Математический аппарат квантовой теории - вопросы и задачи, страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Математический аппарат квантовой теории - вопросы и задачи", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая теория" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
¯¥à â®àë ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï ¨«¨ ¯à®¥ªâ®àë ®¡« ¤ îâ ᢮©á⢠¬¨P^ 2 = P^ ; P^ + = P^ :A4. ®¬¬ãâ â®à®¬ ¤¢ãå ®¯¥à â®à®¢ §ë¢ ¥âáï ®¯¥à æ¨ï^ A^℄ :[A;^ B^ ℄ = A^B^ B^ A^ = [B;A5. ᫨ ®¯¥à â®à A § ¢¨á¨â ®â ç¨á«®¢®£® ¯ à ¬¥âà x ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«¥ ï ç áâ ï ¯à®¨§¢®¤ ï A x =x, â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ä®à¬ã« ¥©ª¥à - ã᤮àä ()eA(x)x=Z1de(1)A(x)0Z1A(x) A(x)A(x) (1 )A(x)e=d eA(x)e:xx0. A«£¥¡à ®¯¥à â®à®¢.1. ®ª § âì, çâ® ¯ào¨§¢®«ìë© ®¯¥à â®àâ®àë.A^ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ A^1 + iA2 , £¤¥ A^1;2 | íà¬¨â®¢ë ®¯¥à -.2.
®ª § âì, çâ® ®¯¥à æ¨ï íନ⮢ ᮯàï¥¨ï ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬(A^+)+ = A^ ; (A^B^)+ = B^+ A^+ :.3. ®ª § âì, çâ® ¥á«¨A^ = A^+ , â® exp(iA^) | ã¨â àë© ®¯¥à â®à..4. ®¥â «¨ ®¯¥à â®à ¡ëâì ®¤®¢à¥¬¥® ã¨â àë¬ ¨ íନ⮢ë¬? ᫨ ¤ , â® ª ª®¢ë ¢®§¬®ë¥á®¡áâ¢¥ë¥ § 票ï â ª®£® ®¯¥à â®à ?7().5. ®ª § âì ᢮©á⢠ã¨â àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©: ) á®åà ¥¨¥ íନ⮢®á⨠| ¥á«¨ A íନ⮢, â® A0 â ª¥ íନ⮢;¡) ¯à ¢¨«® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï äãªæ¨© ®â ®¯¥à â®à®¢^^0F (A^1; A^2; :::)= F (A^01; A^02; :::) ;^ B^℄ = E^, â® ® ¥ ¬¥ï¥âáï ¯à¨ ®¤®¬¢) ¥á«¨ ª®¬¬ãâ â®à ¤¢ãå ®¯¥à â®à®¢ ªà ⥠¥¤¨¨ç®¬ã [A;0^^^ ! B^0 :¨ ⮬ ¥ ã¨â ஬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ®¯¥à â®à®¢ A ! A ; B.6. ®ª § âì, çâ®.7.[A;^ B^C^℄ = [A;^ B^℄C^ + B^ [A;^ C^ ℄ ;^ C^℄ = A^[B;^ C^℄ + [A;^ C^℄B^ :[A^B;^ = [A;^ B^ ℄ ª®¬¬ãâ¨àã¥â á B^ : [B;^ C^℄ = 0; â®®ª § âì, çâ® ¥á«¨ C[A;^ B^ n℄ = nC^B^n 1 ; n = 1; 2; ::: :.8.
DZ®ª ¨â¥, çâ® ¥á«¨^ B^ ℄ ¨ [B;^ C^℄ = 0; â®C^ = [A;^ 0(B^ ) :[A;^ F (B^ )℄ = CF.9. ®ª § âì ®¯¥à â®à®¥ ⮤¥á⢮ ª®¡¨^ C^℄℄ + [B;^ [C;^ A^℄℄ + [C;^ [A;^ B^ ℄℄ = 0 :[A;^ [B;.10. ®ª § âì, çâ® ¯à¨[A;^ B^℄ = 0 ¨¬¥¥â ¬¥áâ®exp(A^)exp(B^ ) = exp(A^ + B^ ) :.11. ®ª § âì ä®à¬ã«ã^ A^ = B^ + [A;^ B^ ℄ +eA^ Be1 ^ ^^2! [A; [A; B℄℄ + ::: :.12. ®ª § âì á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì á®®â®è¥¨ïexp[z(A^ + B^)℄ = exp(zA^) exp(zB^ ) exp(¤«ï «î¡®£® ª®¬¯«¥ªá®£®.13.
©â¨ ).14. DZà¨d^d (1 + A)1;zz 2 =2)¯à¨ ãá«®¢¨¨[A^ ; B^ ℄ = E^ :d exp(A^) :¡) d[A^ ; B^ ℄ = E^ ¢ëç¨á«¨âì:a) [A^ ; F (B^ )℄ ;¡).15. «ï ª ª¨å ª®¬¯«¥ªáëå § 票©exp(xA^) f (B^ ) exp( xA^) ;x¨y¢)dexp(A^ + B^) :d¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮[exA^; eyB^ ℄ = 0 ;[A;^ B^ ℄ = E^ ?^ B^ ℄ = B^. ©â¨ § 票ï x, ¯à¨ ª®â®àëå exA^ Be^ xA^ = B^ :DZãáâì [A;^ B^ ) 1 ¯® á⥯¥ï¬ ¯ à ¬¥âà . ©â¨ à §«®¥¨¥ ®¯¥à â®à (A¥á«¨.16..17.. ¯¥ªâà ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®à ®¯¥à â®à®¢.1.
®ª § âì, çâ® ¯¥à¥ã¬¥à æ¨ï ¡ §¨áëå ¢¥ªâ®à®¢ ¥áâì ã¨â ஥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥8()..2. ®ª § âì, çâ® á«¥¤ ®¯¥à â®à à ¢¥ á㬬¥ ¥£® ᮡá⢥ëå § 票©.^ C^℄ 6= 0, ⮠ᯥªâà ®¯¥à â®à A^ ¢ëத¥.[A;^ B^ ℄ = 0 ¨ [A;^ C^℄ = 0, ® [B;ëç¨á«¨âì ¬ âà¨æë ®¯¥à â®à®¢ ^; = 1; 2; 3; ¢ ¡ §¨á¥ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à ^1.ëç¨á«¨âì ¬ âà¨æë ®¯¥à â®à®¢ ^; = 1; 2; 3; ¢ ¡ §¨á¥ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à .3. ®ª § âì, çâ® ¥á«¨.4..5.à ¢¨âì १ã«ìâ â á § ¤ 祩 .4. ¨ ®¡ìïá¨âì..6 ©â¨ ã¨â àãî ¬ âà¨æã, ª®â®à ï ¯¥à¥¢®¤¨â ®¯¥à â®à^1¢^2¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬B.7.
©â¨ ®¯¥à â®àë ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ï ᮡáâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®à ®¯¥à â®à ()~a~ .2.()..8 ®ª § âì, çâ® ¯à¨ ã¨â ஬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨á¯¥ªâà ®¯¥à â®à ¥ ¬¥ï¥âáï. ©â¨, ª ª ¯à¨í⮬ ¯à¥®¡à §ã¥âáï ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¤ ®¬ã ᮡá⢥®¬ã § 票î..9. ëç¨á«¨âì ¬ âà¨æë ®¯¥à â®à®¢®¯¥à â®à s1 .^s^ ; = 1; 2; 3; ¨§ § ¤ ç¨ .1.^=123S^ ; = 1; 2; 3;^=123^= 1 2; 3; ¨§¢ ¡ §¨á¥ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢.10.
ëç¨á«¨âì ¬ âà¨æë ®¯¥à â®à®¢ S ; ; ; ; ¨§ § ¤ ç¨ .5. ⥬ë I ¢ ¡ §¨á¥ ᮡá⢥ë墥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à S1 . à ¢¨âì १ã«ìâ â á § ¤ 祩 .9. ¨ ®¡ìïá¨âì.^.11. ëç¨á«¨âì ¬ âà¨æë ®¯¥à â®à®¢¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à S3 .^¨§ § ¤ ç¨ .5.⥬ë I ¢ ¡ §¨á¥ ᮡá⢥ëå.12. ëç¨á«¨âì ¬ âà¨æë ®¯¥à â®à®¢ S ; ; ; ; ¨§ § ¤ ç¨ .1. ⥬ë I ¢ ¡ §¨á¥ ᮡá⢥ë墥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à s3 . à ¢¨âì १ã«ìâ â á § ¤ 祩 .11. ¨ ®¡ìïá¨âì.^.13. ëç¨á«¨âì ¬ âà¨æë ®¯¥à â®à®¢ s ; ;¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à S3 ¨§ § ¤ ç¨ .5 ⥬ë I.^^^ =^§ ¤ ç¨ .1.⥬ë I ¢ ¡ §¨á¥ ᮡá⢥ëå^ =^.14.
©â¨ ᯥªâà ¯à®¥ªæ¨®®£® ®¯¥à â®à P ; P 2P ; P + P : ®ª § âì, çâ® «¨¡® ã ¥£® ¥áâ쯮 ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® ã«¥¢®¥ ᮡá⢥®¥ § 票¥, «¨¡® ® ᮢ¯ ¤ ¥â á ¥¤¨¨çë¬..15. ®ª § âì, çâ® ã íନ⮢ ®¯¥à â®à ¢á¥ ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¤¥©á⢨⥫ìë.M + M ¢á¥ ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¥®âà¨æ ⥫ìë.DZãáâì ®¯¥à â®à a^ â ª®¢, çâ® [^a; ^a+℄ = E:^ ©â¨ ᯥªâà ®¯¥à â®à n^ = a^+ ^a:®¥â «¨ áãé¥á⢮¢ âì ®¯¥à â®à ^b â ª®©, çâ® ^b^b+ + ^b+^b = 1 :.16. ®ª § âì, çâ® ã ®¯¥à â®à .17..18.¥¬ 3. ®áâ®ï¨ï ª¢ ⮢®© á¨á⥬ë. ¡é¨¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï.1.
ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯à®áâà á⢮ á®áâ®ï¨© «î¡®© 䨧¨ç¥áª®© á¨á⥬ë ï¥âáï ¢¥ªâ®à묣¨«ì¡¥àâ®¢ë¬ ¯à®áâà á⢮¬. ¡é¥¯à¨ïâë¥ ¤¨à ª®¢áª¨¥ ®¡®§ ç¥¨ï ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢, ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ëå ¤ ®¬ã á®áâ®ï¨î á¨á⥬ë , ¥áâì¤«ï ª¥â-¢¥ªâ®à®¢ ¨¤«ï ¡à -¢¥ªâ®à®¢ ᮮ⢥âá⢥®. ª «ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥'.j i^h jh j i^[^ ^℄ = ^.2. ¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à â®àë ª®®à¤¨ âë q ¨ ¨¬¯ã«ìá p ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª ª íà¬¨â®¢ë ®¯¥à â®àë, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ª®¬¬ãâ æ¨®ë¬ á®®â®è¥¨ï¬ q; pihE:().3. ª®®à¤¨ ⮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¢¥ªâ®à á®áâ®ï¨ï ॠ«¨§ãîâáï ª ª ¢®«®¢ë¥ äãªæ¨¨x , ¯à¨R ¤«¥ 饬 £¨«ì¡¥à⮢㠯à®áâà áâ¢ã ª¢ ¤à â¨ç®-¨â¥£à¨à㥬ëå äãªæ¨© dxx 2 < ;¯à¨ í⮬ ®¯¥à â®àë ª®®à¤¨ âë ¨ ¨¬¯ã«ìá ¨¬¥îâ á«¥¤ãî饥 ¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥j ( )j.4.1(^q )(x) = x (x) ; (^p )(x) = ih x(x) :(#)DZ¥à¥å®¤ ®â ª®®à¤¨ ⮣® ª ¨¬¯ã«ìᮬ㠯।áâ ¢«¥¨î (x) ! ~(p) ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯à¥®¡à ^§®¢ ¨¥¬ ãàì¥ FZipx=h (x) :~(p) = (F^ )(p) = p 12h dxe âà¨æ ¯«®â®á⨠¨«¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à á¨á⥬ë ^ ï¥âáï íà¬¨â®¢ë¬ ®¯¥à â®à®¬,¨¬¥î騬 ᯥªâà «ì®¥ à §«®¥¨¥^ =Xk!k j'k ih'k j ;9(##)f g£¤¥ 'k ¥áâì ¯®«ë© ®à⮮ନ஢ ë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢, ç¨á« !k «¥ â ¢ ¨â¥à¢ «¥¨ ¨¬¥îâ á¬ëá« áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ¢¥á®¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å á®áâ®ï¨©, ¯à¨ í⮬T r ^ =XkF^।¥¥ § 票¥ «î¡®© 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë=1 :!k¢ á®áâ®ï¨¨hF i = T r (^F^ ) : ç¨á⮬ á®áâ®ï¨¨ ¢á¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ ¢¥á ®á⨠᢮¤¨âáï ª ¯à®¥ªæ¨®®¬ã ®¯¥à â®àã| ª ¬ âà¨ç®¬ã í«¥¬¥âã FF .h i = h j ^j i^ à ¢®!k à ¢ë ã«î, ªà®¬¥ ®¤®£®, ¨ ⮣¤ ¬ âà¨æ ¯«®â^ = j ih j, á।¥¥ § 票¥ 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë.
®®à¤¨ ⮥ ¨ ¨¬¯ã«ìᮥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï.1. ®ª § âì, çâ® á®®â®è¥¨¥¬ âà¨æë.[^q; p^℄ = ih E^0 !k 1¥ ¬®¥â ¢ë¯®«ïâìáï, ¥á«¨q^¨p^| ª®¥ç®¬¥àë¥[^q0; p^0℄ , £¤¥ q^0 ¨ p^0 | ã¨â à® ¯à¥®¡à §®¢ ë¥ ®¯¥à â®àë ª®®à¤¨ âë ¨ ¨¬¯ã«ìá .®ª § âì, çâ® ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¢ (#) ®¯¥à â®àë ª®®à¤¨ âë ¨ ¨¬¯ã«ìá ïîâáï íନ⮢묨..2. ©â¨.3..4. DZ®ª § âì, çâ® ¢ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ®¯¥à â®àë ª®®à¤¨ âë ¨ ¨¬¯ã«ìá ¨¬¥î⠯।áâ ¢«¥¨¥(^q ~)(p) = ih p ~(p) ; (^p ~)(p) = p ~(p) :.5. 믨á âì ä®à¬ã«ë ¯¥à¥å®¤ ®â ª®®à¤¨ ⮣® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ª ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î, ¯®à®¤ ¥¬®¬ã®à⮮ନ஢ ë¬ ¡ §¨á®¬ 'n .f g.6. ª¨¬¨ ä®à¬ã« ¬¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâáï 㬮¥¨¥ ®¯¥à â®à®¢ ¨ íନ⮢® ᮯà泌¥ ¢ ª®®à¤¨ ⮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ?.7.
ëç¨á«¨âì १ã«ìâ â ¤¥©á⢨ï f (x)®¯¥à â®à T^(a) = exp(a dxd ) :.8. ©â¨ ï¤à® ®¯¥à â®à ᤢ¨£ ¨§ § ¤ ç¨ .7. ¢ ª®®à¤¨ ⮬ ¨ ¨¬¯ã«ìᮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ïå.F^ ¨§ ¯..3. :.9. ©â¨ ᯥªâà ®¯¥à â®à ãàì¥(F^f )(x) = p12Zdyeixy f (y) :¢«ï¥âáï «¨ íâ®â ®¯¥à â®à íନ⮢ë¬? ã¨â àë¬?.10.
®ª § âì, çâ® ã¨â àë© ®¯¥à â®à ᤢ¨£ ç « ®âáç¥â ª®®à¤¨ âë ¨ ¨¬¯ã«ìá p p p0 ¨¬¥¥â ¢¨¤^ ! ^+.11.£¤¥iU^ (q0; p0) = exp' | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®.(p q^h 0q^ ! q^ + q0¨q0 p^) + i' ; ©â¨ ã¨â àë© ®¯¥à â®à, ®áãé¥á⢫ïî騩 ᤢ¨£ ç « ®âáç¥â í¥à£¨¨..12.
©â¨ ã¨â àë© ®¯¥à â®à, ®áãé¥á⢫ïî騩 ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ «¨«¥ïq^ ! q^0 = q^ + vtE^ ; p^ ! p^0 = p^ + mvE^ : ª ¨§¬¥ï¥âáï ãà ¢¥¨¥ ।¨£¥à ¯à¨ í⮬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ?.13. ©â¨ ã¨â àë© ®¯¥à â®à, ®áãé¥á⢫ïî騩 ¬ áèâ ¡®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ (¤¨« â æ¨î) ®¯¥à â®à®¢ ª®®à¤¨ âë ¨ ¨¬¯ã«ìá q^ ! q^0 = q^ ; p^ ! p^0 = 1p^ :.14. ëç¨á«¨âì ¬ âà¨çë© í«¥¬¥âhqj exp( p^2 =2a) exp( q^2 =2b)jpi:10B.
âà¨æ ¯«®â®áâ¨.1. DZ।áâ ¢¨âì á।¥¥ § 票¥ ®¯¥à â®à A^ ¯® á®áâ®ï¨î ¢ ¢¨¤¥ á«¥¤ ¥ª®â®à®£® ®¯¥à â®à .^ = ^, £¤¥ ^ | ¬ âà¨æ ¯«®â®áâ¨, ¥áâì ¥®¡å®¤¨¬®¥ ¨ ¤®áâ â®ç®¥.2. ®ª § âì, çâ® à ¢¥á⢮ 2ãá«®¢¨¥ ç¨á⮣® á®áâ®ï¨ï..3. ©â¨ ï¤à® ®¯¥à â®à ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨ïj ih j á®áâ®ï¨¥ ¢ ª®®à¤¨ ⮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨.^.4. DZãáâì k-®¥ ᮡá⢥®¥ § 票¥ fk 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨ë F s-ªà â® ¢ëத¥®. DZ®áâன⥯஥ªâ®à ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ â¥à¬¨ å ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à F .^^ ¤«ï á®áâ®ï¨ï ®¡é¥£® ¢¨¤ (##) ¢ ª®®à¤¨ ⮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨. ¡«î¤ ¥¬®© á ç¨áâ® ¤¨áªà¥âë¬ á¯¥ªâ஬ F^ §ë¢ ¥âáï 䨧¨ç¥áª ï ¢¥«¨ç¨ , ®¯¥à â®à ª®â®à®© ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¤¨áªà¥âë© á¯¥ªâà ᮡá⢥ëå § 票©.
¯¥ªâà «ì®¥ à §«®¥¨¥ F^ ¨¬¥¥â.5. ¯¨è¨â¥ ï¤à® ®¯¥à â®à .6.¢¨¤XF^ == j ih jlfl Pl ;£¤¥ Plul ul ¥áâì ¯à®¥ªâ®à ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 fl ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®àDZ®ª ¨â¥, çâ® ¤¨á¯¥àá¨î ¡«î¤ ¥¬®© F ¢ á®áâ®ï¨¨ ,^D(F ) = hF 2ijul i®¯¥à â®à F^.(hF i)2;¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª á।¥¥:D(F ) = h[F^ hF i E^ ℄2i ;¨«¨D(F ) =X[fl hF i℄2 hP^l i :l.7. DZ®ª ¨â¥, çâ® ¥á«¨ ¤¨á¯¥àá¨ï ¡«î¤ ¥¬®© F ç¨áâ® ¤¨áªà¥âë¬ ¥¢ëத¥ë¬ ᯥªâ஬ ¢á®áâ®ï¨¨ ¨§ § ¤ ç¨ .6.
à ¢ ã«î, â®: ) á।¥¥ § 票¥ F à ¢® ®¤®¬ã ¨§ ç¨á¥« ᯥªâà fm ;¡) ¡®à á®áâ®ï¨© 'k ¢ ᯥªâà «ì®¬ à §«®¥¨¨ ¬ âà¨æë ¯«®â®áâ¨á®¢¯ ¤ ¥â á ¡®à®¬ ul ¢ à §«®¥¨¨ ®¯¥à â®à ¡«î¤ ¥¬®© F , áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ ¢¥á à ¢ë !kÆkm ;¢) ¬ âà¨æë F ¨ ª®¬¬ãâ¨àãîâ ;£) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª äãªæ¨î F .f g^(##)f g^ ^^=^.8. DZ®ª ¨â¥, çâ® ¥á«¨ ¤¨á¯¥àá¨ï ¡«î¤ ¥¬®© F ¢ á®áâ®ï¨¨ à ¢ ã«î, á।¥¥ § 票¥à ¢® ®¤®¬ã ¨§ ᮡá⢥ëå § 票© ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®¯¥à â®à fm , â®F^ = P^m ;^£¤¥ Pm | ¯à®¥ªâ®à ¯®¤¯à®áâà á⢮ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢§ 票î fm .F^ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ᮡá⢥®¬ã^ =^.9. DZ®ª ¨â¥, çâ® ¥á«¨ ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠㤮¢«¥â¢®àï¥â á®®â®è¥¨î 2; â® áãé¥áâ¢ã¥â ¡«î¤ ¥¬ ï á ç¨áâ® ¤¨áªà¥âë¬ ¥¢ëத¥ë¬ ᯥªâ஬, ª®â®à ï ¯à¨¨¬ ¥â â®ç®¥ § 票¥¢ á®áâ®ï¨¨ :^ = ^ ¨ hln ^i = 0 íª¢¨¢ «¥âë..10.
DZ®ª ¨â¥, çâ® á®®â®è¥¨ï 2.11. DZãáâì á¨á⥬ 室¨âáï ¢ á®áâ®ï¨¨ á ¬ âà¨æ¥© ¯«®â®á⨠. DZ®ª ¨â¥, çâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥¢¥à®ïâ®á⨠®¡ àã¨âì ¥¥ ¢ ç¨á⮬ á®áâ®ï¨¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ¢¥ªâ®àã, íª¢¨¢ «¥â®®¯à¥¤¥«¥¨î á।¥£® § ç¥¨ï ¯à®¥ªâ®à P.= j ih j.12. DZ®ª ¨â¥, çâ® ¢ á¨á⥬¥ á ¤¢ã¬ï ¢®§¬®ë¬¨ á®áâ®ï¨ï¬¨ ) ¬ âà¨æ ¯«®â®áâ¨ à ¢ £¤¥^^ = p0E^ + ~a~^ ;| ¬ âà¨æë DZ 㫨,p0 = 1=2;11~a 2 1=4 ;j i¡) ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠ç¨á⮣® á®áâ®ï¨ï à ¢ ^ =12(E^ + ~n~^);^= ^~n 2 = 1;^¢) ¡«î¤ ¥¬ ï F ~ ~n ®¡« ¤ ¥â ¢ á®áâ®ï¨¨ ¨§ ¯ãªâ ¡) â®çë¬ § 票¥¬ (ª ª¨¬?);£) ¥á«¨ ¯ à ¬¥âਧ®¢ âì á®áâ ¢«ïî騥 n á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:n1 = sin os ; n2 = sin sin ; n3 = os ;â® ¬ âà¨æ ¯«®â®á⨠¨§ ¯ãªâ ¡) ¯à¨¬¥â ¢¨¤exp(i=2)os=2jvi = exp(i=2) sin =2^ = jvihvj ;:.13.