В.В. Сенатов - Программа экзамена по теории вероятностей

Программа экзамена по теории вероятностейЛектор — В. В. СенатовIV семестр, 2005 г.1. Вероятностное пространство как математическая модель эксперимента со случайными исходами. Операции над реальными событиями. Частота события, ее свойства. Устойчивость частот реальных случайныхсобытий.2. Операции над множествами. Алгебры и σ-алгебры множеств.

Измеримые пространства. Меры, их свойства.Пространства с мерами. Вероятностные пространства. Простейшие свойства вероятности.3. Дискретные вероятностные пространства. Классическое определение вероятности. Построение простейшихвероятностных пространств, урновые схемы. Элементы комбинаторики.4. Условная вероятность.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.5. Независимые события. Независимость попарная и в совокупности. Построение вероятностных пространствдля сложных экспериментов; прямое произведение вероятностных пространств.6. Дискретные случайные величины. Распределение вероятностей случайной величины (вектора). Функцияраспределения. Примеры распределений (вырожденное, Бернулли, Пуассона).7. Совместное распределение.

Маргинальные распределения для данного совместного распределения.8. Независимость случайных величин (три эквивалентных определения). Биномиальное распределение.9. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его вычисление через распределение вероятностей. Свойства математического ожидания. Дисперсия, ее свойства. Ковариация, коэффициент корреляции.10. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева. Закон больших чисел в форме Бернулли.11. Вероятностная модель эксперимента с произвольным множеством исходов. Аксиоматика Колмогорова.Аксиомы и основные свойства вероятности.12. Пределы последовательностей событий.

Связь между счетной аддитивностью и непрерывностью вероятности. Минимальная σ-алгебра. Продолжение меры. Теорема Каратеодори (без доказательства). Борелевскиемножества в R и в Rn .13. Случайные величины. Замкнутость множества случайных величин относительно арифметических операций и предельного перехода. Функции от случайных величин. Распределение вероятностей, порожденноеслучайной величиной.14. Функция распределения. Взаимно однозначное соответствие между распределениями и функциями распределения.

Абсолютно непрерывные распределения; плотности распределений.15. Примеры абсолютно непрерывных распределений (равномерное, Коши, нормальное). Сингулярные и дискретные распределения. Пример сингулярного распределения (распределение Кантора).16. Теорема Лебега (без доказательства). Совместное и маргинальные распределения совокупности случайныхвеличин; σ-алгебра, порожденная случайной величиной.

Независимость случайных величин.17. Интеграл Лебега; математическое ожидание случайной величины, его основные свойства.18. Предельный переход под знаком интеграла, формула замены переменных под знаком интеграла. Вычисление математического ожидания функции от случайной величины по распределению вероятностей случайной величины.19. Интеграл Римана – Стилтьеса.

Моменты старших порядков. Связь между существованием моментов иповедением «хвостов» функции распределения.20. Сходимости на множестве случайных величин. Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева. Законбольших чисел. Сходимость почти наверное.21. Критерий сходимости почти наверное. Неравенство Колмогорова. Усиленный закон больших чисел. Связьмежду сходимостью по вероятности и сходимостью почти наверное.122. Сходимости на множестве функций распределения. Сходимость в основном. Множества функций F и F .Компактность множества F .23.

Слабая сходимость (два определения, их эквивалентность). Метризуемость слабой сходимости, метрикаЛеви. Критерий относительной компактности в метрике Леви.24. Связь между сходимостью по вероятности случайных величин и слабой сходимостью их функций распределения. Связь между слабой и равномерной сходимостями функций распределения.25. Суммы независимых случайных величин. Формула свертки. Поведение распределений (ненормированных)сумм случайных величин при росте числа слагаемых (независимые одинаково распределенные случайныевеличины с конечной дисперсией).

Нормированные суммы. Формулировка центральной предельной теоремы.26. Характеристические функции. Примеры характеристических функций. Взаимная однозначность соответствия между распределениями и характеристическими функциями; формула обращения (для функцийраспределения и для плотностей, без доказательства).27. Взаимная непрерывность соответствия между распределениями и характеристическими функциями. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин. Другие свойства характеристическихфункций.28.

Доказательство центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных величин(метод характеристических функций).29. Различия в законе больших чисел и в центральной предельной теореме для одинаково и различно распределенных слагаемых.30. Условие Ляпунова (без доказательства). Теорема Линдеберга – Феллера (без доказательства).31. Теорема Пуассона.Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.