1. Что такое логика. Содержание курса. История логики. Логические парадоксы (Лекции)

Математическая логикаЛектор:Подымов Владислав Васильевичe-mail:valdus@yandex.ru2017, весенний семестрЛекция 1Что такое логика?Содержание лекцийИстория логикиЛогические парадоксыЧто такое логика?Логика1 — это наука об общезначимых формах и средствахмысли, необходимых для рационального познания в любойобласти знанияЛогика2 — это нормативная наука о формах и приёмахинтеллектуальной познавательной деятельности,осуществляемой с помощью языкаЛогика3 — это наука, которая изучает, каким образом мывыражаем мысли, делаем умозаключения, и как всё это можнопредставить формальноЛогика4 — это наука о правильных способах рассуждения, тоесть таких, при которых из верных исходных положенийполучаются верные результаты12Философский энциклопедический словарь.Бочаров, Маркин.

Основы логики.3Метакидес, Нероуд. Принципы логики и логического программирования.4Успенский, Верещагин, Плиско. Вводный курс математической логики.Что такое логика?Формальная логика1 — это наука о законах знания,полученного из ранее установленных и проверенных истин, безобращения в каждом конкретном случае к опыту, а только врезультате применения законов и правил мышленияФормальная логика2 — в современном понимании этосиноним логикиМатематическая логика3 — это 1) логика, развиваемая спомощью математических методов, 2) логика, используемая вматематикеМатематическая логика4 — это раздел математики,посвященный изучению математических доказательств ивопросов оснований математики1234Кондаков.

Логический словарь-справочник.Философский энциклопедический словарь.Клини. Математическая логика.Математическая энциклопедия.Что такое логика?Что же мы будем изучать?IIIзаконы причинно-следственной связи в окружающеммирепроявление этих законов в рациональном мышлениичеловекаотражение этих законов в языках:IIIкак естественных,так и искусственныхте формы, в которых проявляются эти законы, внезависимости от содержания (смысла) тех явлений(предметов), к которым эти законы относятсяЧто такое логика?Например:Посылки:1: Все люди смертны2: Сократ — человекСледствие:Сократ смертенизвестный силлогизмЧто такое логика?Например:Посылки:1: Каждый металл — проводник2: Ртуть — металлСледствие:Ртуть — проводникфизическое суждениеЧто такое логика?Например:Посылки:1: Инертные газы химически неактивны2: Гелий — инертный газСледствие:Гелий химически неактивенхимическое суждениеЧто такое логика?Например:Посылки:1: Во всех южных городах летом тепло2: Ставрополь — южный городСледствие:В Ставрополе летом теплогеографическое суждениеЧто такое логика?Например:Общая форма всех этих сужденийПосылки:1: Каждый предмет, обладающий свойством A,обладает и свойством B2: Предмет c обладает свойством AСледствие:Предмет c обладает свойством Bзакон формальной логикиЧто такое логика?Например:Общая форма всех этих суждений1: ∀x (A(x) → B(x))2: A(c)B(c)закон формальной логики(в символьном виде)Что такое логика?Логический закон:1: ∀x (A(x) → B(x))2: A(c)B(c)Интерпретация этого закона:A(x): “x — инертный газ”B(x): “x химически неактивен”c: “гелий”Что такое логика?Логический закон:1: ∀x (A(x) → B(x))2: A(c)B(c)Есть и другая интерпретация:A(x): “x — металл”B(x): “x — проводник”c: “ртуть”Что такое логика?Исходные знания:1: Каждый металл — проводник2: Ртуть — металлНовые знания:Ртуть — проводникКак расценивать новые знания?Откуда они взялись?Узнали ли мы что-нибудь новое о мире?Что такое логика?Знание — это форма представления информации; формальноевысказываниеЗакон формальной логики — это принцип преобразования однихвысказываний в другиеФормальная логика позволяетпреобразовывать форму представления информации,но не позволяет получать новую информациюТаким образом,законы формальной логики — это инструментпреобразования информацииСодержание лекцийКак же выглядят знания и принципы работы с ними?Это определяется тем, как выбраны:Iинтересующие особенности сужденийIформальный язык, адекватно описывающий эти особенностиIсредства анализа высказываний выбранного языкаРазделы логики, которые встретятся в курсе:Логика предикатов Логика высказыванийx→y∀x (A(x) → B(f(y)))Модальные логикиЭпистемическиелогики32x → 23y2 = знаю, что3 = допускаю, чтоИнтуиционистскаялогикବx 6→ xТемпоральныелогики2 = всегда3 = иногдаСодержание лекцийА можно ли в рамках логики анализировать суждения,используя не только их форму, но и “реальный” смысл?Какие смысловые особенности можно описать ипроанализировать, а какие нельзя?Об этом будет рассказываться в разделе курсаАксиоматические теорииПри этом будут затронуты такие разделы математики, какIIIарифметикатеория множествможет быть, геометрияСодержание лекцийА что-нибудь “практичное” в этом есть?Да, например:I задача выполнимости булевых формул (SAT/ВЫП)(логика высказываний)Iзадача выполнимости формул в теориях(satisfiability modulo theories / SMT)(аксиоматические теории)Iверификация программ и распределённых систем(темпоральные и другие логики)I...Кто это всё придумал?...0100...это временная шкала19002000История логикиАристотель...−400...−300История логикиАристотель...−600...−500−400−300−200−1000История логикиДревняя Греция...−600...−500−400−300−200−1000История логики.........0100200300400История логикиСредние векаВозрождениеначало Нового времени...400...500...15001600История логикиГотфрид Лейбниц...1600...17001800История логикиДжордж Буль...1800...1900История логикиГеорг Кантор...1800...19002000История логикиГотлоб Фреге...1800...19002000История логикиДавид Гильберт...1800...19002000История логикиБертран Рассел...1800...19002000История логикиЭрнст ЦермелоАбрахам Френкель...1800...19002000История логикиТуральф Скулем(Торальф Сколем)...1800...19002000История логикиКурт Гёдель...19002000История логикиАльфред Тарский...19002000История логикиЖак Эрбран...19002000История логикиГерхард Генцен...19002000История логикиАлонзо Чёрч...19002000История логикиСтивен Клини...19002000История логикиАнатолий Мальцев...19002000История логикиСол Крипке...19002000История логикиАмир Пнуэли...19002000История логикиТони ХоарРоберт Флойд(Чарльз Энтони Ричард)...19002000История логикиАлен Колмероэ...19002000История логикиМихаил Захарьящев...19002000Что движетразвитием логики?Логические парадоксыПарадоксы — движущая сила логикиОни заставляются задумываться над такими вопросами, какIЧто такое истинное утверждение?IЧто такое доказуемое утверждение?IВ какой мере можно “механизировать” рассудочноемышление?Логические парадоксы(все знают этот парадокс, с него и начнём)Парадокс лжецаЭто утверждение ложноЛожно ли утверждение выше?Логические парадоксы(а это должны знать все математики)Парадокс РасселаПусть Ω — множество всех множеств, не содержащих себя вкачестве элемента:Ω = {ω | ω ∈/ ω}Верно ли, что Ω ∈ Ω?Логические парадоксыДилемма крокодилаКрокодил схватил ребенка.Мать ребенка просит крокодила:“Верни мне ребенка!”Крокодил отвечает:“Я верну тебе ребенка, если ты угадаешь, исполню ли я твоюпросьбу”Если мать ответит “вернёшь”, она получит ребёнка?А если мать ответит “не вернёшь”?Логические парадоксыПарадокс утренней звездыВенера видна ранним утром, и поэтому её называют“утренней звездой”Венера видна поздним вечером, и поэтому её называют“вечерней звездой”Означает ли это, что утренняя звездавидна поздним вечером?Логические парадоксыПарадокс лысогоЕсли у человека нет ни одного волоса, то он лысЕсли у лысого вырастет ещё один волосок, то он останетсялысымЗначит, все люди лысые?Логические парадоксыПарадокс морской битвыФлотоводец обратился к прорицателю с вопросом, состоится лизавтра морская битва.

Прорицатель ответил: “Битва завтрасостоится”.На следующий день случился шторм, и флот не смог выйти вморе. Разгневанный флотоводец потребовал от прорицателявернуть деньги, поскольку его прогноз оказался ложным.Прорицатель ответил: “Твои моряки вчера купили на рынкесвежее молоко. Сегодня это молоко уже не свежее, но они непросят вернуть им деньги обратно. Мой прогноз тоже былверным вчера, и ты не вправе жаловаться на то, что он неверенсегодня”.Прав ли прорицатель?Парадоксы неизбежныНо их влияние можно ограничитьДля этого нужныматематические модели логических законовТак и появиласьМАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКАКонец лекции 1.