Электротехника Касаткин (Электротехника (Касаткин)), страница 10

2,19 Рис. 2.18 т. е. алгебраическая сумма комплексных значений токов всех ветвей, сходящихся в каком-либо узле цепи синусоидального тока. равна нулю. Здесь коьюлекснью значения токов, для которых положительные направления выбраны к узлу (от узла), записываются со знаком минус (плюс) . На рис. 2.19 построена векторная диаграмма трех токов: 1, = т, !.

'т!! !з = Уз !- 'г'. н уз= !э~ Фгз. На векторной диаграмме должно выполняться равенство з В УФ вЂ” !! та+ Уз - О. а .! Б. Второй закон Кирхгофа. По второму закону Кнрхгофа алгебраическая сумма напряжений всех участков любого контура в каж. дьй момент времени равна нулю: ьт и =О, (2.39) Ф=! т. е. Х У ьазл(щг + Ф„„) = О, ь=! где напряжения, положительные направления которых совпадают (протнвоположны) с выбранным направлением обхода контура, записываются со знаком плюс (минус); л! — число участков. В частности, для контура схемы замещения, содержащего только пассивные элементы (реэистивные, индуктивные, емкостные) и источники ЭДС, в каждый момент времени алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме ЭЛС: и т ив= Х е Ф=! ь=! ь (2.40) я РИ В С! ара(юг+ ф ) = Х Ее,„агп(юг+ Ф «), Ф ! е ! 59 где и и !л — соответственно числа пассивных элементов н ЭДС в контуре.

В выражении (2.40) напряжения и, и ЭДС е„, для которых положительные направления совпадают (противоположны) с произвольно выбранным направлением обхода ко!пура, записываются со знаком плюс (минус). Например, для выбранного на схеме замещения (рис.

220) контура ( по (2,39) и,— из — из+ и, =О, дня контура 2 по (2.40) и — и = е1 — ез. г А Второй закон Кирхгофа в комплексной форме получим, представив все синусоидальные величины в (2.39) и (2,40) соответ«твующими комплексными значениями по (2.21): У„=У (.ф Е =Е 2.ф т.

е. ю Х (2„= 0 2 =! (2.41 а) (2.41б) Рес. 2.21 60 ! ! ! ! ! ! ! Рис. 2.20 ! ! ! ! !, ! ! 3- В уравнениях (2.41) са знаком плюс (минус) записываются комплексные значения напряжений н ЭПС, положительные направления которых совпадают (противоположны) с произвольно выбранным направлением обхода контура. Например, для выбранного на схеме цепи (рнс. 2.21, а) контура 2 по (2.41а) Ц- и,— и,+ и„= О, дляконтура 2по'(3.41б) и и, = е, - к,. Г Те же хонтурм 1 и 2 пояазапы на схеме замещения с сннусоцдальнымн величинами'(рис. 2.20) . На рис.

2.21, б построена векторная диаграмма ЭДС и напряжений контура 2, которая наглядна иллюстрирует второй закон Хнрхгофа в коьвтлексной форме. е.тп. кОмплексный метпд РАсчетА цепей синусомдяльного токя Между мгновенными значениями синусоидальных величии (2,20) и их комплексными значениями (2.21) существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому для описания режима работы цепи синусоидального така можно применять любой нз этих способов представления свнусоидальных величин.

Однако в случае представления сииусондальных величин комплекснымн значениями запись законов Ома и Кирхгофа упрощается ввиду отсутствия тригонометрических функций. Совместное решение алгебраических уравнений, составленных на основе законов Ома и Кирхгафа, дла определения комплексных значений токов и напряжений всех элементов челн, т, е. применение комплексного метода расчета, — достаточна простая задача. По найденным комплексным значениям можно записать при необходимости и соответствующие им мгновенные значения сннусондальных величин.

При расчете режима работы цепи синусоидального тока комплексвьпи методом полезно вьщелить несколько логически самостоятельных этапов: 1) представить исходные данные о параметрах всех элементов цепи в комплексной форме. Это означает, что, во-первых, синусоидальные ЭДС источников напряжения или токи источников тока, заданные мгновенными значенпями (в тригонометрической форме), следует представить комплексными значениями (табл., 2.3) и, во-вторых, для индуктивных и емкостных элементов цепи нужна определить соответствуняцне комплексные сопротивления нли комплексные проводимости (табл.

2.4); б! Таллине йд Представление сннусопдальных ЭДС и токов источников комклексиыми значениями Комплексное значение Условное пзобракенне Источник Мгновенное зпачсннс ф ф ,т® ~м "~е с) "- —. с з/Г Эдс сии Яп(шг +Ф ) /(г) = l э)п(шт +(У ) Тока табанил 24. комплексные сопротивлении и проводимости пассивных элементов Комплексное Комплекснаа сопротивление проводимость Элемент Резистнвныа 1 и )Ь )сос )оэа и)» Е Индуктнвныа 1 )хс )'с зС Емкостныа усос =)ЬС 2) выбрать положительн()е направления для токов во всех ветвях, указав нх стрелками на схеме замещения; 3) пользуясь законамн Ома и Кирхгофа в комплексной форме н учитывая выбранные положительные направления токов в ветвях. составить систему уравнений, опрепеляюшую режим работм цепи; 4) решить полученную систему уравнений, т.

е. определить иомп- лексные значения токов в ветвях цепи и комплексные значения на- пряжений на ее элементах. Найденные комплексные значения токов и напряжений однозначно определяют соответствукщие им мгновенные значения синусоидаль- ных токов и напряжений. В качестве примера рассмотрим расчет комплексным методом це- пи синусоидального тока со схемой эамешения на рис. 2.22, содержа- щей В = 5 ветвей, из которых В = 1 ветвь имеет источник тока и .г(г) = Г а(п(шг + ф ), и У = 3 узла,а также источник ЭДС е = Е а)п(оэг + $ ), бс е — ы с а) Ряс.

2.22 У =,11.9 Определим комплексные сопротивления индуктивного ггеЬ =(х ь и емкостного 1/уьэС=-1х, элементов (см. табл. 2.4). На рис, 2.22, б изображена схема, для которой исходные данные о параметрах всех элементов представлены в комплексной форме. 2. Выберем положительные направления неизвестных токов в ветвях (рнс.

2.22, а) и совпадающие с ними положительные направления напряжений на пассивных элементах. Положительные направления соответствующих им комплексных значений такие же (рис. 2.22, 6). 3. При выбранных положительных направлениях токов и напряжений составим У вЂ” ! = 3 — ! = 2 независимых уравнения по первому за. кону Кирхгофа для узлов а и Ь: -! — т' + У,=О (2.42а) и К =  —  — У + 1 = 5 — ! — 3 ь ! =2 независимых уравнения по вто- I рому закону Кирхгофа для контуров 1 н 2 (без источников тока!); () — б, = Е; (1„- (УС = О, !хЬ1 + Ух 1С = Е; (2.42б) И,— тс1,=0, (2.42в) Для этого выполним последовательно асе этапы расчета, 1.'Представим синусоидальные ЭДС е(т) и ток У(г) источников соответствующими комплексными значениями !см. (2.21) и табл.

2,3): где учтены соотношения (2.29), (232), (2,36) законов Ома в комплек- сной форме: (уу. = у"Л' (ус = -у"сус (у =ту,; 4. Решив совместно систему четырех алгебраических уравнений (2,42), определим комплексные значения токов:, ! =Ус Уг' 1 =Уе 1У.; У =У е УС. У вЂ” Уе Уе уФ . уФ уе. ° уФ. г г ' У. А ' С С У е е Дпя найденньм значений токов запишем соответствующие им мгновенные значения; 1 = ъ/2у а1п(гог + Фу ); у = эуу2у а1п(оэг + ф ); гс = эУ2Усауп(оэу + фус); У = эУ2У ащ(оэг + Р,. ).

Комплексные значения напряжения определяются по закону Ома, а мгновенные значения записываются аналогично мгновенным значе. ниям токов. Дпя расчета системы уравнений (2,42) при помощи ЭВМ ее следует представить аналогично (1,13) в матричной форме подобно (1.10); 1 0 0 01-1 у е О 0 О 0 0 0 1 1 — 1 0 0 ух ух , 0 0 О 0 -ухс г где ток в ветви с источником тока 1 = У.

Х Для линейных цепей синусондального тока, так же как и для линейных цепей постоянного тока, справедпив принцип наложения (см. э 1.12). Поэтому для упрощения анапнза линейных цепей синусоидапьного тока мэжно применять различные методы расчета, которые бы. ли рассмотрены при анализе линейных цепей постоянного тока; метод 64 1 0 О 0 О -1 0 0 0 0 0 0 0 " О 0 1 0 0 0 О О О О О у Ус у„ преобразования схем (см. й 1.9), метод узловых потенциалов (см. Е 1.10), метод контурных токов (см. Е 1.11), метод эквивалентного источника (см. й 1.14) н др. При этом математические формулировки различных методов расчета цепей постоянного тока остаются справеппнвыми и для расчета цепей синусондального тока.

Нужно только все ЭДС, напряжения и токи заменить комплексными значениями соответствующих синусоидальных величин, а сопротивления элементов комплексными сопротивлениями. В дальнейшем для понятий комплексные значения ЭДС, напряжения, токи и т. д., а также соответствующих им векторов комплексных значений будем пользоваться я сокращенными терминами, например комплексный ток или просто ток.

2.11, НЕРАЗВЕТВЛЕННАЯ ЦЕПЬ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА В неразветвленной цепи (рис. 2.23) при действии источника синусоидальной ЭДС е = Е з(п(ест + йе) ток также синусоидалеи: = 1 а1п(ьзт + йз) и напряжения на резистивном, индуктивном и ем'костном злеме~пах и = 6', з1п(ео1 + 4~и„); и = С' е,з1п(сзт + Ф„т ); нС = ССй 1п( 1 + ФиС). Для расчета режима работы неразветвлснной цепи комплексным методом представим все синусоидальные величины соответствующими комплексными по (2.21): уе' 2 е ~- Р1' бе ('е С уиг' С йит.' С С ~ С На рис.

2,23 стрелками изображены положительные направления тока, ЭДС н напряжений. Выберем направление обхода контура и запишем уравнение по второму закону Кирхгофа (2,41): (2.43) здесь учтен закон Ома для резистивного (2.29), индуктивного (2.32) и емкостного (2,36) элементов. Из (2.43) найдем комплексный ток в цени: Е е + 1(еоь — 1/с >С) 65 3-27 (2.44) !— т + !<со!. - 2!ь>С) 2>1> т, 2ч>,, где (! = (те " = Е = Ес с — иапряжспис между выводами источника и пассивного участка. Величина, стоящая в знаменателе выражения для комплексного тока (2.44), называется комплексным сопротивлением (перазвствлеи.

ного участка цепи): ~ = г + ! (с>А — 1/(>оС)) = > + 2(х -- х.). (2.45а) Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплсксяой проводимостью; У = 1тЕ. Каждому значению комплексного сопротивления 7, т. с. комплексному числу, соответстиуст точка иа комплексной плоскости. Ес положепис однозначна определяется вектором па комплексной плоскости (рис. 2.24). Этот вектор является геометрической интерпретацией коьюлсксиого сопротивления и имеет такое жс обозпачсиис Д.

Слагаемъю комплексного сопротиялсиия изображены на рис. 2.24 также ' в виде векторов для двух случаев: х > х . (рис. 2.24, а) и х ( х, Рис. 2.23 Рис, 2,24 (рис. 2.24, б). Геометрическая интерпретация комплексного сопро. тивления позволяет легко перейти от алгебраической формы записи комплексного сопротивления (2,45а) к тригонометрической и пока. зательной формам: Д = г сов р + /г атп р; .й = г ест' = г 7 р, (2.45б) (2.45а) Е Н )СФ,-Р7 1= — = — е г илн Мг й и 7'(Ф„- Р7 1=!е ' = — = — е Д г (2.46) ' т. е, 7 = (7/г Ф, = Ф„- р (2.47) При известном комплексном токе в цепи комплексные напряжения на резистивном, инцуктивном и емкостном элементах рассчитываются соответственно по (2.29), (2.32), (2.3б).