С.Е. Стрыгин - RC-цепи первого порядка

Московский государственный университетим М.В. ЛомоносоваФизический факультетС.Е. СтрыгинRC-ЦЕПИ ПЕРВОГО ПОРЯДКАМетодическая разработка для "Практикума по радиофизике"Москва 2016 г.УДК 621.375.123:621.382.333Печатается по решению кафедры физики колебанийфизического факультета МГУС.Е. СтрыгинRC-цепи первого порядка. Методическая разработка для "Практикумапо радиофизике". – М., изд. физического факультета МГУ, 2016, с. 19Методическая разработка предназначена для студентов 3 курса физического факультета МГУ, выполняющих задачи в "Практикуме по радиофизике". В разработке изучаются характеристики интегрирующих и дифференцирующих RC-цепей, исследуются изменения формы прямоугольныхимпульсов при прохождении через эти цепи.

Также изучаются характеристики RC-цепи Вина.Объем 0.8 п.л.Тираж 50 экз.Заказ №Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультетаМГУ им. М.В.Ломоносова2Целью данной лабораторной работы является изучение характеристик интегрирующих и дифференцирующих RC-цепей, исследование изменения формы прямоугольных импульсов при прохождении через эти цепи.Также изучаются характеристики RC-цепи Вина.1ВведениеВ настоящее время RC- и RL-цепочки первого порядка широко применяются в вычислительной и импульсной технике. Порядок электрической цепиопределяется числом реактивных элементов: цепь первого порядка включает один реактивный элемент – индуктивность или емкость и любое числорезистивных элементов и независимых источников питания.

С их помощью можно интегрировать или дифференцировать электрические сигналы,формировать рабочую полосу частот электронных устройств и выполнятьдругие полезные операции. В настоящей работе применение таких цепочекбудет проиллюстрировано на примере RC-цепочек с омическим и емкостным выходами. Например, в физических приборах RC-цепочка с емкостнымвыходом часто встраивается в конечном каскаде усилителей(см.

подробнов лабораторной работе ”Операционный усилитель”). С помощью этой цепочки добиваются сглаживания или, как иногда говорят, интегрированияразного рода сигналов. Характеристикой, описывающей это сглаживание,является постоянная времени цепи τ = RC. При выборе оптимальных условий измерений в эксперименте, таких как скорость и точность измерений,постоянная времени цепи играет важную роль. Отметим, что все выводыданной работы будут также справедливы и для RL-цепей, где постояннаявремени равна τ = L/R.Стоит напомнить, что электрические цепи состоят из активных и пас3сивных элементов.

Активные элементы(биполярные и полевые транзисторы, усилители и др.) способны усиливать мощность колебаний, подводимыхк ним. Пассивные элементы могут лишь изменить форму электрическихсигналов, не увеличивая их мощность. К пассивным элементам, с однойстороны, относятся резисторы (активные сопротивления R, измеряются вомах - Ом), а с другой стороны, катушки индуктивности (индуктивностиL, измеряются в генри - Гн) и конденсаторы (емкости C, измеряются вфарадах - Ф), создающие реактивные сопротивления.Известно[1, 3], что любые непериодические сигналы U (t) можно представить в виде разложения по гармоническим составляющим в виде интегралаФурье +∞1Ũ (ω)eiωtd ω.(1)U (t) =2π −∞Интеграл Фурье содержит непрерывный набор гармонических компонент.Комплексную функцию Ũ (ω) называют комплексным спектром сигналаU (t).Свойства электрической цепи по изменению формы электрических сиг-налов очень часто описываются разного рода характеристиками, к которымотносятся: передаточная(частотная) характеристика, являющаяся откликом цепочки на сигнал гармонической формы; переходная характеристика,являющаяся откликом цепи на единичный скачок(функция Хевисайда); импульсная характеристика, являющая откликом цепи на δ-импульс[1, 2, 3, 4].В настоящей работе мы познакомимся с первыми двумя важными характеристиками, использующимися в современной радиотехнике.42Частотные характеристики RC-цепейПередаточная частотная характеристика комплексного коэффициента передачи по напряжению K̃(ω) представляет собой зависимость от частотыотношения комплексной амплитуды выходного напряжения Ũout (ω) цепи ккомплексной амплитуде входного напряжения Ũin(ω)(см.

(1)):K̃(ω) =Ũout (ω)= |K̃(ω)|eiϕ(ω) ,Ũin(ω)(2)где |K̃(ω)| – модуль комплексного коэффициента передачи(амплитудночастотная характеристика(АЧХ) коэффициента передачи напряжений); ϕ(ω)– аргумент комплексного коэффициента передачи(фазо-частотная характеристика(ФЧХ) коэффициента передачи напряжений). Частотные характеристики линейных электрических цепей имеют важное значение, так какпозволяют наглядно судить о том, колебания каких частот пропускаютсяцепью, а какие "подавляются".

АЧХ цепи показывает как соотносится амплитуда преобразованного гармонического сигнала на выходе с амплитудойгармонического сигнала на входе, а ФЧХ – на сколько различается фазавыходного сигнала по сравнению с входным. Подчеркнем, что в определении (2) речь идет об установившихся колебаниях, когда все переходныепроцессы в цепях затухли.RC˜Ũin(ω) I(ω) R˜Ũout (ω) Ũin(ω) I(ω)CŨout (ω)бaРис. 1: a)RC-цепь с омическим выходом; б)RC-цепь с емкостным выходом.5Рассмотрим в качестве примера расчет передаточных частотных характеристик RC-цепей(Рис.

1).2.1RC-цепь с омическим выходом|K̃(ω)|ϕ(ω)√11/ 2π/2π/4ωнaωωнбωРис. 2: Графики АЧХ(а) и ФЧХ(б) для RC-цепи с омическим выходом.Схема RC-цепи с омическим выходом, приведенная на Рис. 1a, имеетобщий импеданс Z̃(ω) = R + 1/iωC. Поэтому комплексный коэффициентпередачи по напряжению(2) будет равенK̃(ω) =˜I(ω)RRiωτ==,˜ Z̃(ω) R + 1/iωC1 + iωτI(ω)(3)˜где I(ω)- комплексная амплитуда силы тока в цепи, τ = RC - постояннаявремени RC-цепи. АЧХ данной цепи имеет вид|K̃(ω)| = √ωτ,1 + ω2τ 2(4)а ФЧХ –ϕ(ω) = argK̃(ω) = arg(iωτ ) − arg(1 + iωτ ) =π− arctg(ωτ ).2(5)Графики АЧХ и ФЧХ данной цепи изображены на Рис.2.Таким образом, если входное напряжение цепи является гармоническимUin(t) = A cos(ωt) = Aeiωt, то выходное напряжение можно записать в6следующем виде:Uout (t) = K̃(ω) Aeiωt= A|K̃(ω)| cos(ωt + ϕ(ω)).(6)Из формулы (4) хорошо видно, что такая цепь пропускает сигналы высоких частот(так как |K̃(+∞)| = 1) и подавляет сигналы низких частот(|K̃(0)| = 0).

Она называется фильтром высоких частот. Диапазон частот, в котором коэффициент передачи данной цепи уменьшается до уровня√1/ 2 ≈ 0.7 от ее максимального значения Kmax = 1, называется полосой пропускания цепи, а частота границы полосы пропускания называетсяграничной частотой(см. Рис.2). В нашем случае нижняя циклическая граничная частота ωн = 2πfн (fн – нижняя граничная частота) находится извыражения√|K̃(ωн )| = 1/ 2.(7)Используя (4) и (7), рассчитаем ее для нашего примера RC-цепи с омическим выходом:ωн RC = 1.По известной граничной частоте полосы пропускания постоянную временицепи можно найти по формулеτ=2.21.2πfн(8)RC-цепь с емкостным выходомСхема RC-цепи с емкостным выходом, приведенная на Рис.1б, также имеетобщий импеданс Z̃(ω) = R + 1/iωC. Поэтому комплексный коэффициентпередачи по напряжению (2) будет равен˜I(ω)(1/iωC)R1K̃(ω) ===,˜ Z̃(ω)R + 1/iωC1 + iωτI(ω)7(9)ϕ(ω)|K̃(ω)|01√1/ 2ωвω−π/4−π/2ωваωбРис.

3: Графики АЧХ(а) и ФЧХ(б) для RC-цепи с емкостным выходом.˜где I(ω)- комплексная амплитуда силы тока в цепи, τ = RC - постояннаявремени RC-цепи. АЧХ данной цепи имеет вид|K̃(ω)| = √1,1 + ω2τ 2(10)а ФЧХ –ϕ(ω) = argK̃(ω) = − arctg(ωτ ).(11)Графики АЧХ и ФЧХ данной цепи изображены на Рис.3. Очевидно, чтоформула (6) справедлива и для этой цепочки.Из формулы (9) хорошо видно, что такая цепь пропускает сигналынизких частот(так как |K̃(0)| = 1) и подавляет сигналы высоких частот(|K̃(+∞)| = 0). Она называется фильтром низких частот.

Верхняя циклическая граничная частота ωв = 2πfв (fв – верхняя граничная частота)находится из выражения√|K̃(ωв)| = 1/ 2.(12)Используя (9) и (12), рассчитаем ее для нашего примера RC-цепи с емкостным выходом:ωв RC = 1.8По известной граничной частоте полосы пропускания постоянную временицепи можно найти по формулеτ=2.31.2πfв(13)Интегрирующие и дифференцирующие RC-цепиRC-цепи могут быть использованы для интегрирования и дифференцирования разных сигналов. Найдем условие, при котором выходное напряжениев RC-цепи на Рис.1a подобно производной от входного.

В случае гармонического напряжения получимd(Ũin(ω)eiωt) = iω Ũin(ω)eiωt.dtИз (2) следует, что выходное напряжение будет пропорционально производной от Ũin(ω)eiωt в случае, если K̃(ω) ∼ iω. Следовательно, цепочкуна Рис.1a можно считать дифференцирующей по отношению к гармоническому сигналу при условии(см. формулу (3))ωτ 1.(14)Условием точного дифференцирования произвольного входного напряжения является выполнение этих неравенств для всех спектральных компонент этой функции.Цепочку на Рис.1б называют интегрирующей, так как напряжение на еевыходе подобно интегралу от входного сигнала. В случае гармоническогонапряжения получим1Ũin(ω)eiωt.iωНапряжение на выходе цепи будет подобно интегралу от гармонического(Ũin(ω)eiωt)d t =входного сигнала, если выполняется условие(см.

формулу (9))ωτ 1.9(15)Условия интегрирования и дифференцирования сигналов во временномпредставлении имеют вид τ dUout |Uout | и τ dUout |Uout| соответственно[1].dt3dtПереходные характеристики RC-цепей3.1Переходные характеристикиВ основе метода анализа линейных цепей лежит принцип суперпозиции:сумма откликовUi(t) от отдельных воздействий ψi (t) на линейную цепьдолжна быть равна отклику U (t) от суммы воздействийψi (t).

Принципсуперпозиции позволяет представить отклик цепи U (t) на сложный сигналкак сумму откликов на отдельные его составляющие. Эти составляющиевыбираются так, чтобы анализ цепей был наиболее простым.Возможность представления отклика цепи на сложный сигнал в видесуммы откликов на стандартные сигналы позволяет использовать стандартные отклики в качестве соответствующих характеристик цепи. В случаепередаточной характеристики сложный сигнал мы раскладывали по гармоническим функциям(в форме ряда или интеграла Фурье). Удобно такженаходить отклик на воздействия в виде единичной ступеньки σ(t). Приразложении сигнала по единичным ступенькам характеристикой цепи является переходная характеристика цепи h(t) - отклик цепи на сигнал в видеединичной ступеньки (функция Хевисайда)[1, 3]:⎧⎪⎪0, t < τo ,⎪⎪⎨σ(t − τo ) = 12 , t = τo ,⎪⎪⎪⎪⎩1, t > τo .Известно[1, 3], что любую непрерывную функцию времени x(t)(ограниченнуюпри t > 0) можно представить как суперпозицию ступенчатых функций Хе10висайда:x(t) =+∞−∞x(ξ)σ(t − ξ)dξ.Зная переходную характеристику h(t), на основании принципа суперпозиции можно найти отклик на произвольное воздействие x(t) в следующемвиде(интеграл Дюамеля)[1, 3]:Y (t) =+∞−∞x (ξ)h(t − ξ)dξ.h(t)h(t)110a0tбtРис.

4: a) Переходная характеристика интегрирующей RC-цепи; б) переходная характеристика дифференцирующей RC-цепи.Переходные характеристики цепи вычисляются путем решения дифференциального уравнения цепи с правой частью в форме ступеньки единичной высоты[1, 3].

Можно получить, что переходная характеристика дифференцирующей RC-цепи имеет вид(см. Рис.4б)h(t) = exp(−t/τ ),t ≥ 0,(16)а переходная характеристика интегрирующей RC-цепи(см. Рис.4а):h(t) = 1 − exp(−t/τ ),11t ≥ 0.(17)3.2Отклик RC-цепей на прямоугольные импульсыИзвестно, что единичный прямоугольный импульс можно представить ввиде суммы двух сдвинутых относительно друг друга ступенчатых функций Хевисайда разных знаков(см.

Рис.5). Тогда общий отклик цепи на прямоугольный импульс есть сумма откликов вида (16) или (17) на каждуюединичную ступеньку. Стоит отметить, что при различных соотношенияхмежду длительностью прямоугольных импульсов τи и постоянной временицепочек получаются разные эпюры выходных напряжений для RC-цепей.τи0τиt0taбРис. 5: a) Единичный прямоугольный импульс длительности τи ; б) две сдвинутые относительно друг друга ступенчатые функции Хевисайда разныхзнаков.На Рис.6a показано изменение формы прямоугольного сигнала с амплитудой Uo и длительностью τи на выходе RC-цепочки с омическим выходомпри различных соотношениях длительности импульса и постоянной времени цепи(RC τи и RC τи ). При больших значениях τ = RC посравнению с τи форма выходного сигнала близка к форме входного. Прималых значениях τ /τи выходной сигнал превращается в два импульса разной полярности, начало которых совпадает с фронтом и срезом входногопрямоугольного сигнала.