Дерябина Г.С., Чуев В.Ю. Вектор-функция нескольких переменных (2002)

Московск~й государственньй технжеск~й университет имени Н.3. Наумана ВВОДНЫЕ ЗАМЕ~4АНИЯ УДК 517(075.в) ББК 22.161 дуюшее выражение: )х! = 1БВХ 5-7038-2013-8 © МГТУ им.Н.Э. Баумана, 2002 УДК 517(075.8) ББК 22.161 ЛЗ6 Рецензенты: А.Н. Выборное, А.В. Коласа Дерябина Г.С., г1уев В.Ю. Д36 Вектор-функция нескольких переменных: Методическое пособие. — М.: Изд-ва МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

— 27 с., ил, 18ВХ 5-7038-2013-8 Изложены основные определения и геометрическая интерпретация вектор-функции нескольких переменных (ВФНП). Рассмотрены понятия предела и непрерывности, диффереицнруемости н частных производных ВФНП, связь между этими панятиями, а также правило вычисления частных производных композиций ВфНП, изложены основные теоремы. Приведены примеры, а также задачи для самостоятельнага решения. Цля студентов 1-го курса всех факультетов М)ТУ им. НзЭК Баумана, изучающих курс мДифференцивльнае исчисление функций нескольких переменных»ч Нл.

11. Определение. п-мерным вектором называется упорядоченный набор и действительных чисел, т.е. х = (х1, хз,..., х„). Числа, составляюшие этот упорядоченный набор, назовем координатами вектора. Определение. Упорядоченный набор и чисел, состоящий из одних нулей, назовем нуль-вектором, т.е. О = (О, О,..., 0). Определение. Ллиной и-мерного вектора х назовем сле- Очевидно, что длина вектора )х) > О, причем )х) = О сз х = О. Определение.

Суммой двух и-мерных векторов х = (х1, х2,, х„) и у = (у1, уз,..., у„) называется вектор х+ у = = (х1 + у1, хз + уз,..., х„+ у„), т.е. и-мерный вектор, каждая координата которого равна сумме соответствующих координат векторов-слагаемых. Определение, Произведением н-мерного вектора х на действительное число гг называется и-мерный вектор ггх = (ГГХ1,ГГХ2,...,ГГХп), т.Е. и-МЕРНЫЙ ВЕКТОР, КажлаЯ КООРДИ- ната которого равна произведению числа сг и соответствуюшей координаты исходного вектора.

Определение. Множество всех гз-мерных векторов Ьв с введенными выше операциями сложения векторов и умножения вектора на число назовем п-мерным векторным пространством. Определение. Множество Л" называется п-мерным пространством, а его элементы — точками, если задан закон, сопоставляющий каждой упорядоченной паре точек А, В Е Ли единственный вектор АВ = х Е В" таким образом, что: 1) для любой точки А Е Л" н любого вектора х Е В" существует единственная точка В Е Л", такая, что АВ = х, 2) для любых трех точек А, В., С Е Л" выполнено равенство АС = АВ+ ВС. В дальнейшем точки и-мерного пространства будем обозначать большими буквами латинского алфавита, для и-мерных векторов во избежание путаницы будем использовать стрелку сверху, т.е. Х, У, х", — точки п-мерного пространства, ах, у, г,...

или ХУ, ХЯ,... — и-мерные векторы. Зафиксируем некоторую точку О п-мерного пространства. Эту точку назовем началом координат. Определение. Радиусом-вектором точки и-мерного пространства А е Л" называется и-мерный вектор, соединяющий эту точку с началом координат, т.е. вектор ОА. Определение. Координатами точки в и-мерном пространстве называются координаты ее радиуса-вектора. Очевидно, что все координаты точки О равны пулю. Учитывая равенство ОУ = ОХ+ ХУ или ХУ = ОУ вЂ” ОЛ, получаем, что координаты п-мерного вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала, т.е.

если Х(х1, х2,...,х„), У(у1, У2,..., у„), то г = ХУ = (У1 — х1, У2— *2.: Уп Хп) ° В да.тьнейшем для обозначения точек будем использовать также верхние индексы, а нижние индексы будем применять для обозначения соответствующих координат точек. Например х2 з обозначает третью координату точки Х2.

Определение. Расстоянием между точками в и-мерном пространстве называется длина вектора, соединяющего эти точки, те. если Х(х1,х2,,хп)~ У(У1 У2 .>Уп) р(Х, У) = ~ХУ~ = Определение. Открытым и-мерным шаром У(Х,к) ра-о диуса к с центром в точке Х называется множество точек о Х, расстояние от которых до точки Х меньше числа е, т.е. У(Хо ) (Х. (Х Хо) < Определение. Множество В С Л" точек п-мерного пространства называегся открытым, если каждая точка этого ъшожества входит в пего вместе с некоторым открытым шаром не- нулевого радиуса. Определение. Окрестностью точки и-мерного пространства Х е Л" называется произвольное открытое множество сг(ХО) С Л", содержащее эту точку.

Определение. Проколотой окрестностью точки и-мерного пространства Хо Е Л" называется множество б" (Х~) = о'(Хо) 1, (Хо), где у(ХО) — некоторая окрестность этой точки. Таким образом, проколотая окрестность точки Х вЂ” окрест- О ность точки Х без самой этой точки. Отметим, что пересечение любого конечного числа окрестностей точки Х является окрестностью этой точки, а пересе- О чение любого конечного числа проколотых окрестностей точки Л О является проколотой окрестностью этой точки.

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Определение. Если каждой точке Х = (х1,хз,...,х„) подмножества Ю и-мерного пространства Х = Л" ставится в соответствие единственная точка У = (у1., У2,, у,„) т-мерного пространства У = Л™, то говорят, что задана т-мерная вектор- функция нескольких переменных (ВФПП) У = 1."(Х) = г'(х1: х2,,хп). где У = (У1(Х),уя(Л),...,Ут(Х)). Определение (равносильное). Если каждой упорядоченной совокупности независимых переменных Х = (х1, х2,..., х„) ставится в соответствие единственная упорядоченная совокупность переменных У = (У1, у2,..., У,„)., то говорят, что задана ВФНП "1' = Г(Л). Рис.

2 Рис. г Рис. 3 Определение. Функции у, = Яхы хз,..., х„), 1,...,ж, называются координатными функциями вектор- функции У = Е(Х) = (~1(х),Ях),...,~,„(х)). Определение. Множество 0 точек Х = (хг, хз,..., х„) в-мерного пространства Х = В" (или множество упорядоченных совокупностей (хыхг,..., х„)), для которых определена функция У = Г(Х), называется областью определения или областью существования данной функции, а множество Е С Гг~ всех точек т-мерного пространства У = Р(Х)„таких, что Х б .О, называется областью значений этой функции. Отметим, что важным частным случаем ВФНП является рассмотренный в курсе линейной алгебры линейный оператор А: Ь" — 1."', который каждому вектору и-мерного линейного пространства Ь" ставит в соответствие единственный вектор ти-мерного линейного пространства Ь'а и при этом выполнены свойства линейности, т.е.

1) А(х+ у) = А(У)+ А(у) для Ч У,у Е ь"; 2) А(ах) = аА(х) для Ча Е В, Ч У Е ХР Глава 2. ГЕОМЕТРИ'ЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВФНП Лля двумерных и трехмерных пространств вектор-функция допускает геометрическую интерпретацию. Пусть Х = (хмхз), У = (ум уз). Вектор-Функция У = = Е(Х) отображает одно двумерное пространство (плоскость) в другое, также двумерное, т.е. Е : Л~ — ~ гг~.

В этом случае каждой области Л в плоскости (хм хз) соответствует, как правило, область Е в плоскости (уы уг) (рис. 1). Пример 1. Пусть в плоскости Х задан прямоугольник хг Е (0,1), хг Е [0,2я) и пусть у1 = Зхг созх2, уз = 2х1зшхг, У = (уы уз). Панная ВФНП У = Г(Х) отображает этот прямоугольник в область, ограниченную эллипсом с центром в начале координат, с большой полуосью а = 3 и малой полуосью Ь = 2, 2 2 задаваемым уравнением — 1 + 2 = 1 (рис. 2).

9 4 Пусть Х = (хы х2), У = (уг,у2; уз) Вектор-Функция У = Е( Х) отображает двумерное пространство в трехмерное, т.е. Е: Гсг -~ Лз. При этом каждой области .0 в плоскости Х соответствует, как правило, часть некоторой поверхности 5 трехмерного пространства У (рис. 3). Рис. 6 Рис. 4 Рис. 7 Рис. в Пример 2. Пусть в плоскости Х задан круг хг + хг < 1 1 2— и задана вектор-функция У = Г(Х): У1 = х1 Уг = х21 г г уз = х1 + хг. Эта вектор-функция отображает данный круг в часть эллиптического параболоида, описываемого уравнением УЗ = У21 + Угг (УЗ < 1) (рнс. 4).

Пустз' Х вЂ” (х1 *2 хз) У = (У1, У2). Вектор-функция = Г(Х) в этом случае отображает трехмерное пространство в двумерное, т.е, Г: Гс — ~ Гс . При этом каждая область Ю 3 2 трехмерного пространства отображается, как правило, в плоскую (двумерную) область Е (рис.5). Пример 3. Пусть в трехмерном пространстве Х задан куб х1 Е [О, Ц,. хг с [О, Ц, хз Е [О, Ц и задана вектор-функция У = = Г(Х): У1 = х1 + хг, У2 = хз. Образом этого куба является прямоугольник в плоскости У: У1 Е [0,2], уг Е [О, Ц (рис.

6). Пусть Х = (х1,хг,хз), У = (у1„уг,уз). Вектор-функция У = Г(Х) отображает в общем случае одно трехмерное пространство в другое, также трехмерное, т.е. Г: В~ — ~ Л~. При этом каждой области тг трехмерного пространства соответствует, как правило, область Е также трехмерного пространства (рис. 7). Пример 4. Пусть в трехмерном пространстве Х задан х прямоугольный параллелепипед х1 Е [О, Ц, хг Е [О, я], хз Е [О,-] '2 Рис. В и залана вектор-функция У = Г(Х): уг = хг соя хз соз хз, уз = = х1 з1ц хз соя хз, уз = хзз1п хз. Образом этого параллелепипеда является четверть шара у1~+ у~я + уз~ < 1; уз > О; уз > О (рис.

8). Глава 3. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ВФНП Определение 1. Точка т-мерного пространства У~ = (уою у~6,,,уо ) называется пределом ВФНП У = Г(Х) при Х вЂ” ~ Х = (хоыхо~,...,х~), т.е. Уо = 1пц Г(Х), если фУнк- Х вЂ” ~Хо ция У = Г(Х) опрелелена в некоторой проколотой окрестности о'(Х ) точки Х и для 'й > О существует такое 6 > О, что для о о ЧХ, удовлетворяющего неравенству О < /Х вЂ” Х ) < 6, выполняется неравенство )Г(Х) — У~! < к.

Определение 2 (эквивалентное). Точка т-мерного пространства У~ = (у~,уз~,...,у~ ) называется пред лом ВФНП = Г(Х) при Х вЂ” Хо =- (хо,хою...,хо), если для любой окрестности У(Уо) точки У~ найлется проколотая окрестность 1)(Х~) точки Хо, такая, что для ЧХ е У(Хо) У = Г(Х) Е Е У(УО) Покажем эквивалентность этих определений. Пусть У = 1иц Г(Х) согласно определению 2.