Диссертация (Методы оценки аппаратурной надежности и защиты коммерческой информации электронной торговой площадки в телекоммуникационных сетях), страница 6

Во многихслучаях согласование с реальной ситуацией дает предположение о том, чтоустройство выходит из строя случайно за время t. Это может вызвать крайненежелательные последствия для функционирования электронно-торговойплощадки при использовании телекоммуникационных сетей в электроннойкоммерции.Предположим, что такой элемент сети может выйти из строя толькотогда, когда он не занято обслуживанием заявок. Если в момент t закончилсяего период занятости и до момента t+t другие заявки не поступили, то за этовремя устройство может выйти из строя с вероятностью [77, 78, 95]:t  tP0 (t )  s(t )dt ,где s – состояние аппаратурной неисправности (отказа)0устройства.Время восстановления можно предположить случайной величиной сфункцией распределения R0(t) и конечным математическим ожиданием дляслучайного процесса s(t )  {l (t ),  (t )} .

Первая компонента этого процесса l(t)может принимать только два значения: 0 и 1. Если l(t)=0, то в момент t узел(устройство) находится в исправном состоянии. Если же в момент t оннаходится в неисправном состоянии или занят обслуживанием требования, тоl(t)=1.Вторая компонента (t) имеет различный физический смысл взависимости от того, равна первая компонента 0или 1. В первом случае (t) этовремя с момента t до момента выхода бы из строя, если после t поток заявокпрекратится; во втором случае (t) - время с момента t до того момента, когдаустройство начнет обслуживание заявок, если бы они поступили в момент t.Обозначим:nFi ( x, t )   f ( s i (t )),i 0Fi ( x)  lim Fi ( x, t ).t (2.7)Случайный процесс s(t) обладает эргодическим распределением [77, 95]и Fi(x) удовлетворяют системе интегро-дифференциальных уравнений:F0 ( x, t )  F0 ( x)  F0 ( x) F0 ( x, t )  P0 (t ) ,(2.8)35t  tFi ( x, t )  Fi ( x)  F ( x, t )dF ( x)  R (t ) F ( x, t )  P (t ) ,0000i(2.9)0с дополнительным условиемF0 ()  Fi ()  1,F0 (0)  Fi (0)  0 .(2.10)Примем, что t0 - момент окончания некоторого периода занятости и T длительность следующего периода занятости (под периодом занятости следуетпонимать такой интервал времени, в начале и в конце которого l(t)=0, а длявсех t из этого интервала l(t)0).Возможны два взаимно исключающих друг друга случая:1) после момента t0 поступит заявка, причем устройство до этого еще невыйдет из строя;2) устройство выйдет из строя раньше, чем поступит заявка.Вероятности, с которыми осуществится первый и второй случаи, равнысоответственно:t  tet[1  P0 (t )]dtиt  tetP0 (t ) dt .(2.11)00Следовательно,t  teMO t[1  P0 (t )]dtMO1 ,(2.12)tP0 (t )dtMO 2 ,(2.14)0t  tMO e0где MO - математическое ожидание при условии, что осуществился 1-й или2-й случай (i=l или 2).МO1 совпадает с математическим ожиданием периода занятости, вкотором устройство находится в рабочем состоянии:MO1 T,1 (2.15)где  - загрузка этого узла, которую можно определить, как показано вработах [78, 95].36Величина МO2 равнаMO 2   p n MO n ,(2.16)n 0где pn - вероятность того, что за время восстановления поступит ровно пзаявок, MOn равно сумме математического ожидания времени восстановленияи математического ожидания п периодов занятости для устройства, невыходящего из строя.Таким образом:MO 2   (t 0 n 0t  t0nT)1 t  t0t n te dR0 (t ) n!T(t 0 e )e t dR0 (t ) 1 t  tt0t  t0( (t 0 n 0nT t n t) )e dR0 (t ) 1   n!tT(T )dR0 (t )  t 0 (1 ) 01 1 1 (2.17)Окончательно можно получить:t TTMO  01  1 t  te t P0 (t )dt 01max( T , t 0 )   .1 (2.18)Процесс s(t) является регенерирующим процессом [95], моментами регенерации этого процесса будут те моменты времени tn, когда l(tn-0)=l, l(tn+0)=0.Интервал tn+1-tn между двумя последовательными моментами регенерациискладывается из времени до первого отказа или поступления заявки (взависимости от того, что произойдет раньше) и последующего периодазанятости.

Значит,MO n   e t (1  P0 (t ))dt 0t  T  tT 0e P0 (t )dt   .1   1   0(2.19)Это условия применимости эргодической теоремы для регенерирующихпроцессов и, следовательно, можно заключить, что случайный процесс s(t)обладает эргодическим распределением [77, 95]. Эргодическое распределениеудовлетворяет системе интегро-дифференциальных уравнений (2.8) - (2.9) сусловиями (2.10).37Для процесса s(t)={l(t), (t)} характерны следующие свойства [95]:вторая компонента (t) непрерывно убывает со скоростью, равной 1-((t) всегда означает время с момента t до момента окончания некоторогособытия); когда период занятости заканчивается, то (t) принимает значение,равное времени до следующего отказа (неисправности);для первой компоненты процесса s(t) закон ее измененияопределяется из этой случайной величины.Следовательно, что если x - точка, в которой функции F0(x), Fi(x), Fi(x,t),F0(x,t), P0(t) и R0(t) имеют производные, то справедливы формулы [77, 95]:F0 (t )  ( F0 ( x)  F0 ( x, t ))(1  P0 (t ))  F0 ( x, t ) P0 (t )  P(t ) ,(2.20)t  tFi (t )  ( Fi ( x)  Fi ( x, t ))(1  P0 (t ))  t  Fi ( x, t )dFi (t )  P0 (t ) R0 (t )  F0 () P(t )  P(t )0переходящие при t0 в уравнения (2.8) и (2.9).Когда устройство предполагался абсолютно надежным, устанавливаетсяабсолютная непрерывность функций F0(t) иFi(t) и значит, выведенныеуравнения можно решать, используя обычные правила для преобразованияЛапласа [95].Необходимо ввести следующие обозначения:Фi ( s )   e t Fi (t )dt ,(i  1,2) ;0P0 ( s)   e dR0 (t ) ; 0 ( s )   e P0 (t )dt ;tt00q ( s )   e t dF0 (t ) ,0Применив к обеим частям уравнений (2.8) и (2.9) преобразованиеЛапласа, получим:Ф0 ( s )(1  ( s ) F (t )T)  Fi (t ) 0 i  0,P0 ( s i )h( s i )P0 ( s i )h( s i ) P (s )h( s i )F (t )T  Fi (t ) 0 i  F0 ()Фi ( s )1  0,h( s i ) 0 ( si )  0 ( si ) P0 ( si )  0 ( si ) (2.21)(2.22)илиФ0 ( s ) 38F0 (t )  Fi (t ) 0 ( s i ),1  P0 ( s i )(2.23)Фi ( s ) Fi (t )  F0 (t )h( s i )  F0 () 0 ( s i ).P0 ( s i )  (1  P0 ( s i ))(2.24)Уравнения (2.23) - (2.24) определяются преобразованиями ЛапласаСтилтьеса функций F0(t) и Fi(t).

Левая часть равенства (2.12) определяетаналитическую функцию в полуплоскости Re{si}>0 [95]. Следовательно, вточке, где знаменатель правой части этого равенства обращается в нуль,должен обратиться в нуль и числитель. Отсюда справедливо соотношениеF0 (t )   0 ( si ) Fi (t ) .(2.25)Левая часть равенства (2.24) ограничена при Re{si}>0. Знаменательправой части при si=0 обращается в нуль.

Условие равенства нулю в этой точкедля числителя правой части:Fi (t )  F0 (t )   0 (si ) F0 () .(2.26)Из уравнений (2.25) и (2.26) можно выразить F0(t) и Fi(t) через однунеизвестную постоянную F0(): F0 (t )  0 ( s i ) F0 ( )F ( ); Fi (t )  0.1   0 ( si )1   0 ( si )Подставив эти соотношения в (2.23) и (2.24):Ф0 ( s ) Фi ( s )  q ( s i )q ( s )(  0 ( s )   0 ( s )) F0 (),q ( s )(1   0 ( s ))1  q ( s i )   0 ( s i )( q ( s i )  P0 ( s i ))F0 () .(q ( s i )(1   0 ( s i )))(1   0 ( s i ))(2.27)(2.28)При условии (2.10), из которого следует, что Ф0(0)+Фi(0)=1, вокрестности нуля преобразования Лапласа-Стилтьеса распределения R0(t)допускают разложение q(si )  1  T   0 (si ), P0 (si )  1  t 0   0 (si ) .

Если подставитьэти соотношения в два равенства и перейти к пределу приs0, то:Ф0 (0)  F0 () , Фi (0) T   0 ( s i )(t 0  T )F0 () ,(1   )(1   0 ( s i ))(2.29)Из условия (2.10) следует равенство39 T   0 ( si )(t 0  T ) (1   )(1   0 ( s i ))1  F0 ()  1 или F0 () .1   0 ( s i )(1  t 0 ) (1   )(1   0 ( s i )) (2.30)Окончательно подстановка в формулы (2.27) и (2.28) дает:Ф0 ( s ) Фi ( s ) (1   )(  0 ( s i )   0 ( s i )),T (1   0 ( s i )(1  t 0 ))(1   )(1  q ( s i )   0 ( s i )( q ( s i )  P0 ( s i ))).T (1  q ( s i ))(1   0 ( s i )(1  t 0 ))(2.31)(2.32)Таким образом, найден вид преобразований Лапласа - Стилтьесараспределения случайного процесса s(t).СледовательноФ(s)  Ф0 (s)  Фi (s) .(2.33)Если во время обслуживания заявок пользователей рассматриваемыйсетевой элемент (устройство) может выйти из строя за время t. В момент t0началось обслуживание заявок.

Через t можно обозначить время от момента t0до того момента, когда оно будет способно к обслуживанию следующейзаявки. Время t может состоять из времени обслуживания заявок,поступивших на обслуживание в момент t0; если же устройство за это времявышло из строя n раз, то t будет состоять из времени обслуживания и nвремени его восстановления. Время восстановления является случайнойвеличиной с функцией распределения R1(t). Тогда формула вероятности того,что оно будет неисправно: t 0  tP0 (t )  n 00R1( n ) (t 0  t ) R1 (t )( f ( s )) n te ,n!(2.34)где R1(n)(t0+t) - функция распределения суммы п независимых случайныхвеличин.Если под временем обслуживания понимать случайную величину T’, товремя ожидания произвольной заявки будет определяться формулами (2.31) -40(2.32), в которых q(s) заменена преобразованием Лапласа-Стилтьеса qT’(s)случайной величины T’, тогда t 0  tqT ' ( s )   e T ' dF0 (T ' ){n 00R1( n ) (t 0  t ) R1 (t )0( f ( s )) n te }dt .n!(2.35)Для условия, при котором, случайный процесс s(t) обладаетэргодическим распределением необходимо вычислить математическоеожидание случайной величины T:t T'TMO  (1 ) 01 1 t 0  t0e T ' P0 (t )dt 1.1 (2.36)Условием эргодичности процесса s (t) является неравенство [78, 95]:t 0  t0eT 't0  T '(1  P0 (t ))dt qT ' ( si )   e T ' (1  P0 (t ))dt  Ф(s) .1 0(2.37)Следовательно, при некоторых значениях параметров процесс,обладающий эргодическим распределением при абсолютно надежномустройстве, теряет это свойство, когда оно подвержено случайным (илинеслучайным) поломкам.

Разработанный метод расчета надежности устройствтелекоммуникационных сетей электронной коммерции, критичных к задержкерезультатов вычислений, позволяет определить и прогнозировать вероятностьвыхода из строя узла/элемента сети (а также и ЭТП), как при обслуживаниизаявок электронной торговой площадки, так и в свободном состоянии. Сучетом этого необходимо обеспечить надежную передачу коммерческойинформации ЭТП по телекоммуникационным сетям, применив еще болеесущественные меры по повышению надежности сетей, напримердополнительное резервирование, которое должно быть оптимальным(рациональным).2.4. Алгоритм резервирования устройств сетиОдним из эффективных и достаточно просто реализуемых методов41повышения аппаратурной надежности корпоративных телекоммуникационныхсетей, и в том числе для сетей электронной коммерции, являетсярезервирование/дублирование или избыточность.