В.К. Белошапка - Программа экзамена по комплексному анализу V и VI семестров

Программа экзамена по комплексному анализуЛектор — В. К. Белошапка5–6 семестры, 2004–2005 г.V семестр1. C-дифференцируемость и R-дифференцируемость, уравнения Коши – Римана.2. Теорема об обратной функции, теорема о неявной функции.3. Конформность линейного отображения, конформность в точке, конформное отображение области, связьс C-дифференцируемостью.4. Определенный интеграл, первообразная, формула Ньютона – Лейбница.5. Лемма Гурса, теорема о существовании первообразной.6.

Интегральная теорема Коши.7. Интегральная формула Коши.8. Теорема о разложении в ряд, неравенства Коши, теорема Лиувилля.9. C-дифференцирование степенных рядов.10. Цепочка из четырех эквивалентных определения голоморфной функции, теорема Мореры.11. Свойства голоморфных функций: бесконечная дифференцируемость, теорема единственности, принципмаксимума, теорема о среднем.12. Сходимость в пространстве голоморфных функций, теорема Вейерштрасса.13. Принцип компактности.14. Ряды Лорана, теорема о разложении функции в кольце, единственность, неравенства Коши.15.

Изолированные особые точки, теорема о классификации, теорема Сохоцкого.16. Сфера Римана как комплексное многообразие, голоморфность и мероморфность на комплексном многообразии, бесконечность как особая точка, теорема: мероморфность на сфере эквивалентна рациональности.17. Теорема о вычетах, вычисление вычетов.18. Принцип аргумента, теорема Руше.19. Принцип открытости, теорема Гурвица, эквивалентность однолистности и конформности.20. Попарная неэквивалентность сферы, плоскости и круга.

Вычисление групп автоморфизмов сферы и плоскости, лемма Шварца, автоморфизмы круга.21. Теорема Римана о конформном отображении.22. Достижимая граничная точка, формулировка теоремы Каратеодори, «обратная» теорема о соответствииграниц, нормировка конформного отображения односвязной области.23.

Лемма о склейке голоморфных функций, принцип симметрии.24. Аналитическое продолжение ростка (непосредственно и по пути), единственность продолжения по пути,теорема о монодромии.25. Полная Аналитическая Функция (ПАФ), её ветвь в области, однозначная ветвь, теорема Вольтерра.26. Изолированная особая точка ветви ПАФ, классификация (корректность).27. Конструкция римановой поверхности ПАФ, голоморфность ПАФ на своей римановой поверхности.28. Замыкание римановой поверхности в точке ветвления, ряды Пюизо.29. Алгебраическая функция, критерий алгебраичности, группа монодромии.30. Риманова поверхность алгебраической функции — это сфера с ручками, формула Римана – Гурвица.1VI семестр1.

Гармонические функции двух переменных: связь с аналитическими, бесконечная дифференцируемость,теорема о среднем, принцип максимума, теорема Лиувилля.2. Теорема о классификации изолированных особых точек гармонических функций.3. Решение задачи Дирихле в односвязной области. Интеграл Пуассона.4. Модель стационарного течения, комплексный потенциал и его типичные особые точки (источник, сток,вихрь, диполь), физическое доказательство теоремы Римана.5. Кратные степенные ряды: лемма Абеля, область сходимости, полидиск сходимости, сопряженные радиусысходимости, логарифмическая выпуклость области сходимости.6.

Голоморфные функции нескольких переменных: условия Коши – Римана, теорема о неявной функции.7. Кратная интегральная формула Коши, разложение голоморфной функции в кратный степенной ряд.8. Почленное дифференцирование кратного степенного ряда, голоморфность суммы. Четыре эквивалентныхопределения голоморфной функции.9. Свойства голоморфных функций: теорема единственности, принцип максимума, неравенства Коши.10. Области голоморфности, продолжение функций с помощью логарифмической выпуклости и с помощьюинтеграла Коши, фигура Хартогса.11. Продолжение вдоль аналитических дисков.12. Биголоморфные отображения, теорема Анри Картана.13. Обобщенная лемма Шварца, неэквивалентность шара и полидиска.14.

Представление мероморфных функций — теорема Миттаг – Лёффлера, метод Коши.15. Представление целых функций — теорема Вейерштрасса.16. Строение группы периодов мероморфной функции, эллиптические функции и их свойства.17. Построение функции Вейерштрасса, ее кратные точки и критические значения.18. Две формы записи дифференциального уравнения на функцию Вейерштрасса, униформизация кубическойкривой.19. Разрешимость группы монодромии алгебраической функции, представимой суперпозицией радикалов.20. Теорема Абеля о неразрешимости в радикалах алгебраического уравнения степени выше четвертой.21. Построение универсальной накрывающей, действие фундаментальной группы на универсальной накрывающей.22.

Представление римановой поверхности как фактора универсальной накрывающей по действию фундаментальной группы. Теорема о классификации римановых поверхностей.23. Отсутствие непостоянных отображений параболического многообразия в гиперболическое. Теорема Пикара.2Программа VI семестра1. Гармонические функции двух переменных и гидродинамика ([1], [3])• Гармонические функции и аналитические, свойства гармонических функций• Интегральное представление Пуассона и задача Дирихле• Модель стационарного течения, комплексный потенциал и его особые точки (источник, сток, вихрь,диполь), физическое доказательство теоремы Римана2.

Представление голоморфных функций ([1], [6])• Мероморфные функции — теорема Миттаг – Леффлера, метод Коши• Целые функции — теорема Вейерштрасса3. Функции нескольких переменных ([2])• Кратные степенные ряды• Цепочка эквивалентных определений: (производная, кратная формула Коши, представление суммойряда, производная), интегрирование в Cn• Свойства голоморфных функций• Геометрия пространства Cn• Области голоморфности: логарифмическая выпуклость, фигура Хартогса, голоморфная выпуклость,аналитические диски• Простейшие особенности голоморфных и аналитических функций• Биголоморфные отображения4. Эллиптические функции ([1], [3], [4])••••Определение и свойства эллиптических функцийЭллиптический синусПостроение функции Вейерштрасса и ее свойстваУниформизация кубической кривой5.

Римановы поверхности ([4], [5])••••Теорема Абеля о неразрешимости в радикалахАлгебраические кривые в CP2Анализ на римановой поверхностиУниформизация римановых поверхностейЛитература[1][2][3][4][5][6][7]Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ, том 1. — Наука, 1976.Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ, том 2. — Наука, 1985.М. А.

Лаврентьев, Б. В. Шабат. Методы ТФКП. — Физматгиз, 1958.А. Гурвиц, Р. Курант. Теория функций. — Наука, 1968.В. Б. Алексеев, Теорема Абеля в задачах и решениях. — Наука, 1976.Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. Лекции по ТФКП. — Наука, 1989.И. Кра. Автоморфные формы и клейновы группы. — Мир, 1975.Последняя компиляция: 22 июня 2005 г.Обновления документа — на сайте http://www.dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.3.