Программа курса

Программа курса «Основы математического моделирования»1. Основные понятия и принципы математического моделирования.Основные этапы метода математического моделирования. Прямые иобратные задачи математического моделирования. Универсальностьматематических моделей. Принцип аналогий. Иерархия моделей.2. Некоторые классические задачи математической физики. Внешниезадачи для уравнения Гельмгольца. Условия излучения Зоммерфельда.Принцип предельного поглощения. Принцип предельной амплитуды.Парциальные условия излучения. Излучение волн.

Квадрупольныйизлучатель. Задачи математической теории дифракции. Задача с данными нахарактеристиках (задача Гурса). Общая задача Коши. Функция Римана.Построение функции Римана в случае уравнения с постояннымикоэффициентами. Динамика сорбции газа. Задача о промерзании (задача офазовом переходе, задача Стефана). Метод подобия.3. Математическое моделирование нелинейных объектов и процессов.Математические модели процессов нелинейной теплопроводности и горения.Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности.Автомодельные решения. Режимы с обострением. Математические моделитеории нелинейных волн. Метод характеристик.

Обобщенное решение.Условие на разрыве. Уравнение Кортевега – де Фриза и законы сохранения.Схема метода обратной задачи. Солитонные решения. Уравнение Буссинеска.4. Методы исследования математических моделей.Вариационныеметоды решения краевых задач и определения собственных значений.Принцип Дирихле. Задача о собственных значениях. Некоторые алгоритмыпроекционного метода. Общая схема алгоритмов проекционного метода.Метод Ритца.

Метод Галеркина. Обобщенный метод моментов. Методнаименьших квадратов. Метод конечных разностей. Основные понятия.Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Разностная задача для уравнениятеплопроводности на отрезке. Явные и неявные схемы. Метод прогонки,достаточные условия устойчивости. Экономичные разностные схемы. Схемапеременных направлений. Локально-одномерные схемы. Консервативныеоднородные разностные схемы.

Интегро-интерполяционный метод (методбаланса). Метод конечных элементов. Спектральный анализ разностнойзадачи Коши. Асимптотические методы. Метод малого параметра.Регулярные и сингулярные возмущения. Метод ВКБ. Метод усредненияКрылова – Боголюбова.5. Некоторые новые объекты и методы математического моделирования.Фракталы и фрактальные структуры. Фракталы в математике. Размерностьсамоподобия.Фракталывприроде.Моделированиедендритов.Самоорганизация и образование структур.

Синергетика. Диссипативныеструктуры. Модель брюсселятора. Вейвлет-анализ.Основная литература.1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.М.: Наука. Физматлит, 1997.2. Тарасевич Н.Н. Математическое и компьютерное моделирование.Вводный курс. М.: Эдиториал УРСС, 20013. Введение в математическое моделирование.

Под редакциейТрусова П.В. М.: Логос, 2004.4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999.5. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции поматематической физике. М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004.6. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теорииcингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.7.

Тихонов Н.А., Токмачев М.Г. Курс лекций «Основы математическогомоделирования». Части 1,2. М.: Физический факультет МГУ, 2013.Дополнительная литература.1. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1992.2. Марчук Г.И.. Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточныеметоды. М.: Наука,1981.3. Калиткин Н.Н. Численные методы. В двух книгах.

М.: Издательскийцентр «Академия», 2013.4. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Ижевск: Изд-воИКИ, 2002.5. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Москва-Ижевск: Издво ИКИ, 2003.6. Николис Г. Пригожин И. Самоорганизация в неравновесныхсистемах. М.: Мир, 1980.7. Чуи К. Введение в вэйвлеты.

М.: Мир, 2001.8. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализаматематических моделей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2010..