Список экзаменационных вопросов

Список экзаменационных вопросов по курсу«Уравнения математической физики»(41 вопрос на двух листах)ф-т «К», 6-й семестр, 2010/2011 уч. г.Лектор — И. В. Тихонов1. Основные уравнения математической физики: Лапласа, волновое, теплопроводности. Общее линейное уравнение 2-го порядка, основные понятия сним связанные.

Формулировка теоремы о приведении к каноническому виду. Классификация уравнений 2-го порядка.2. Доказательство теоремы о приведении к каноническому виду линейного однородного УрЧП 2-го порядка.3. Элементы векторного анализа, производная по направлению, градиент. Формула Гаусса–Остроградского (GO). Теорема Гаусса. Формулы Грина.4. Теплопроводность твердых тел. Закон Фурье. Вывод уравнения трехмерной теплопроводности.5. Понятие «задачи» в математической физике. Начальные и краевые условия. Три типа классических краевых условий в теории теплопроводности.Постановка общей смешанной начально-краевойзадачи. Редукция к одномерной модели. Классические краевые операторы в одномерном случае.6.

Общая схема метода Фурье на примере простейшейодномерной задачи теплопроводности с классическими краевыми условиями.7. Задача Штурма–Лиувилля с классическими краевыми условиями для уравнения X 00 (x)+λX(x) = 0.Понятие спектра. Формулировка теоремы о спектре задачи Штурма–Лиувилля. Неотрицательностьсобственных значений. Особый случай λ0 = 0.8. Схема метода Фурье для неоднородного уравненияut = a2 uxx + f (x, t) (случай однородных краевыхусловий).9.

Схема метода Фурье в случае неоднородных краевых условий. Общий прием по сведению задачи снеоднородными краевыми условиями к задаче с однородными краевыми условиями.10. Схема метода Фурье в простейшей задаче с краевыми условиями 1-го рода для уравнения колебанийструны (по материалам семинаров).11. Обоснование метода Фурье для одномерного уравнения теплопроводности: корректность полученнойформулы для простейшей задачи с краевыми условиями 1-го рода.14. Следствия принципа экстремума для одномерного уравнения теплопроводности в прямоугольнике:теоремы позитивности, единственности и устойчивости решений в смешанной начально-краевой задаче с краевыми условиями 1-го рода.15. Корректно поставленные задачи в математическойфизике.

Пример Адамара. Общее понятие задачиКоши.16. Одномерное преобразование Фурье. Его элементарные свойства. Преобразование Фурье от производной. Интеграл типа Эйлера–Пуассона.17. Задача Коши для одномерного уравнения теплопроводности. Формальное решение при помощипреобразования Фурье. Вывод формулы Пуассона.18. Формулировка теоремы о применимости формулыПуассона в задаче Коши для одномерного уравнения теплопроводности. Фундаментальное решение pa (x, t) и его свойства.

Эффект мгновенногораспространения тепла. Сохранение ограниченности решений.19. Принцип экстремума для одномерного уравнениятеплопроводности в полосе R × [0, T ]. Теоремаединственности решения для задачи Коши.20. Свертка функций на прямой. Элементарные свойства свертки.

Преобразование Фурье от свертки. Объяснение формулы Пуассона через понятиесвертки.21. Гармонические функции в Rn . Принцип экстремума для гармонических функций.22. Следствия принципа экстремума для гармонических функций: теоремы позитивности, единственности и устойчивости решения в задаче Дирихле для уравнения Лапласа. Невозможность пренебречь даже точкой в граничном условии.23.

Применение формулы Гаусса–Остроградского(GO) в теории гармонических функций. Другоедоказательство единственности решения в задачеДирихле. Необходимое условие разрешимости задачи Неймана. Неединственность решения задачиНеймана; отличие всех ее решений на константу.24. Оператор Лапласа в сферически симметричномслучае. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Элементарные свойства фундаментальногорешения.

Физический смысл при n = 3; ньютоновпотенциал точечной массы.25. Общая фундаментальная формула Грина. Пример:интеграл Гаусса.26. Фундаментальная формула Грина для гармонических функций. Бесконечная дифференцируемостьгармонических функций. Теорема о среднем.12. Единственность решения смешанной задачи дляодномерного уравнения теплопроводности в случаепроизвольных классических краевых условий.27. Функция Грина с условиями Дирихле для оператора Лапласа. Определение функции Грина. Симметричность функции Грина.13. Принцип экстремума для одномерного уравнениятеплопроводности в прямоугольнике [l1 , l2 ] × [0, T ].28.

Вывод разрешающей формулы (через функциюГрина) в задаче Дирихле для уравнения Пуассона.29. Функция Грина для шара. Ее различные записи.30. Вывод формулы Пуассона для шара. Ее обоснование для гармонических функций, непрерывныхвплоть до границы.31. Следствия формулы Пуассона для гармоническихфункций в шаре: теорема о среднем, усиленныйпринцип позитивности, усиленный принцип экстремума.32. Неравенство Харнака для гармонических функций.Теорема Лиувилля.33.

Симметричность и отрицательная определенностьоператора Лапласа в ограниченной области с классическими краевыми условиями (с доказательством предварительных лемм).34. Вещественность и неположительность собственныхзначений оператора Лапласа с классическими краевыми условиями. Особый случай с собственнымзначением λ0 = 0.35. Спектральная задача для оператора Лапласа втрехмерном сферически симметричном случае.Дополнительно: обосновать дифференцируемостьполученных собственных функций в начале координат.36.

Уравнение ∆u + λu = 0 в полярных координатах наплоскости. Метод разделения переменных. Переходк уравнению Бесселя индекса n со спектральнымпараметром µ. Запись уравнения Бесселя в стандартном виде. Связь решений.37. Запись общего решения уравнения Бесселя индексаn через функции Бесселя и Неймана (без обоснования).

Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа в круге r < R для краевыхусловий первого рода.38. Общее понятие факториала. Определение значе1при любом ν ∈ R. Основное соотношенияν!ние для факториальной функции. Пример: площадь поверхности единичной сферы в Rn .39. Уравнение Бесселя индекса ν, его преобразованияпри помощи упрощающих замен. Решение уравнение Бесселя по методу Фробениуса. Функция Бесселя индекса ν.40. Соотношение J−n (x) = (−1)n Jn (x). Общее решение уравнение Бесселя в случае нецелого индекса.Функции Неймана индекса ν. Запись общего решения в произвольном случае.41. Рекуррентные соотношения для функций Бесселяв случае произвольного индекса ν ∈ R.Вторым пунктом в каждом билете будет простая задача на одну из следующих тем:а) метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности;б) метод Фурье для одномерного уравнения колебаний;в) метод характеристик для уравнения колебаний наполупрямой;г) гармонические функции в круге;д) гармонические функции в шаре;е) оператор Лапласа в сферически симметричномслучае.В программу экзамена включаются также некоторыепрактические темы, рассмотренные на семинарах:1.

Одномерное уравнение колебаний и его общее решение u(x, t) = f (x − at) + g(x + at).2. Задача Коши для одномерного уравнения колебаний, вывод формулы Даламбера.3. Простые задачи для одномерного уравнения колебаний в случае полуограниченной струны.4. Метод Фурье и его основные особенности применительно к одномерным уравнениям колебаний итеплопроводности.5. Представление гармонических функций в полярных координатах на плоскости.6. Простые манипуляции с оператором Лапласа в Rnв сферически симметричном случае.7. Полиномы Лежандра, их свойства, запись гармонических функций в R3 через полиномы Лежандра.8. Основные представления о функциях Бесселя.По всем этим темам достаточно базовых знаний ипрактических навыков, полученных в объеме семинаров.ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ[1] Конспекты лекций.[2] Конспекты семинарских занятий.[3] А.

Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики».[4] А. В. Бицадзе «Уравнения математической физики».[5] В. А. Треногин «Методы математической физики».[6] С. Фарлоу «Уравнения с частными производнымидля научных работников и инженеров».[7] Е. Янке, Ф.

Эмде, Ф. Лёш «Специальные функции(Формулы, графики, таблицы)»..