Электротехника Касаткин (Электротехника (Касаткин)), страница 4

11.14) 20 1 1 -1 э, О гэ Гз 1 1 -1 г, О О гэ гз ! О О О 1 О 1 О 1 1 О О О 1 О 1 О 1 1 где я~ э = (гз + гз)/г; Кзз = (г| + гз)/» ' язз = (гэ + гз)/г Еэз = Егз = гз/г Е~ з = Ез ~ = гз/г 87 3 а за г!/г з, 1.9„МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СХЕМ В ряде случаев расчет сложной электрической цепи упрощается, если в ее схеме замещения заменить группу резистивных элементов другой эквивалентной ~руппой, в которой резнстивные элементы соединены иначе. Взаимная эквивалентность заключается в том, что после замены режим работы остальной части цепи не изменится. А. Смешанное соединение резистивных элементов. При наличии в цепи одного источника внешнюаз по опюшению к нему часть схемы можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистнвных элементов. Для расчета такой цепи удобно преобразовать ее схему замещения в эквивалентную схему с последовательным соединением резистивных элементов.

Например, в цепи на рис. 1.!4, а между узлами а и Ь включены трн резистивных элемента с сопротивлениями г,, гз и г4, т, е. проводимостями хз = !/гз, «з = 1/гз, яэ = !/гч; эквивалентная проводимость аэ 1/гз + 1/гз + 1/г4, (1.15) После замены параллельного соединения резистивных элементов эквивалентным резистивным элементом с сопротивлением г = !/у э э получается эквивалентная схема с последовательным соединением двух резистивных элементов г, и г (рис. 1.14, б), 21 Математическое обеспечение современных ЭВМ имеет стандартные подпрограммы рензения системы алгебраических уравнений в матричной форме.

При расчете схем замещения с источннкамн тока возможны упрощения, Действительно, токи В ветвей с источниками тока известны. Поэтому чисэзо независимых контуров (без источников тока!), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа„равно К=  — В - У+ !. При помощи законов Ома и Кнрхгофа можно рассчитать режим работы любой электрической цепи.

Однако порядок системы уравнений может быть большим. Для упрощения вычислений применяют различные расчетные мепщы: контурных токов, узловых потенциалов, межузлового напряжения, эквивалентного источника и т. д. Все этн методы основаны на законах Ома и Кирхгофа. Е~-е» гт Ет — е г! ь а) Ь Ряс.!.14 Ток в иераэветвленной части Е, = и~(г, + г„), и токи в параллельных ветвях Е, = и„~г,; Еэ = и„)гэ; )4 = с'аь/)'4 где 1 1 "АВ ВС СА АВ 'ВС СА АВ ВС СА АВ Сопротивление между узлами А и  — величина, обрапгая проводимости между этими узлами, т.

е. ~ ЛВ ВС СА АВ)~~ ЛВ ВС СА)' 22 Б. Соединение резистивных элементов по схеме звезды и треугольника. В общем случае схему замещения цепи по схеме л-лучевой звезды из резистивных элементов можно заменить эквивалентной схемой в виде л.стороннего многоугольника, Обратное преобразование возможно в ограниченном, числе случаев. В частности, преобразования в обоих направлениях возможны для случая треугольника и трехлучевой звезды. Такое преобразование применяется при расчетах сложных цепей постоянного тока и цепей трехфазного тока (см. гл.

3). Эквивалентность схем в виде треугольника и звезды !рис. 1А5) получается приравниваиием значений сопротивлений илн проводимостей между одноименными узлами этих схем, отсоецнненных от остальной части цепи. Найдем сопротивление между узлами А и В. Проводимость между узламн А и В для схемы треугольника на рис. 1.!5,а ' а) Рис!.!5 Для схемы звезда на рис.

!.15,б сопротивлепие между теми же узлами А и В равно сумме сопротивлений двух ветвей: г + г . Согласно условию зквивалеитности должио выполняться равенство АВ ВС СА + г !вВ (1Л7) Егд здесь Егд — сумма сопротивлеиий всех ветвей для треугольника, Структуры треугольника и звезды по отношению к узлам симметричны. Поэтому уравнения равепства сопротивлеиий между уздами В и С и между узлами С и А можио получить из (1.17) простой циклической перестановкой индексов; 'ва~~ '. '.вв 'вв Х Ввв (1,18) 'вв'вв ' 'Юла Хв (1,19) Чтобы определить сопротивление г„ звезды, сложим (1 Л7) и (1.19) и вычтем из этой суммы (!Лй); разделив последнее на 2, найдем ГА = ГАВЛСА/ЕГйв (1,20) Сопротивления других ветвей звезды получим путем циклической перестановки индексов; Г — тВСГАВУ Х ГЛ', С СА ВС' Ь' (1.21) (1.22) 23 В случае равенства сопротивлений ветвей треугольника (г В = г, АВ ВС 0 ВА = г~) сопротивления ветвей А Ю" эквивалентной звезды тоже одинаковы: с г( = гЬ/3, (1.23) а) е.) Возможно обратное преобразование звезды из резистнвных элементов в эквивалентный треугольник.

2(ля этого перемножим попарно выражения (1.20) -(122) н сложим полученные произведения: Ряс. 1.16 А В В С С А — гАВгВС СА ~(гАВ гВС гСА). Последнее уравнение разделим на (1.22) и определим сопротивление ветви треугольника: АВ А В А В~С' (1,24) Путем циклической лересганоаки индексов в (1.24) найдем выражения лля сопротивлений двух других ветвей: ВС В С В С~А" гСА = гС + гА + гСгА(гп. (1.25) (1.26) Примером упрощения расчетов может служить преобразование мостовой схемы соединения резистнвных элементов (рис. 1.16, а), После замены одного из треугольников эквивалентной звездой всю цепь (рис.

1.16, б) можно рассматривать как смешанное соединение реэнстивньга элементов. 1.1П,МЕТОД УЗЛОВЫУ ПОТЕНЦИАЛОВ Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число совместно реппемых уравнений до У вЂ” 1, где У вЂ” число узлов схемы замещения цепи. Метод основан на применении первого закона Кирхгофа н заключается в следующем: 1) один узел схемы цепи принимаем базисным с нулевым потенциалом. Такое допущение не изменяет значения токов в Ветвях„так как ток в каждой ветви зависит только от разностей попапциалов узлов, а не от действительных значений потенциалов; 2) для остальных У вЂ” 1 узлов составляем уравнения но первому за. кону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов; 3) реипннем составленной системы уравнений определяем потен- 24 Рек гпт 1!+ 1з+ 1! = О; узел 2 1г — 1э — 1г = О, где 1г = (Фз Фз)!г! = Фзlгз' 1г = (Фг Фз)1гг = Фаlгг 1э = (Ф! — Фа + ЕНгз, т.

е, после подстановки + — /Ф! — — Фз = 1! гэ гз (1.27а) !11!'те — Ф! — + — Фг,= 1г + "з гз гз или в матричной форме ! ! — + гг Фз гз Е гз ! ! + та Гэ 1г О 1 гз (1.276) 25 пиалы У вЂ” 1 узлов относительиЬ базисного, а затем токи ветвей по обобщенному закону Ома (1.8). Рассмотрим применение метода на примере расчета пепи по рис. 1.17; содержащей У = 3 узла, Узел 3 принимаем базисным, т.

е. Фз =О. Для узлов 1 н 2 уравнения по первому закону Кирхгофа: узел 1 Р я/г г<< э = 'Р< Нг = 2, </г (1.28) Выражение (128) назьвается форМулой мехуэлоного напряжения. Иаприьюр, для цепи на схеме рис. 1 18 напряжение между узлами по (1.28) д<7г< + Я</гэ+ д<7гэ с<<э = !Зг< + <<гэ + <<гэ 1.11. Ь1ЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ Метод контурных токов позволяет уменьшить чиаю совместно репиемых уравнений до А' =  —  — У + 1 н основан иа применении второго закона Кирхго<р<. Рассмотрим сущность метода сначала для расчета схемы пепи без источников тока, т.

е, при В = О: 1) выбираем К =  — У+ 1 независимых контуров и положителы<ь<х направлений так называемых контурных токов, каждый из которых протекает по всем элементам соответствующего контура. Для пленарных схем, т. е. допускааяпих изображение на плоскости без пересечения ветвей, достаточным условием вьщелепия 7<' незави2а Решение системы уравнений (1.27а) методом подстановок или (1,276) численным методом на ЗВМ определяет потенциалы узг г г а э лов р< и <аэ, а следовательно, и токи ветвей но (1.8).

Е, Еа Из записи (1.27) очевиден принцип составлений уравнений по методу узловых потенциалов. В левой части уравнений ко- Е эффнциеит при потенциале рассматриваемоРне. <Ла го узла положителен и равен сумме проводимостей сходящихся к нему ветвей. Коэффициенты при потенциалах узлов, соединенных ветвямн с рассматриваемым узлом, отрицательны и равны проводимостям соответствующих ветвей. Правая часть уравнений содержит алгебраическую сумму токов ветвей с источниками токов и токов короткого замыкания ветвей с источникамн ЭДС, сходящихся к рассматриваемому узлу, причем слагаемые берутся со знаком плюс (минус), если ток источника тока и ЭДС направлены к рассматриваемому узлу (от узла) . В частном случае схемы замещения без источников тока с двумя узлами потенциал узла 1 при'базисном узле 2, т.

е. при рэ = О, равен напряжению мех<ду узлами симых контуров является наличие в каждом нз них хотя бь! одичэй ветви, припадпежапюй только этому контуру; 2) для А' независимых контуров составляем уравнения по второму закону' Кирхгофа, совмссп»ос регпспис которых определяет всс контурные токи; 3) ток каждой ветви определяем но перпому закону Кирхгофа как алгебраическую сумму контурных токов в соответствующей ветви. В качестве примера рассмотрим расчет цепи па рис.

!.)9, а с числом ветвей 29 = б, узлов У = 4, независимых ко»нуров А' = В - У+ 1 = б — 4 4 + ! = 3. Выбирем пезависимыс контуры 1-3 н нояожнтсльпыс направ'- ления контурных токов в пих 1! !. 12! и 133 (рис. !.)9, б), В отличие от токов ветвей каждый конгурный ток обозначим двойным индексом номера контура. Уравнения по второму икону Кирхгофа: контур 1 (Г, + Гб + Г,)1, ! — Г»12, С Г»133 = 1.', 1:4; контур 2 Г»13! (Г2 Г5 + Гб)122 4 Г»133 = 1:2! контур 3' Г41! ! + Г»122 + (ГЭ + Г» + Г» )133 — 133 — 1!4, (!.29а) нли в матричной форме Г, + Г4 + Гб 122 Гэ + Г» + Гб "Э Г4 Г» Г4 О О О ! О О О ! 11! — 114 ().296) Репнине системы уравнений (!29а! мапэдом подстановок нли (!.)96) численными методами на ЭВМ определяет контурные токи 1, 3, 12 2, 13 !.