Программа курса

ПРОГРАММА КУРСА«МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»(2017-2018 уч. г.)Введение. Предмет математической физики. Общий вид уравнения вчастных производных, линейные и квазилинейные уравнения.Часть I. Специальные функции математической физики.1. Задача на собственные значения в основных областях.2. Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя.

Функции Бесселя.Функции Ханкеля. Функция Неймана. Общее решение уравненияБесселя. Метод перевала. Асимптотическое поведение цилиндрическихфункций. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента.3. Пространства Лебега и Соболева. Замкнутые и полные системыфункций4. Классическиеортогональныеполиномы.Дифференциальноеуравнение. Формула Родрига. Производящая функция. ПолиномыЛежандра.

Присоединенные функции Лежандра. Полиномы Лагерра.Полиномы Эрмита.5. Сферические и шаровые функции.6. Простейшие задачи для уравнения Шредингера.Часть II. Методы математической физики.1. Классификация дифференциальных уравнений в частных производныхвторого порядка.2. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениямвторого порядка. Начально-краевая задача. Внутренние и внешниезадачи.

Постановка условий на бесконечности. Задача с данными нахарактеристиках (задача Гурса). Общая задача Коши. Задача сподвижной границей (задача Стефана). Классическое решение.Обобщенное решение.3. Метод разделения переменных (метод Фурье). Общая схема метода.4. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Гармонические функции.Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Формулы Грина.Основные свойства гармонических функций (теорема Гаусса, теорема осреднем, бесконечная дифференцируемость, принцип максимума).Теоремы единственности для внутренних и внешних краевых задач дляуравнения Лапласа. Понятие обобщенного решения.

Функция Гринадля оператора Лапласа. Методы ее построения. Гармоническиепотенциалы: объемный потенциал, поверхностные и логарифмическиепотенциалы. Свойства потенциалов простого и двойного слоя. Методинтегральных уравнений для решения краевых задач. Существованиерешений основных краевых задач для уравнения Лапласа.5.

Уравнение параболического типа. Внутренние начально-краевыезадачи. Принцип максимума. Теоремы единственности. Теоремасуществования для одномерного случая. Уравнение теплопроводностина бесконечной прямой и в неограниченном пространстве. Теоремаединственности. Теорема существования.

Фундаментальное решение.Уравнение теплопроводности на полубесконечной прямой. Методпродолжения. Функция Грина. Обобщенные решения. Неоднородныеграничные условия.6. Уравнение гиперболического типа. Внутренние начально-краевыезадачи. Теоремы единственности. Теорема существования водномерном случае. Уравнение колебаний на бесконечной прямой.Метод распространяющихся волн. Функция источника. Обобщенноерешение.

Формула Даламбера. Уравнение переноса. Уравнениеколебаний на полубесконечной прямой. Метод продолжения. Методинтегральных преобразований Фурье. Задача Коши для уравненияколебаний в пространстве. Формула Пуассона. Метод спуска.7. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца. Задача Штурма-Лиувиллядля оператора Лапласа. Свойства собственных значений и собственныхфункций. Собственные функции оператора Лапласа для простейшихканонических областей. Фундаментальные решения для уравненияГельмгольца. Теоремы единственности для уравнения Гельмгольца вограниченной области.

Задачи во внешней области. Постановкаусловий на бесконечности.ЛИТЕРАТУРА1. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции поматематической физике. М: Изд-во МГУ; Наука, 2004.2. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике.М: Изд-во МГУ, 1998.3. Тихонов А.Н., Самарский А.А.

Уравнения математической физики.М: Изд-во МГУ, 1999.4. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальныефункции. М: «Наука», 1984.5. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.:«Наука», 1988.6. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задачматематической физике. М: «Физматлит», 2003.ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА1. Михайлов В.С. Дифференциальные уравнения в частныхпроизводных.М.: «Наука»,1983.2. Соболев С.Л.

Уравнения математической физики. М.: «Наука»,1966.3. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и основные задачиматематической физики. М.: Гостехиздат, 1953.4. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: «Наука», 1980.5. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2.М.: «Наука», 1966..