Вопросы для разминки перед экзаменом

Вопросы для разминки перед экзаменом:1.2.3.4.5.6.7.8.9.3Оцените плотность ядерной материи в г/см .Оцените энергию фотона в зеленой области спектра в эВ.Оцените отношение скорости электрона в основном состоянии атома водорода Бора к скорости света?Считая, что температура поверхности Солнца Т=6000K, оцените длину волны, на которую приходится максимуминтенсивности солнечного света?Найти энергию фотона (эВ), длина волны которого равна комптоновской длине волны.Напишите нестационарное уравнение Шредингера для частицы массы m, движущейся по оси x в потенциальномполе U(x) .Напишите стационарное уравнение Шредингера для частицы массы m, движущейся по оси x под действиемвозвращающей силы f = -kx, (k- константа).Чему равны возможные значения энергии частицы в предыдущей задаче.Напишите формулу для разложения произвольной волновой функции  ( x) по собственным функциям эрмитовогооператораn ( x)для дискретного и непрерывного спектра.10.

Напишите уравнение на собственные значения оператора11. Чему равны собственные значения оператораLˆz (проекции момента импульса на ось z )Lˆz (проекции момента импульса на ось z )?12. Напишите условие ортогональности собственных функций оператора импульса.13. Чему равна размерность собственных функций оператора координаты14. Чему равны собственные значения оператораx̂.Sˆz (проекции спина на ось z )?15. Свободный электрон с энергией Е движется в положительном направлении оси X и имеет спин, направленный“вверх”. Напишите волновую функцию электрона.22-316. Оцените расстояние между соседними уровнями электронов в металле с концентрацией n=10 см .17.

Оцените, какая часть электронов дает вклад в теплоемкость металлов при комнатной температуре.18. Оцените величину ускоряющего потенциала для наблюдения дифракции электронов при нормальном падении намонокристалл никеля в опыте Дэвиссона-Джермера.19.

Электрон с кинетической энергией E движется в положительном направлении оси X. Нарисовать зависимостьплотности вероятности положения электрона от X.20. Электрон с импульсом p движется в положительном направлении оси X и отражается от бесконечно высокогопотенциального барьера. Нарисовать зависимость плотности вероятности положения электрона от X.21. Электрон с кинетической энергией E=0.999 эВ движется в положительном направлении оси X и отражается отпотенциального барьера высотой U=1 эВ. Оцените глубину проникновения (расстояние, на котором плотностьвероятности убывает в е раз).22.

Электрон в бесконечной яме шириной a характеризуется волновой функцией i21   2 , где φn,–55нормированная волновая функция стационарного состояния с квантовыми числами n. Какие, и с какойвероятностью, значения энергии могут быть измерены в этом состоянии?23. Найдите коммутаторˆˆ  xp24.

Покажите, что матрицы Паули являются эрмитовыми.25. Нарисуйте распределение плотности вероятности для основного состояния гармонического осциллятора. Укажитеклассические пределы.26. Напишите выражение для зависящей от времени волновой функции основного состояния электрона впрямоугольной яме шириной a с бесконечно высокими стенками.27. Напишите выражение и постройте график для распределения Бозе-Эйнштейна (µ=0).

Что по осям?28. Напишите выражение и постройте график для распределения Ферми-Дирака. Что по осям?29. Чему равен объем квантового состояния в импульсном пространстве в (а) одномерном, (б) двухмерном и (в)трехмерном случаях?Задачи (см. ниже)Задачи к экзамену по курсу «Введение в квантовую физику» 2017 год1. Считая Солнце и Землю абсолютно черными телами, находящимися в состоянии тепловогоравновесия, оцените температуру Земли T1 .

Средний радиус земной орбиты r  1,5 1011 м ,2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.температура на поверхности Солнца T  6000 К , радиус Солнца R  7  108 м .Исходя из формулы Планка для спектральной плотности  (T ) , получите выражение дляспектральной плотности  (T ) .Найдите угол отдачи φ электрона в экспериментах Комптона, считая известными энергиюпадающего фотона  0 и угол рассеяния θ .При увеличении напряжения на рентгеновской трубке в   1,5 раза длина волныкоротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на   26 пм .Найти первоначальное напряжение на трубке.Свободная частица массы m движется со скоростью  .

Найти фазовую и групповую скоростьволнового пакета, характеризующего эту частицу. Рассмотреть релятивистский инерелятивистский случай.Ширина волнового пакета, описывающего свободный нерелятивистский электрон,увеличилось в n  10 раз за время   1015 секунды. Используя соотношениенеопределенностей, найти начальную ширину волнового пакета.Параллельный пучок электронов, движущихся со скоростью   1,5 106 м/с , черезколлиматорную щель падает нормально на экран, расположенный на расстоянии L  0,1 м отщели. Определить ширину щели d, при которой ширина её изображения на экране будетминимальной.Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов U  500 кВ , попадает на тонкуюполикристаллическую фольгу. На экране, отстоящем на L  20 см от фольги, наблюдаетсядифракционная картина в виде колец. Определить период решетки в материале фольги, еслиизвестно, что радиус первого кольца равен r1  0,8 мм .Найдите разность длин волн  между головными линиями серии Бальмера и Лаймана дляионов гелия 4 He  .Найти собственные значения и собственные функции оператора импульса pˆ x в координатномпредставлении.Найти собственные значения и собственные функции оператора координаты x̂ вкоординатном представлении.Пусть волновая функция частицы в некоторый момент времени имеет в сферическихкоординатах вид  (r, , )   (r, )cos2  .Какие значения проекции момента импульса L zчастицы могут быть измерены, и с какой вероятностью?Волновая функция частицы в некоторый момент времени имеет вид 1 L L,x   ,  L 2 2. ( x)  LL 0,x   ,     ,  2 2 Найти дисперсию координаты Dx .14.

Волновая функция частицы в некоторый момент времени имеет вид 1 L L,x   ,  L 2 2. ( x)  L L  0,x   ,     ,  2 2 Найти волновую функцию частицы в импульсном представлении  ( p ) в тот же момент времени.15. Частица массы m находится в двумерном потенциале U ( x, y)  m 2  x 2  y 2  2 (двумерныйгармонический осциллятор). Найти уровни энергии E частицы и кратности их вырождения g .16.

Свободная нерелятивистская частица массы m с энергией Eдвижется из минус бесконечности в положительномнаправлении оси x. В точке x  0 потенциальная энергиячастицы скачком увеличивается на величину U0 (E > U0 см.рис). Вычислить коэффициенты отражения R и прохождения Tчастицы.17. Найти коэффициент прохождения нерелятивистской частицымассы m через треугольный потенциальный барьер, высотакоторого V0, а ширина основания a (см.

рис.). Энергия частицы0  E V0 . Вычислить только экспоненциальный множитель.18. Найти собственные значения и собственные векторы оператора проекции спина sˆz .19. Найти расщепление E уровней энергии свободного электрона в однородном стационарноммагнитном поле с индукцией B.20.

Концентрация свободного нерелятивистского электронного (неполяризованного) газа равна n. Найти энергию  F и импульс p F Ферми электронного газа.21. Энергия Ферми свободного нерелятивистского электронного (неполяризованного) газа равнаF. Найти среднюю энергию электронов E при нулевой температуре ( T  0 К).22. Концентрация свободного нерелятивистского электронного (неполяризованного) газа равна n. Оценить молярную теплоемкости CV электронного газа при kT  F .23. Получить формулу Планка для спектральной плотности энергии  (T ) исходя израспределения Бозе-Эйнштейна.24. Оценить температуру Дебая TD для акустических фононов одной поляризации, если известнаскорость звука cзв в кристалле и концентрация атомов n .25. Найти теплоемкость CV кристалла, считая, что фононы имеют линейный закон дисперсии  cзв k .

Рассмотреть случай малых температур T TD .26. Оценить температуру Дебая TD двумерного кристалла, считая закон дисперсии фононов вкристалле линейным. Известна скорость звука cзв в кристалле и поверхностная концентрацияатомов n .27. Поверхностная концентрация свободного двумерного нерелятивистского электронного(неполяризованного) газа равна n2 .

Найти энергию  F(2 D ) и импульс pF(2 D ) Ферми электронногогаза. при нулевой температуре ( T  0 К).28. Энергия Ферми свободного двумерного нерелятивистского электронного(неполяризованного) газа равна  F(2 D ) . Найти его среднюю кинетическую энергию E (2 D) принулевой температуре ( T  0 К)..