Контрольная работа №1
Описание файла
PDF-файл из архива "Контрольная работа №1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математическая статистика" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
CHEPUR_\ K_RAB \ k_rab_1.texÊîíòðîëüíàÿ ðàáîòà N1Ïàðàìåòðû çàäàíèÿ l, m, n, q, r, α1 , α2 , γ, θ, ν, ψ0 .Îáîçíà÷èì r , 1 ≤ r ≤ 100 , èäåíòèôèêàöèîííûé íîìåð ñòóäåíòà (ÈÍÑ). Îí ïðèñâàèâàåòñÿñòóäåíòó ïðåïîäàâàòåëåì. Çíà÷åíèÿ âåëè÷èí ïàðàìåòðîâ êîíòðîëüíîé ðàáîòû äëÿ ñòóäåíòà ñ èäåíòèôèêàöèîííûì íîìåðîì r ïîëàãàþòñÿ ðàâíûìèl= n+q 3,α1 = 0.01 +m = 5 + (8r)mod11,rn = m + (−1) 2,,q = m+n2r1000 ,rα2 = α1 + (−1) 0.01,γ = 0.9 +θ =2+r100 ,r100 ,ψ0 = 0.25 +ν = 0.05 +r−1,(−1)r 1000r20 ,Ïóñòü x = (x1 , . . .
, xm )T íåçàâèñèìàÿ âûáîðêà èç ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, ò.å.di = 1, m ; y = (y1 , . . . , yn )T è z = (z1 , . . . , zq )T xi í.î.ð. ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, xi = N (0, 1) ,íåçàâèñèìûå âûáîðêè èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà [0,1], ò.å. yi è zj íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûådâåëè÷èíû, yi = U (0, 1) ,di = 1, n , zj = U (0, 1) ,j = 1, q ;n, m, q öåëûå ïîëîæèòåëüíûå÷èñëà.1. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F̂k (u) è F0 (u) â îäíîé è òîé æåêîîðäèíàòíîé ñèñòåìå äëÿRu1.1.
äàííûõ x, k = m è F0 (u) = Φ(u) , ãäå Φ(u) =−∞1.2. äàííûõ y, k = n è√12π2exp{− v2 }dv ; 0, u ≤ 0F0 (u) =u, 0 < u ≤ 1 1, u > 1.1.3. Ïðîêîììåíòèðóéòå íàáëþäàåìîå ðàçëè÷èå â ïîâåäåíèè ãðàôèêîâ F̂k è F0 .2. Ïðè îøèáêå ïåðâîãî ðîäà α1 íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ êðèòåðèÿ Êîëìîãîðîâà ïðîâåðüòådddd2.1. ãèïîòåçó Γ1 : x1 = N (0, 1) ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû Γ2 : x1 6= N (0, 1) ;2.2. ãèïîòåçó Γ1 : x1 = N ( 1r , 1) ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû Γ2 : x1 6= N ( 1r , 1) ;dd2.3. ãèïîòåçó Γ1 : y1 = U (0, 1) ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû Γ2 : y1 6= U (0, 1) .dd2.4. ãèïîòåçó Γ1 : x1 = N (0, 1) ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû Γ2 : x1 = N ( 1r , 1) .2.5.
Âû÷èñëèòå íàáëþäåííûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèòåðèåâ.3. Ïðè îøèáêå ïåðâîãî ðîäà α1 íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ êðèòåðèåâ Ñìèðíîâà ïðîâåðüòå3.1. ãèïîòåçó Γ1 îá îäíîðîäíîñòè âûáîðîê x è y ;3.2. ãèïîòåçó Γ1 îá îäíîðîäíîñòè âûáîðîê y è z ;3.3. Âû÷èñëèòå íàáëþäåííûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè êðèòåðèåâ.4. Ïóñòü äëÿ äàííûõ x èñïîëüçóåòñÿ êðèòåðèé Íåéìàíà-Ïèðñîíà ñ îøèáêîé ïåðâîãî ðîäà α1ddäëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû Γ1 : x1 = N (0, 1) ïðè àëüòåðíàòèâå Γ2 : x1 = N ( 1r , 1) .14.1. Áóäåò ëè ïðèíÿòà äëÿ äàííûõ x ãèïîòåçà Γ1 ?4.2. Êàê ÷àñòî áóäåò ïðèíèìàòüñÿ ãèïîòåçà Γ2 ýòèì êðèòåðèåì, êîãäà îíà âåðíà?4.3.
Êàêîâ íàáëþäåííûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè äàííûõ x äëÿ êðèòåðèÿ îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèé â çàäà÷å ïðîâåðêè Γ1 ïðîòèâ Γ2 ?4.4. Êàêîâ îáúåì âûáîðêè m íåîáõîäèìî áûëî áû âçÿòü, ÷òîáû îøèáêà âòîðîãî ðîäà α1 ïðèïðîâåðêå ãèïîòåçû Γ1 ïðîòèâ ãèïîòåçû Γ2 íå ïðåâçîøëà α2 ?5. Ïîñòðîéòå γ -äîâåðèòåëüíóþ ïîëîñó äëÿ ïîðîæäàþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè y .5.1. Ïðîâåðüòå ãðàôè÷åñêè, íàêðîåòñÿ ëè γ -äîâåðèòåëüíîé ïîëîñîé äëÿ ïîðîæäàþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè y ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû N ( 1r , 1) .5.2. Åñëè òàêîå ñîáûòèå ïðîèçîéäåò, òî êàê ýòî îáúÿñíèòü â ñâåòå ïðåäïîëîæåíèÿ î ðàâíîìåðíîé ðàñïðåäåëåííîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí yi ,i = 1, n ?6. Èñïîëüçóÿ äàííûå x , ïîðîäèòå íåçàâèñèìóþ âûáîðêó w = (w1 , . . .
, wm )T èç n íàáëþäåíèéíàä ïóàññîíîâñêîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ñ ïàðàìåòðîì θ0 , ò.å. wi = P OIS(θ), i = 1, m . Íàîñíîâå ïîëó÷åííûõ äàííûõ w6.1. Ïðîâåðüòå ãèïîòåçó Γ1 : θ0 = 1 ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû Γ2 : θ0 = 5 , èñïîëüçóÿ ðàâíîìåðíîíàèáîëåå ìîùíûé êðèòåðèé (ÐÍÌ-êðèòåðèé). Ïðèìèòå îøèáêó ïåðâîãî ðîäà ðàâíîé α1 .6.1.1. Êàêîâà îøèáêà âòîðîãî ðîäà ÐÍÌ-êðèòåðèÿ äëÿ ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå ñòàòèñòè÷åñêîé çàäà÷è?6.1.2. Êàêîâî çíà÷åíèå ôóíêöèè ìîùíîñòè ÐÍÌ-êðèòåðèÿ äëÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà θ = 2 ?6.2. Êàê Âû ïðîêîììåíòèðóåòå ðåçóëüòàò ïðèíÿòèÿ ãèïîòåçû Γ1 èëè Γ2 íà îñíîâå ïîëó÷åííûõ Âàìè äàííûõ?6.3. Åñëè ïîäåëèòü ÷èñëî ðàç ïðèíÿòèÿ ãèïîòåçû Γ2 âî âñåõ ïðàâèëüíî âûïîëíåííûõ êîíòðîëüíûõ ðàáîòàõ íà îáùåå ÷èñëî òàêîâûõ ðàáîò, òî êàêóþ âåðîÿòíîñòü áóäåò îöåíèâàòüýòà äðîáü?6.4.
Ïîñòðîéòå γ -äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðà θ0 . Êàê áóäåò èçìåíÿòüñÿ äëèíàýòîãî èíòåðâàëà â çàâèñèìîñòè îò èçìåíåíèÿ çíà÷åíèÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ .6.5. Íà îñíîâå ïîëó÷åííîãî äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ïîñòðîéòå γ -äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàëäëÿ âåðîÿòíîñòè P{P OIS(θ0 ) >r10 ; θ0 } .6.6.
Âû÷èñëèòå çíà÷åíèÿ ÎÌÏ è îöåíêè ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ äëÿ g1 (θ0 ) = D(θ̌; θ0 ) èg2 (θ0 ) = P{P OIS(2θ0 ) >r30 ; θ0 } .6.6.1. ßâëÿþòñÿ ëè ïîëó÷åííûå îöåíêè íåñìåùåííûìè?6.6.2. Íàéäèòå äèñïåðñèþ ÎÌÏ äëÿ g1 (θ0 ) .d7. Èñïîëüçóÿ äàííûå y è z ïîðîäèòå íåçàâèñèìóþ âûáîðêó t = (t1 , . . . , tl ) , ãäå ti = BIN (1; ψ) ,0 < ψ < 1 , i = 1, l .7.1.
Ïîñòðîéòå ìåòîäîì ñå÷åíèé âåðõíèå γ -äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû äëÿ ïàðàìåòðà ψ0 èôóíêöèè g(ψ0 ) = P{BIN (40; ψ0 ) > 20} íà îñíîâå ïîëó÷åííûõ äàííûõ t .27.2. Áóäåò ëè ïðèíÿòà ïðîñòàÿ ãèïîòåçà Γ1 : ψ0 = ν,0 < ν < 1 , ïðîòèâ ñëîæíîé àëüòåðíà-òèâû Γ2 : ψ0 6= ν êðèòåðèåì çíà÷èìîñòè ñ êðèòè÷åñêîé ôóíêöèåé(¯ (θ(t; γ), θ̄(t; γ))1, 12 ∈ϕ(t) =10, 2 ∈ (θ(t; γ), θ̄(t; γ))Çäåñü (θ(t; γ), θ̄(t; γ)) γ -äîâåðèòåëüíûé ñèììåòðè÷íûé ïî âåðîÿòíîñòè èíòåðâàë äëÿψ0 , ïîñòðîåííûé äëÿ ïîëó÷åííîé âûøå âûáîðêè t .7.2.1.
Êàêîâà ôîðìóëà äëÿ îøèáêè ïåðâîãî ðîäà ðàññìàòðèâàåìîãî êðèòåðèÿ?7.2.2. Êàêîé àëüòåðíàòèâíûé êðèòåðèé ñ îøèáêîé ïåðâîãî ðîäà α1 äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçûΓ1 ïðîòèâ Γ2 ìîæíî ïðåäëîæèòü?Áóäåò ëè êðèòåðèé íà îñíîâå T (t) =Pli=1 tiíåñìåùåííûì ÐÍÌ-êðèòåðèåì?8. Ïðåäïîëëîæèì, ÷òî x íåçàâèñèìàÿ âûáîðêà èç íîðìàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñ íåèçâåñòíûìèdñðåäíèì è äèñïåðñèåé, ò.å. xi = N (µ0 , σ02 ), i = 1, m .8.1.
Íàéäèòå íåñìåùåííûå îïòèìàëüíûå îöåíêè äëÿ µ0 è σ02 .8.2. Ïîñòðîéòå γ -äîâåðèòåëüíûå ñèììåòðè÷íûå ïî âåðîÿòíîñòè èíòåðâàëû äëÿ µ0 è σ02 .8.3. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî îøèáêà ïåðâîãî ðîäà ðàâíà α1 , ïðîâåðòå ãèïîòåçû Γ11 : µ = 1.5 èΓ12 : σ02 = 2 ïðîòèâ àëüòåðíàòèâ, ñîîòâåòñòâåííî, Γ21 : µ 6= 1.2 è Γ22 : σ02 6= 2 .8.3.1. Ïðîêîììåíòèðóéòå ïîëó÷åííûå ñòàòèñòè÷åñêèå âûâîäû.3.
