21 (Лекции)

Лекция 21ЛЕКЦИЯ21Краткое содержание: Задачи динамики механизмов с учетом податливости звеньев (супругими связями). Виды механических колебаний. Динамические модели механизмов супругими связями (условия и допущения). Двухмассовая модель привода с упругими связями.Определение закона движения динамической модели. Упругие вынужденные колебания всистеме. Определение собственных частот колебаний системы. Определение форм колебаний.Моделирование динамических процессов в приводе с упругими связями (влияние жесткостизвеньев привода на неравномерность движения, момент в приводе и динамическую ошибку).Задачи динамики механизмов с учетом податливости звеньев.Звенья реальных механизмов под действием сил и моментов деформируются. При этом точкиили сечения этих звеньев имеют относительные перемещения, которые влияют на их закондвижения.

Динамические модели реальных механизмов, учитывающие податливость звеньевделятся на дискретные модели и модели с распределенными параметрами. Дискретные моделикак более простые применяются чаще. В этих моделях инерционные параметрырассматриваются как сосредоточенные в точках или сечениях звена, а податливость звенапредставляется как упругая связь (упругая кинематическая пара) между этими массами илимоментами инерции.К основным задачам динамики механизмов с упругими звеньями можно отнести:●●●●●определение резонансных режимов работы механической системы и устранение ихизменением ее динамических параметров;снижение виброактивности системы, уровня возбуждаемых ей звуковых (и других)колебаний;повышение динамической точности;применения вибраций или колебаний для выполнения технологический операций;другие задачи.Эти задачи решаются на базе общих методов исследования динамики линейных инелинейных механических систем.

Каждая из рассматриваемых задач может бытьсформулирована как прямая (задача анализа) или как обратная (задача синтеза). В прямыхзадачах динамики при известных динамических параметрах системы определяют закон еедвижения и другие характеристики. В обратных задачах (задачах синтеза системы) – позаданным параметрам закона движения, частотам или формам колебаний определяютсядинамические или конструктивные параметры системы – массы, жесткости, коэффициентыhttp://wwwcdl.bmstu.ru/rk2/lect_21.htm (1 из 12) [31.05.2008 20:55:06]Лекция 21демпфирования, внешние силы и другое.

Решение обратной задачи или задачи синтеза болеесложно, так как часто она имеет множество допустимых решений, из которых необходимовыбрать оптимальное.Виды механических колебаний.Механическими колебаниями (или просто колебаниями) называется такое движениемеханической системы при котором обобщенные координаты и их производные изменяютсяво времени периодически возрастая или убывая.Различают следующие виды механических колебаний:●●●●●●свободные или собственные колебания – происходящие без переменного внешнеговоздействия и поступления энергии извне;периодические – при которых значения обобщенной координаты и ее производныхциклически повторяются (если это условие не выполняется, то колебанияапериодические);вынужденные – вызываемые и поддерживаемые переменной во времени внешней силой;параметрические – вызываемые изменением во времени динамических параметровсистемы ( жесткости, массы или момента инерции, демпфирования и др.);автоколебания – стационарные колебания возбуждаемые и поддерживаемые за счетэнергии поступающей от источника неколебательного характера, в которой поступлениеэнергии регулируется движением самой системы;другие виды колебаний.Динамическая модель системы с упругими связями.Динамическая модель- математическая модель, которая отражает изменениерассматриваемого явления во времени.

При формировании модели некоторыми свойствамиобъекта пренебрегают (эти свойства называются допущениями), другие свойства сохраняютнеизменными (эти свойства называются критериями адекватности модели исследуемомуобъекту). В данном случае критериями адекватности являются:●●●кинетические и потенциальные энергии, которыми обладают звенья и упругие элементыобъекта, равны кинетической и потенциальной энергии соответствующих элементовмодели;работы внешних сил и моментов для объекта и модели равны;звенья модели (без учета их деформации) должны двигаться с одной частотой илискоростью.При формировании дискретной динамической модели принимаем следующие допущения:http://wwwcdl.bmstu.ru/rk2/lect_21.htm (2 из 12) [31.05.2008 20:55:06]Лекция 21●●●●●деформация упругих связей линейна и подчиняется закону Гука;инерционные свойства звеньев отображаются сосредоточенными в точках массами илисосредоточенными в сечении моментами инерции;упругие связи между этими массами и моментами инерции считаем безинерционными;влиянием нерезонансных частот при резонансе пренебрегаем;потери энергии при деформации упругих связей не учитываем.Двухмассовая модель привода с упругими связями.Рассмотрим механическую систему (рис.21.1), состоящую из двигателя 1, редуктора иисполнительного устройства 2.На рис.21.1 приняты следующие обозначения:I1 и I2* - моменты инерции соответственно ротора двигателя и исполнительного устройства, с1и с2* - крутильные жесткости соответственно входного и выходного валов, Мд и Мс - моментыдвижущих сил и сил сопротивления, угловые координаты: ϕ1 - ротора двигателя, ϕ1' - шестерниредуктора, ϕ2' - колеса редуктора и ϕ2* - исполнительного устройства.http://wwwcdl.bmstu.ru/rk2/lect_21.htm (3 из 12) [31.05.2008 20:55:06]Лекция 21Рис.

21.1Согласно принятым допущениям приведем движения всех подвижных звеньев системы кдвижению с частотой (или скоростью) вала двигателя. Для этого определим приведенныежесткости, моменты и моменты инерции. При этом жесткости приводятся из условия равенствапотенциальных энергий деформации, моменты - из условия равенства работ, моменты инерции- из равенства кинетических энергий. Для нашего примера:Передаточное отношение редуктора:.Теорема о изменении кинетической энергии:,где- изменение кинетической энергии системы,- изменение потенциальной энергии системы,- работа внешних сил.Приведенный момент инерции исполнительного устройства.Приведенная крутильная жесткость выходного вала.Приведенная угловая координата исполнительного устройства.Приведенный момент сопротивления на валу исполнительного устройства.http://wwwcdl.bmstu.ru/rk2/lect_21.htm (4 из 12) [31.05.2008 20:55:06]Лекция 21После приведения к одной частоте вращения расчетная схема динамической модели приметвид, изображенный на рис.21.2.Рис.

21.2Два последовательно соединенных элемента системы можно заменить однимэквивалентным, при этом суммируются податливости этих элементов,Окончательно расчетная схема принимает вид:http://wwwcdl.bmstu.ru/rk2/lect_21.htm (5 из 12) [31.05.2008 20:55:06].Лекция 21Рис. 21.3Определение закона движения динамической модели.Положение звеньев динамической модели определяется двумя обобщенными координатамии. Уравнения движения динамической модели запишем в виде условийкинетостатического равновесия звеньев 1 и 2:,.(21.1)Разделим первое уравнение системы на I1, а второе - на I2, и получим:,.http://wwwcdl.bmstu.ru/rk2/lect_21.htm (6 из 12) [31.05.2008 20:55:06](21.2)Лекция 21Преобразуем уравнения системы следующим образом.

Вычтем и первого уравнения (21.2)второе, а затем просуммируем уравнения (21.1). Тогда системы уравнений запишется вследующем виде:,.(21.3)Обозначим деформацию упругой связи, откуда. Ее вторая производная по времени. Обозначим также:илии.Подставим эти обозначения в (21.3) и получим:,.(21.4)Упругие вынужденные колебания в системе.Первое уравнение системы содержит только координату деформации упругой связиописывает упругие колебания в системе, второе включает и координату связанную сдвижением системы без деформации. Рассмотрим решение первого уравнения системыпри следующих исходных данных:,С учетом этого первое уравнение системы (21.4) запишется так:http://wwwcdl.bmstu.ru/rk2/lect_21.htm (7 из 12) [31.05.2008 20:55:06].иЛекция 21.(21.5)Введем следующие обозначения,,а также:и,, и подставим в (21.5):.(21.6)и начальных условияхРешение этого уравнения при:,(21.7)где:- свободные колебания с частотой p,- гармонические колебания с частотой p и самплитудой зависящей от,- вынужденные колебания с частотой возмущающей силыhttp://wwwcdl.bmstu.ru/rk2/lect_21.htm (8 из 12) [31.05.2008 20:55:06].Лекция 21Определение собственных частот колебаний системы.Рассмотрим свободные колебания рассматриваемой системы, то есть положими.

Тогда система составленная из первого уравнения (21.4) и второго уравнения (21.3)запишется так:,.(21.8)Ищем решение этой системы в виде:.Для этого дифференцируем это выражение два раза:и подставляем в систему (21.8):,.Из первого уравнения если, тоИз второго уравнения еслии, точастоты соответствуют движению системы без деформации.Определение форм колебаний.http://wwwcdl.bmstu.ru/rk2/lect_21.htm (9 из 12) [31.05.2008 20:55:06].и.

НулевыеЛекция 21При деформации системы ее собственная частота не равна нулюи. Если принять. Тогда, тоиэпюра угловых координат по длине упругой связи будет иметь следующий вид:Рис. 21.4При движении системы без деформации собственная частота колебаний равна нулюТогда,и.. Эпюра угловых координат длядвижения без деформации показана на рис.21.5.Рис. 21.5Пример для системы без упругих связей.Если в рассмотренной модели принять с1 и с2 стремятся к бесконечности, тоистремится кстремится к. Расчетная схема этой динамической модели приведена на рис. 21.6,где:http://wwwcdl.bmstu.ru/rk2/lect_21.htm (10 из 12) [31.05.2008 20:55:06]Лекция 21ΣIпр - приведенный суммарный момент инерции;ΣMпр - приведенный суммарный моментвнешних сил;∆Т - изменение кинетической энергии.Уравнение движения для этой модели:Рис.

21.6.Моделирование динамических процессов в приводе с упругими связями.Рассмотренные выше уравнения движения механической системы можно использовать примоделировании поведения этой системы при различных значениях ее параметров. Ниже (нарис. 21.7) приведены результаты исследования влияния жесткости с на неравномерностьвращения Dw, момент в приводе Мп и на динамическую ошибку y.http://wwwcdl.bmstu.ru/rk2/lect_21.htm (11 из 12) [31.05.2008 20:55:06]Лекция 21Рис. 21.7http://wwwcdl.bmstu.ru/rk2/lect_21.htm (12 из 12) [31.05.2008 20:55:06].