайной велкчнны 3 . Если ч'(Х) - монотовнаа ~(энхнкэ на.

множество эначе1шй л, то решение дает формула. В (,д1.='~ МЯ 1МФ. „-(Е) где ~Пф- обратная Функпкн к Функшьч ~ = ~'~х)* Если, с~~у) - кусочно-монотонная Фуя~ашя, то весь проме- жуток изменения х разбиваем на конечное гасло э промежутков ( Д~ ~~ " ~ч~, па кюкдоы нэ кстОрых Фуккшш $ —. ~~'~(Х),' яепяетсй монотонной„где ф,(Н1 = '(."(К), при йе3ч . К=(гем после оц~еделепия, Функпий ~,Я, н обрат~ых к ннм Функ- пнй 1уч (з'1 ответ дает формула ~-(~',=.м ~,~У'.(~11! т 1'~Й , З „„, ~~~ВВЬ~:„~~ЦРВВ С ~ кичимся рассмотрением Ф1нь1~Й дв1х случанных ар|чментов х и Ч, т.е.

будем рассматривать Фуншшонага ную зависимость. Л " 'Р()( Ч) (3) Функция распрепелешш (: й) случайной велкн1пы *,й огре- депяется выражением ~;~й)ер("Х~Й Р~~б Х) у~=,.й(х ф"(Х'(~ у (9) где ~(1 ~) - двумерная пло1ность распределения случайного Вектора (КД ) 1 Ьу, Область на пнссиостн Х ПЗ', для ко торой Я"(у,т1 ) х в „ знак ~'(у), плотность рос пределенкн -(т(В) случайной величины,е „днфференпкрованнем находим (';(у)= й' Д'):., Рассмотрим В качестве ~дар.у ) некОторые конкретныа' Фующщ, Пусть ф'%Ф Х ~У, т.е. ~'.

=.ует(' . Тогда: , ух. г и-У Г,~й) = Ц ~(КУ ( ф=~й~Ру,ф'Щ Яу~~;.ч~й~п 1у+'й"э й откуда плотность раслрэделеш~и, ~т(И- ~~(у,й- )~н = ) ~(й-у,~)ф:„. (1О) Если случайные Вопкчнкы 'Х и у независимы, т,е; ) Кф ~~(Ю'(К1ф тО. Формула (1О) предстлнет. В, вида' ~ (й)е ~~~Я~' (й-4А= ~~15-ф~~уМу", (11) ПРВЧЕМ ПЛОТИОСТЬ РССПРВДВЛВШФЯ: ~ЭД 1 В ЕТОМ СПУЧВВ бУДВ'Х" называться композицией:законов распределения; ~Дф к.

(ча(ф', Пусть )ЧУ,Ч) * У/9', т.е. 2 = 'Г/У, Тогда область = ~ 'У/ф ~ й ~ = ( Тх й У ! принимает ьид, представленный на рисунке, к, следовательно Г» (у) а ~Й ~~~И ф ~4~ " КФ Ч =(,(~ ~ ~(„РК, откуда 1 2. ~~ Скаля ныл с чайны - вели пны. Пусть з ВЩ) - функшш СЛунайиОГО арГуывита Х Вй а(-О,~ ) С ПЛОТНОСТЫО уаолрвдапаогда, по опредолешпо, математическим ожиданием, нли средним еначением ту называетсв число кото обоз чи р кОтОрое кача Втсн И К и определяется равенством Я т~ =. ~ 1~(к) ~ Я Мй.

Ь $ М ате маткче . этическое ожидание характери ет центр рассеяния возможных значений слччайной величины РС Йиспе кей Ъ случайной велкчины У называется среднее значекие квадрата раэностк Д-ХУ , т.е, чьз = м РФ'-':йуз")". (14) Исходи из обшей Формулы (1,3) Формулу для расчета Ъ3 для непрерывной случайной вели ганы можно записать Ф' Э писать в рме ЪУ = Г.~~-ИЧ)'Рй~У,, (1б) а Формулу (14) -' в таком эквивалентном виде; ычнслить (йчтх, в соответствии'с (13), можно по формуиз*= ~ ч ~ф~~ Вдр ти акое Отклонение $ Опредщшетчзн ранено и Среднее кван атич б" = у'тйу ', (16) (21) „де 1 О,О +0,80, При этом дляка инторвала»»»-6«)«д характер»»еуег точность определе»д»к 8 , а вероятность (' — достоверность определения. «О»«»«»ч»»о рассь»атр«»ваот симметричные (относительно оден- ки д ) доверктельяые»»»»тервалы ('»,В«)а(9-Я„«)+~)» причем Б вь»б>»рыст так, чтобы вь»»»сунд>юсь условие (Я ), Его теперь можно записать в ы»де Р»',(9-д|к6)ж$.

Палее будем «»сдользсдать» а>»»в обоз»»а»еш»с> 3 ('а') = Я-й,вой,')=Я,()'1 Обд>ее правило пастрое»ыя доверительного иктарвала для любого»»еиэвест»»ого перль»етра В 1которое яв>»яется пр»»блюде»»- иым) ос»шиадо ка пектральиой»»реда>лкой теореме Л»»ду»»ове, согласно которой опе>»ка Ф прк бо>шш>»х з»»аче>в»ях «««' »» в бр» имеет нормаль>ддй задок распределения о> бродили» Мб = 8 и дксперсией ЙФ ° Обозначим чепез ~»-дф квант>»»д» но)»ыльис»с распреде- ления уровня (- Ь «где о( —...1-4 «т,е, такое:>иаюкке ««ргу— мента «(у»»кпк»» >»«>пл»«сл Ф(к) . прк котор>м <-'КХ»,щ»1«а (- "Ъ.

т,е. доверительный ш»терзал 0(16) для да1»вметро 1)»«»феде>ж»»гся по 4юрь»у>»е ~~. (()) = ~-~1 бйУЪ~'. 44 иом законе распределения) и т.д Приближенное значение параметра 9 , наклонное по выборок>»ь»» значениям «««»»>> "» «'л случайной Вели*»>»»»ь» (нли ге паранькой совокупности) К, называется его точечной спевкой, илн дроста оленкой. Обозначается оно буквой Ф .

Недостаток точечных опеиок состоит в том, что при малом числе иаблюде>шй >> (при пк 1»> ) логреш«»ость точечных океиок 1 0- Э( может быть весьма сушественной, но она совсем ие определяетсч величиной й . Чтобы охарактеризовать то »исеть « оленки Р, можно использовать ее дисперсюо»«> . Одкако бо- лее удрб»»о дпя этой пели использовать доверитель»ш»й»нтервал ( Ф«» 8> ), градины которого (шокияя д«и верх»»яя а ) опредсляютсл по выборочным зиа»еы»ям Х«»ух»-., '» ь .

Псверя- тельнъ»й кнтервал (д««с«) "накрывает" величину 8 с заделкой вероятностью (иазь»ваемой доверительной) (," Р~В,=О .В,')ж~, Таким образом, чтобы применить 4 ° ( б рмулу 2, нужно лкшь знеть оленку О и ее дксперс до»я ° апркмер, если Р ) ' тс о=а " Ио 5>«>1» а если 0 бв»>2УУ л н Вб> — , где М и >> 1 »» - выборочные оденки, котрые определяются по формулам л «-~«2«, (24) То иъ» о е ные. и валы ля па ам ~ «« о ма -"К-- -. -'-"--.-:"-.-"."- , е» усть наблюдаемая Слу >ай ~„П а б' и ар метр»>: известен, тогда опенка Х «»«(/>1, б ) н, следовательно, .Р()Ф )и(< Х 1-АД =$.» т.е. доверительный интервал . ° ~~('( ')-)(+- Х1-٠— ' И (:й) нв»,1-~=-й 11 2.

Пареметрй' яенэвестен, Тогда сгда случайнви велики нв 'Мж Я >да>ет распределение Стьюдекта'с П-4 ста пенью овободь», По таблккам етого о е П4' 4 Ф~ я - и - В можно найти кваитнль ф(,~Д. уровня ~- Ф~й-; прн котором Р~Ф=(-"-Я1<11 ~~ от да еле куд следует«что довернтельи»дй ф,ф '""~ > инте)к>ал У,Ю- Х. Ь(.х%' При Д~'ЙО Ф1 «» аЩ1 ~ » а « одинаковый ответ.

~ййй, о. Парвметрь( и б' канев н>аеет )(а р ч — распределение ( «» ->квадрат" р ление) о й-4 сва сноба 42 и»«»рй кванткли ет»>го рас>4>еделанин 45, . уровней Ы»я н (-'»»»В, лри которых Р(у'Ь~ч б-я с ч»=яй откуда несложными алгебраическими греобраэованнямв получаем следуюшош в( Таням образом, доверительные 3»нтервалы,(((о'3 и я(Ф» апреле»шются так: Типовые овчар» н нх реш я» П,»„» „„„(,, у а- раэдов стальаях. стержпсй получены таю»е энэчеяяя разрывных уса»п»я (в Н)(.' й( ЗОО, 7.„3»О, ), ЗЗО и Кл-ч 340, Найти доверите ьнь(Е Ннтеряапы уровня» = О(О для сред- ней прочности н ее среднее квадратичное отклоне»ше, считая, что закон распределчшш ,( - норл»а»ъ(»ый, зеву~. и 3 ° ч (»4( 3-»(х»с(=33», 3-3»3» (у»»(-((» ° (3,33.

По таблнпам распределшпш Отьюдента для,»'=. »-)' И (» "»= Э находим, г»о 43 япя -"2,Зб, а по таблнпал(,3-' -распределения При В-»=З, 'Йь(»В( н (- 3»Х=»)чэ" находим, что 'Х";,а-())= = о,ъе и А» Й)=1,2. Подставим найденные эна(»еюш в»юр3»улы.(20) з (26», тогда Х)((3((н»= ъйо»с 2»(»» .

м За»3(с) ы( '»1 3 ( 63 '» ) ° (»Оп»л»й»3 2. На лаборатор(»ых весах, систематическая овшбка которь»Х Равна (»ушо, а случайные ошибки распрсделенл( НОРляа»ш- ло со средним кпадратичвыл( отк»ло3(еннел» 10 лш, оппепсляется до»»усти(.»ая вели'3333(а 3(»(3(лыс»«Око»(33(-» (»адо яэмершшй, чтобл( погрев(ность вэвешивв(п(я не прэвышша б ля, с версятносчыО 0382 Реше»ше, Г»усть (; - месой п(рнл(есш. Тогда реву»штат» --гс вэвешввйния Х(" = (2'л 3(('( (» "й» "3»3)» хдв хи» усж»вню случай»»а»3 40 »н"нбка ~' »~(О(б ) ., а следовательно, х» ф~с с ) д »' » Я»„.»»3, пРичем значение (7 известно ( б»0) ЕСЛИ ПРОВЕДЕНО Г» НвзаВНСНМЫХ ИЭМЕРЕНнй )»(,(»л(...,)»Л то их среднее врнфметнческое 7= .»- Ч )». в соответствии с Формулой (25) удовлетворяет условя»о (у()к-а.) к х3 яу,— „.„) =(-ы ')д По условию задачи погрешность р = Х » сух — не должна и превышать $,= 5 мг с вероятностью (-Л = чо() 5' ° т.е„ х» -у,7- 4 а От уда и: Х' ФЕ.