Электротехника Касаткин (Электротехника (Касаткин)), страница 9

(2.21) Так же обозначается и сам вектор на комплексной шшскостн (рис. 2.10) . Применяются три формы записи комплексного значения синусондальной величины: показательная уЬрма А =Аеуф =АЕ Ф; (2.22) тригонометрическая 4орма А = Асоаф + )Аа1пф (2.23) 5! и алгебраическая еуорма А = КеА + /1шА, 12.2 ) где КеА =Асоач) и!шА =Аа1пв — действительная и мнимая составляющие комплексного значения синусоидальной 'величины; А = 1тА — (КеА)а+ ПтпА)*; гт =атстй —,. ЦеА Переход от показательной формы к тригонометрической выполнен при помощи формулы Эйлера: + еут = соаФ + /ашФ.

(2.25) .При значениях угла Ф = я/2 и Ф = -е/2 из формулы Эйлера следуют два часто встречающяхся соотношения еуя/ =у и е уя/2 = -у = 1//. (2.2б) При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действуаацие значения синусоидальных величин; сокращенно их называют комплексными значениями, а соответствующие векторы на комплексной плоскости — векторами комплексных значений Например, сннусоидальному току у = у атууог + Ф. 1 = 10а)п(ссу + 45') соответствуеткомплексное значение тока У = Уе = — ет = 7,07/.

45'. у Ф, уо уе,. ту'2 Совокупность векторов комплексных значений синусоидальныя величин одной частоты называется векторной диаграммой, Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Это упрощает расчеты и делает их наглядными. Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы й всех комплексных значений уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину. Это озна.

чает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного, комплексного значения бью направлен вдоль оси действительных велиЧин. Такой вектор называется исходным еекгорон. Направления сннусоидальных величин (ток, напряжение и др.) в цепи периодически изменяются, но одно нз двух направлений принимается положительным. Это направление выбирается произвольно и показывается стрелкой на схеме соответствующего участка цепи. При 52 выбранном положительном направлении синусоидальная величина представляется мгновенным значением а =А э(п(щг + Р) и соответствуюРнс. 2.! 1 щнм комплексным значением А =А 7 ф 1см. (2.21) ]. Следовательно, взаимно однозначному представлению синусондальных токов, напряжений и других величин в виде мгновенных и комплексных значений соответствуют их одинаковые положительные направления (рис.

2А 1) . 2.8. 3АкОн ОмА В кОмплекснОЙ ФОРме для РезистиВМОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО ЭЛЕМЕНТОВ Зависимости между токами и напряжениями резистивных, индуктивных и емкостных элементов определяются происходящими в них физическими процессами. Математическое описание физических явлений для каждого из этих элементов зависит от выбранного способа представления синусоидальных величин. А. Резистивный элемент. Если ток в резистивном элементе синусондальный 1„= 1, а1п(сит + уг!), то по закону Ома (1.1) напряжение, приложенное к элементу (рнс. 2 А 2), равно и„= г! = «(„~а(л( г + Р,.) = и„юз)п(юг + ф„), где амплитуды тока и напряжения связаны соотношением (2,27а) а их начальные фазы одинаковые; (2.27б) т. е.

ток и напряжение в резистивном элементе изменяются синфазпо— совпадают по фазе, как показано на рнс. 2.12 для начальной фазы $„= = р.)0. ! Разделив правую и левую части выражения (2.27э) на з/2, получим соотнопюние для действующих значений напряжения и тока резистивного элемента: (2.28) Представим теперь синусоидальные ток н напряжение резистивного элемента соответствуэлцимн комплексными значениями (2.22): 1 =! е й! и () = (У е г г г Г . 53 Рис. 2.12 Рнс. 233 Учитьюая (2.28) и (2.276), получим закон Ома в комплексной форме для резистивного элемента: У, = г/„ (2.29) Соотношение между комплексными значениями тока и напряжения для резнстнвного элемента наглядно иллюстрируется векторной диаграммой (рис.

2.13). Из векторной диаграммы также видно, что векторы комплексных значений тока и напряжения резистнвного элемента совпадают по фазе. Б. Индуктивяый элемент. Если в индуктивном элементе ток синусоидальный: = 72 гйп(ш! + Ф,. ), то по закону электромагнитной индукции (2.3) напряжение на индук- тивном элементе равно и = -е = А!7! /г!! = ссЕХ соа(ш! + $ ) А А с гт = иа„аю(ю! + Ф,. + я/2) = сг! тз1П(ю! + Ф ), где амплитуды напряжения и тока связаны соотношением У = !сИ а их начальные фазы — соотношением !/!„= е! ~ я/2. (230а) (2300) (2.31) Разделив правую и левую части выражения (2.30а) на «/2, получим соотношение для действующих значений напряжения и тока индуктивного элемента; На рис, 2.14 показан график мгновенных значений синусоидальных тока и напряжения индуктивного элемента (построен при Ф,.

) О), из которого видно, что синусоидальный ток / отстает по фазе от синусондального напряжения и на угол р = 4„— й = я/2. Величина х = соЕ в выражении (2.31), единица которой Ом, пазы. Е вается индуктивным сопротивлением, а обратная величина Ь = 1/ой, единица которой Ом ' = См, — индуктивной проводимостью. Значения величин х н Ь являются параметрами индуктивных элементов цепей Е А синусоидального тока. Представим синусоидальные ток 1 н напряжение и индуктивного Ь элемента соответствующими комплексными значениями: 1 =./е Г и у =ус и.

/ф Ь Ь Ь На рис. 2.15 приведена векторная диаграмма дпя индуктивного эле. мента. На вектоуной диаграмМе показано, что вектор комплексного значения тока У отстает по фазе от вектора комплексного значения Е напряжения 0 на угая я/2. Пользуясь выражениями (2.31) и (2,26), А получим закон Ома в комплексной форме дяя индуктивного элемента; /Ф / (1Ь.

+ я/2) У ыИе " соХг е А Е Х (2,32) УА =/оЫА =/хА1А Входящая в это выражение величина /оК = /х называется комплексным с'опротивлеиием иидукгивноги элемента, а обратная ей вели. ' чина 1//ссЬ = -/Ь вЂ” комплексной проводимостью индуктивного зле- А мента. Комплексное значение напряжения на кндуктивном элементе можно выразить и через комплексное значение потокосцепления. Рис. 2,15 Из (2.1) следует, что ф = Ы , и по (2.32) У = -Е =/ссф. (2.33) Зто — математическая формулировка закона электромагнитной индукции (2.3) в комплексной форме. Иногда на векторной диаграмме, например при анализе трансформаторов, изображают также вектор Ь", который направлен в сторону, противоположную (/,, как следует из (2.33), и равен ему по абсолютному значению. В.

Емкостпый элемент. Если напряжение между выводами емкостного элемента изменяется синусоидально: г =(/~ а1( г Ф„), то йо (2Л 1) ашусоидальный ток 1 = С/пп,,//г = оси,, ( г+ й„) = = у а(п(шг+ Ф + я/2) =1 з(п(юг+ й ), где амплитуды напряжения и тока связаны соотношением С С с (2.34а) а их начальные фазы — соотнопюннем й,. = Ф„+ я/2. (2.34б) 1 и = — / =2/Ь, с с с с' (2.35) и Величина Ь .

= соС в выражении (2.35)„единица которой Ом"' См, называется емкосглой проводимостью, а обратная величина х = 1/ссС, единица которой Ом, — емкосгпым сопротивлением. Знас чения величин х, н Ь, являются параметрами емкостных элементов цепей синусоидального тока. В противоположность индуктивному сопротивлению емкостное сопротивление уменьшается с увеличением частоты синусоидзльного тока.

При постоянном напряжении сопротивление бесконечно велико. На рис. 2.1б показан график мгновенных значений сииусоидальных напряжения и тока для емкостного элемента (построен при йа > 0), из которого видно, что сш:усоидальное напряжение и. отстает по фа- 56 Разделив правую и левые части выражения (2.34а) на ~~>, получим соотиопюнне для действуиацих значений напряжения и тока емкостного элемента; ' Рас.

2.16 Рнс. 2.17 зе от синусоидального тока /с на угол й — й = я/2, т. е. сдвиг по и фазе междунапряженнеми током и= 1Ь вЂ” ф. =-я/2. и 1 Представим синусондальные ток 1с и напряжение и. емкостного элемента соответствующими комплексными значениями: 7с 7с е н (/с (/с /Ф, ' Ми На рис.

2.17 приведена векторная диаграмма для емкостного элемента и показано, что вектор комплексного значения напряжения ()с отстает по фазе от вектора комплексного значения тока тс на угол я/2. Учитывая (234) и (2.26), получаем закон Ома в комплексной фазе для емкостного элемента. 1 0 = — ! =-/х! с / с сс. (2.36) 2.9. ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ЗАКОНЫ КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ Математическая формулировка законов Кнрхгофа для цепей синусондального тока зависит от выбранного способа представления сину. соидальных величин.

А. Первый закон Кирхгофа. По,первому закону Кнрхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цели в каждый моментт времени равна нулю: п 1, =О, а 1 (2.37) 57 Величина 1//озС = -/х, входящая в зто выражение, называется С' комплексным сопротивлением емкоегного элемента, а обратная ей величина /озС =/Ь вЂ” комплексной проводимостью емкоетного элес. мента т. е.

и Е Умаял(1с1+ $1 ) = О, «-"1 где и — число ветвей, сходящихся в узле. В дальнейшем все синусоидальные токи, положнтельные направления которых выбраны к узлу (от узла), будем записывать со знаком минус (плюс) . Ня рис. 2.18 в качестве примера для одного из узлов построены мгновенные значения трех синусондальных токов !! — У а1п(шт + Ф! ), 1т = 1 та1п(ь22 + ф.з) и гпз !" ( ф1з) при выбранных положительных направлениях. По первому закону Кирхгофа Е 1„, = -1~ — тт + 1з = О а 1 для любого момента времени. Чтобы получить математическую формулировку первого закона Кцрхгофа в комплексной форме, представим все синусоидальные токи в 12,37) соответствующими им ком1шексными значениями (2.2!): У„, = ! 1. Ф,.». Первый закон Кирхгофа в комплексной форме записывается следующи м образом: (2.38) 1'ис.