Билеты ко второй части экзамена 1 поток (Вопросы и билеты к экзамену)

Билет 1.1. Сформулируйтеидокажитепринципмаксимумадлягармонической функции.2. Сформулируйте и докажите теорему единственности решениявнутренней краевой для уравнения Гельмгольца в случаеграничных условий общего вида.Билет 2.1. Сформулируйте и докажите теорему о нулях классическихортогональных полиномов.2. Дайте определение потенциала двойного слоя.

Сформулируйте идокажите его основные свойства.Билет 3.1. Сформулируйте и докажите теорему единственности решенияуравнения теплопроводности на бесконечной прямой.2. Постройте функцию Грина задачи Дирихле для уравненияЛапласа в верхнем полупространстве.Билет 4.1. Сформулируйте и докажите теорему существования классическогорешения уравнения теплопроводности на отрезке.2. Докажите, что система полиномов Лежандра исчерпывает всесобственные функции соответствующей задачи ШтурмаЛиувилля.Билет 5.1. Сформулируйте и докажите принцип максимума для уравненияпараболического типа.2. Выведите формулу для разрыва нормальной производнойпотенциала простого слоя.Билет 6.1.

Докажите замкнутость системы присоединенных функцийЛежандра.2. Постройте функцию Грина задачи Неймана для уравнениятеплопроводности на полупрямой.Билет 7.1. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности потенциалапростого слоя.2. Получите асимптотику функции Бесселя при больших значенияхаргумента.Билет 8.1.

Сформулируйте и докажите теорему о существовании потенциаладвойного слоя.2. Получите производящую функцию для полиномов Лагерра.Билет 9.1. Сформулируйте и докажите теорему о разрыве нормальнойпроизводной потенциала простого слоя.2. Получите производящую функцию для полиномов Эрмита.Билет 10.1. Сформулируйте и докажите теорему о разрыве потенциаладвойного слоя.2. Докажите теорему единственности решения внешней краевойзадачи для уравнения Лапласа в трехмерном случае с граничнымиусловиями Дирихле.Билет 11.1.

Докажите теорему о симметрии функции Грина для уравненияЛапласа с граничными условиями Дирихле.2. Получите методом интегрирования по фазовой плоскости формулудля решения неоднородного уравнения колебаний на бесконечнойпрямой.Билет 12.1. Сформулируйте и докажите леммы о поведении решений в особойточкедляуравненияспециальныхфункцийx  ( a , b) ,где( k ( x )u '( x )) ' q( x )u  0,k ( x )  ( x  a ) ( x ),  ( x )  0 .2. Получитеобщуюформулуортогональных полиномов.РодригадляклассическихБилет 13.1. Сформулируйте и докажите теоремы существования решенийвнутренней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана дляуравнения Лапласа в трехмерном случае.2.

Постройте функцию Грина задачи Дирихле для уравненияЛапласа в шаре методом электростатических изображений.Билет 14.1. Сформулируйте и докажите теоремы существования решенийвнутренней задачи Неймана и внешней задачи Дирихле дляуравнения Лапласа.2. Выведите формулу Даламбера.Билет 15.1. Сформулируйте и докажите теорему единственности решениявнешней краевой задачи для уравнения Лапласа в трехмерномслучае с граничными условиями Неймана.2. Получите определители Вронского функций Бесселя и Ханкеля.Билет 16.1. Сформулируйте и докажите теорему единственности решениявнешней краевой задачи для уравнения Лапласа в двумерномслучае с граничными условиями Дирихле.2.

Получите асимптотику функции Инфельда для больших значенийаргумента.Билет 17.1. Получите представление функции Бесселя в виде обобщенногостепенного ряда.2. Получите производящую функцию для полиномов Лежандра.Билет 18.1. Постройте интегральное представление функции Бесселя.2. Докажите теорему существования классического решенияоднородного уравнения колебаний на бесконечной прямой.Билет 19.1. Постройте интегральное представление функций Ханкеля первогои второго рода.2. Выведите формулу Даламбера.Билет 20.1. Получите асимптотику функций Ханкеля при большом значенииаргумента.2. Постройте функцию Грина задачи Дирихле для уравненияЛапласа в шаре методом электростатических изображений.Билет 21.1.

Выведите общую формулу производящей функции классическихортогональных полиномов.2. Свойствафундаментальногорешенияуравнениятеплопроводности на бесконечной прямой.Билет 22.1. Выведите формулу Кирхгофа.2. Опишите общую схему метода разделения переменных.Билет 23.1. ВыведитеформулуПуассона,описывающуюпроцессраспространения колебаний в трехмерном пространстве.2.

Постройте функцию Грина внутренней задачи Неймана дляуравнения Лапласа.Билет 24.1. С помощью метода спуска Адамара получите формулу Пуассона,описывающую процесс распространения колебаний в двумерномпространстве.2. Получите асимптотику функции Макдональда при большомзначении аргумента.Билет 25.1. Выведите уравнение для присоединенных функций Лежандра.2. Докажите теорему единственности решения внутренней краевойзадачи для уравнения Гельмгольца..