А.С. Холево - Программа экзамена по теории вероятностей

Программа экзамена по теории вероятностей2004 год. IV семестр. Лектор — А. С. Холево1. Опыт с конечным числом равновероятных исходов. Основные комбинаторные формулы. Задача о выборочном контроле. Геометрические вероятности. Основные свойства вероятности.2. Теоретико-множественное описание операций над событиями. Алгебры и σ-алгебры событий. Вероятностное пространство. Аксиоматика Колмогорова. Связь между непрерывностью и счетной аддитивностьювероятности.3. Условные вероятности.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.4. Независимость событий. Попарная независимость и независимость в совокупности.5. Схема Бернулли. Биномиальные вероятности. Пуассоновское приближение. Закон больших чисел для схемы Бернулли.

Теорема Муавра-Лапласа (без доказательства).6. Определение случайной величины и её функции распределения. Дискретные случайные величины и ихраспределения вероятностей. Биномиальное, гипергеометрическое, пуассоновское распределения. Основные свойства функции распределения.7.

Абсолютно непрерывные случайные величины и плотность распределения. Равномерное, показательное,нормальное распределения. Нахождение распределения функции от известной случайной величины (напримере квадрата случайной величины). Теорема Лебега о разложении произвольной функции распределения (без доказательства).8. Семейства случайных величин. Функция совместного распределения и её свойства. Вероятность попаданияв многомерный полуинтервал.9. Борелевская σ-алгебра B(Rn ). Совместное распределение семейства случайных величин. Абсолютно непрерывные распределения и их плотности.10. Независимость случайных величин в терминах распределений и функций совместного распределения.Независимость случайных величин, которые являются функциями от непересекающихся подсемейств семейства независимых случайных величин.11. Независимость абсолютно непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение в ограниченномборелевском подмножестве Rn , многомерное нормальное распределение с независимыми компонентами.Распределение суммы двух независимых случайных величин.12. Математическое ожидание дискретной случайной величины (со счетным множеством значений). Формуладля математического ожидания функции от нескольких дискретных случайных величин.

Свойства математического ожидания дискретных случайных величин: положительность, линейность, неравенство модуля,математическое ожидание произведения независимых случайных величин.13. Равномерная аппроксимация произвольной случайной величины последовательностью дискретных случайных величин. Определение и свойства математического ожидания в общем случае.

Математическоеожидание абсолютно непрерывной случайной величины.14. Математическое ожидание как интеграл Лебега в вероятностном пространстве и его связь с интеграломЛебега-Стилтьеса в R. Математическое ожидание функции от нескольких случайных величин как интегралЛебега-Стилтьеса в Rn .15. Центральные и абсолютные моменты. Дисперсия, её вычисление для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин. Неравенство Чебышева. Условие обращения дисперсии в нуль, дисперсия суммынезависимых случайных величин.16.

Закон больших чисел для независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями. Применение в статистике: понятие о выборочной функции распределения. Энтропиядискретной случайной величины с конечным множеством значений, её максимальное значение. Понятиетипичной последовательности, свойство асимптотической равнораспределённости.17. Математическое ожидание комплексной случайной величины. Характеристическая функция, её вычисление для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин.

Характеристические функции вырожденного, биномиального, пуассоновского, равномерного, показательного, нормального распределений.18. Основные свойства характеристических функций: нормировка, непрерывность, изменение при линейномпреобразовании, характеристическая функция суммы независимых случайных величин. Связь между моментами случайной величины и производными характеристической функции.19.

Формула обращения. Случай абсолютно непрерывной случайной величины.20. Теорема непрерывности. Слабая сходимость функций распределения, теоремы Хелли.21. Центральная предельная теорема для сумм независимых одинаково распределенных случайных величин.Сравнение нормального приближения и неравенства Чебышева. Теорема Ляпунова (без доказательства).22. Сходимости по вероятности и почти наверное. Лемма Бореля-Кантелли. Неравенство Колмогорова. Усиленный закон больших чисел.123. Закон 0 или 1 Колмогорова.11 На цепи Маркова времени не хватило, поэтому последний билет скорее всего выглядит именно так. По крайней мере, именнооб этой теореме шла речь на последней лекции — Прим.

наб.2.