Цепи синусоидального тока 1

московский госудлрствнпый тгхничьский" ниэерситет им. н.Э, Вл.МАНА Г.Ф. Дробышев, В.С. Семенов Методические указания к еьиолнению домаа~него задания № 2 по кз реу кЗлеюпротехника и промьлаленная электронииь> Издательство МГТУ им. Н.Э, Баумана 2ОО2 УДК 621,31 ББК 31.211 475 Рецензент ИИ Плакеин Дробышев Г.Ф., Семенов В.С. Цепи синусоидального тока: МетодиД75 ческие указания к выполнению домашнего задания №2 по курсу кЭлектротехника и промышленная электроника». — М.: Изл-во МГТУ им. Н.Э.

Баумана, 2002. — 20 с., ил. 1БВ115-7038-2008-1 Рассмотрена методика расчета токов и других электрических характеристик двухконтурной пепи с одним источником синусоидального тока с использованием комплексного метода Для студентов 3-го курса факультетов РК, Э и СМ. Ил. ! б, Табл. 1. УДК 621.31 ББК 31.211 1БВХ 5-7038-2008-1 О МГТУ им, Н.Э. Баумана, 2002 Цель — изучение и анализ линейных электрических ценен синусоидального тока с применением комплексного метода, применение этого метода для расчетов электрических цепей, где источники описываются синусоидальными функциями одной частоты, с помощью алгебры комплексных чисел, что упрощает запись уравнений цепи в общем виде и их анализ.

Для одной из электрических цепей, изображенных на рис. 2-1 — 2-10, по заданным в табл. 1 параметрам и ЭДС источника выполнить следующие действия: 1.1. Определить токи во всех ветвях цепи и напряжения на отдельных участках. 1.2. Составить баланс активной и реактивной мощностей. 1,3.

Построить в масштабе на комплексной плоскости векторную диаграмму токов и потенциальную диаграмму напряжений (топографическую диаграмму) для внешнего контура. 1.4. Определить показания вольтметра и активную мощность, показываемую ваттметром. 2. ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ (СИМВОЛИЧЕСЬ".ИЙ) МЕТОД Вся электроэнергия, которая используется в производсгве и быту, вырабатывается с помощью специальных электрических машин, генерирующих электрический ток„изменяющийся во времени, но являющийся простейшей периодической функцией, Это синусоидальнО (или косинусОидальнО) изменяющаяся величина определяется выражением следующего вида (рис.

1): г(г) = Х з1п(2ггггТ-+ и) и Х„сов(2лг/Т+ а — ти2), где (») — мгновенные значения то- ка, Х вЂ” максимальное значение ! (амплитуда) тока. Аргумент синуса а/я Ф (2к»/Т+ а) определяет стадию или фазу гармонического изменения тока и поэтому называется фазным Рис. 1 углом, или просто фазой. Величина и представляет значение фазного угла в начальный момент времени (» = О), поэтому она называется начальным фазным углом, или начальной фазой. 3а промежуток времени, равный одному периоду Т„фазный угол изменяется на 2»». Величина 2к/Т характеризует скорость изменения фазного угла и обозначается буквой а. Принимая во внимание, что / = 1/Т, получим в = 2»»/Т= 2»»/: Вводя в (1) обозначение»в для угловой частоты, получим »(») =Х яп(»л»+ о). Начальный фазовый угол всегда отсчитывают от момента, соответствующего началу синусоиды при переходе ее от отрицательного к положительному значению, до момента начала отсчета времени.

Бсли несколько синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой„не одновременно достигают нулевых или максимальных значений, то это означает, что они сдвинуты друг относительно друга по фазе. Сдвиг фаз измеряется разностью фазовыых углов. Когда разность равна нулю, это означает, что синусоидальные функции одной частоты совпадают по фазе; если разность равна+я, то они противоположны по фазе, если разность равна+»»/2, то они находятся в квадратурах.

Формуле (2) можно дать геометрическое толкование. Выберем прямоугольную систему осей МОМ (рис. 2). Расположим под углом а относительно горизонтальной М оси вектор Х~, длина которого в произвольно выбранном масштабе равна ам- Х ~». плитуде Х,„. Положительные углы откла- О дываются против хода часовой стрелки, а отрицательные — по ходу часовой стрел- Рис.

2 ки. Пусть вектор Х, начиная с момента ~ = Оа вращается вокруг точки О против хода часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости а. Спустя время г вектор Х составит с осью ОМ угол в~+ и. Его проекция в выбранном масштабе представляет мгновенное значение ф) = Х х х а1п(а~ + а) в момент времени ~. Таким образом, между мгновенным значением ~ и вектором Х~ можно установить однозначную связь, а вектор Х назвать вектором, изображающим синусоидальную функцию времени, или век'гором величины г, содержащим всю необходимую информацию: его модуль определяет амплитуду, аргумент — начальную фазу.

Удобство операций с изображающими векторами проявляется при сложении мгновенных значений нескольких гармонических функций, когда эту операцию можно заменить сложением изображающих векторов, так как проекция суммы векторов равна сумме их проекции. Раееметрим пример. Прете в ав. и электрической цепи, состоящей из и, в последовательно соединенных рези- ~с стора г, индуктивности А, емкости С, протекает переменный ток ф), создающий напряжения на участках Рис.

3 этой цепи (рис. 3): ~й 1 р. и~ =и~~~) =Х.—, ис=исф= — рй. Й С Сумма этих напряжений в любой момент времени равна приложенному к цепи напряжению и~~) (второй закон Кирхгофа): й 1г. И(1) = И» + ИЬ + ИГ ='-' т7 Х вЂ” + — ~ Иав . й С * Полагая ток заданным в виде гармонической функции ~(~) = = Х ихко~, найдем приложенное напряжение и~~). Определим каждый член правой части уравнения ~3): мгновенное напряжение на резистор= и, = ИФ) = и'=?Х $1пои= У„81пОМ; У„=гХ; (4) мгновенное значение напряжения на индуктивности равно й Ы ., я ~ь = ~ьЖ = Х, — = Х, — (Х а1па~) =- еХХ з1п(ои + — ) = й Й 2 (5) мгновенное значение напряжения на емкости 1 1 г .

Х . к ~с =- ис(~) = — = — ~ Х ыпюйй = — 31п(аà — — ) = С С Са 2 У = — Х„, 1 Ю С~0 Постоянная интегрирования в выражении для иг равна нулю, так как приложенное к цепи напряжение и = и(~) не содержит постоянной составляющей, Из формул (5) и (б) следует, что при дифференцировании и интегрировании синусоидальных функций, осуществляемых элементами цепи Х и С„получают синусоидальные функции той же частоты, Но элементы Х, и С вносят дополняя тельный сдвиг по фазе на + —, причем напряжение на индуктивно- 2 Ж Я сти опережает ток на —, а напряжение на емкости отстает на — . 2 2 Из формул (4) — (б) также следует, что их сумма, определяемая согласно закону Кирхгофа, должна быть синусоидальной функцией той же частоты, что и заданный ток, Теперь задача определения приложенного напряжения сводится к нахождению его амплитуды У и угла сдвига фаз между и и ~.

Если принять, что Х„, = 1 А, 1 г = 1 Ом, аХ, = 20 Ом, — = 21 Ом, можно вычислить векторы наСа пряжений по формулам (4) — (б): ХХ„= 1 1 = 1 В, ХХ, = 120=20В, ('с и представить соотношение (3) меж- Ц. ду синусоидальными функциями на (~~ Г ~~1 векторной диаграмме, построенной в масштабе. Так как ток является общим для всех элементов последова- сз~ 4.'Ъ тельной цепи, изображакнций вектор тока Х~ удобно принять за базовый О и относительно его, руководствуясь формулами (3) — (6), осуществить построения всех других изображаю- ПВ щих векторов, приняв масштаб 0,1 В/мм.

Фазовые углы всех векторов будут отс читы ваться относительно вектора тока. Следует отметить, что в рассматриваемом примере начальный фазовый угол тока равен нулю, поэтому вектор тока на плоскости может быть направлен как удобно. Если угол не равен нулю, то сначала произвольно выбирают прямоугольную систему координат и в ней размещают изображающий вектор тока Х и относительно него строят векторную диаграмму, а фазовые углы всех векторов теперь отсчитывают от координатных осей. Для рассматриваемого примера построение осуществляется в следующем порядке (рис. 4). Сначала на плоскости откладывают для удобства в горизонтальном направлении вектор тока Х„, затем, как это следует из уравнения (3), суммируют три вектора Г~, У,, Ь', в такой последовательности: из точки О откладывают вектор У с учетом его опережающей на 0,5я фазы /см.

формулу (5)/, затем— У„, совпадающий по фазе с током /см. формулу (4)/, далее — У„- с учетом его отстающей на 0,5к фазы /см. формулу (6)/. Замыкает векторную сумму вектор приложенного напряжения У, отстающий по фазе от тока Х„на угол <р. Теперь из векторной диаграммы можно найти (с учетом масштаба) У и <р. Они равны ХХ,„= 1 В, «р = 45 . Завершают расчет построением функции и(~) = ХХ яп(со~ — ~р') =1 в1п(аг — 45'). Для сложных электрических цепей геометрическое решение часто оказывается чрезмерно трудоемким — пользуясь им, трудно записывать уравнения цепи в общем виде и анализировать их.

Перейдем теперь к аналитическому методу и представим гармоническую функцию через экспоненту с мнимым аргументом (формулы Эйлера)„тогда все расчеты должны проводиться с помощью алгебры комплексных чисел. Известно, что аналитически комплексное число и сопряженное ему можно представить в алгебраической, тригонометрической и показательной форме: а=а, +а, =А(созу+Л1пу) = Ае а = а, — а, = А(соя у — у'яп у) = Ае '", где а, — действительная и мнимая части комплексных чисел; А, у — их модуль и аргумент.