3 (Аналитическая геометрия (Кузнецов Л.А.))

tigtu.ruСкачано с http://antigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3Условие задачиНаписать разложение векторапо векторамРешениеимеет вид:Получаем:аносИли в виде системы:anИскомое разложение вектора:СкачКо второй строке прибавим третью:tigtu.ruаносanВычтем из первой строки третью:Искомое разложение:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-3Условие задачии, построенные по векторами?ачКоллинеарны ли векторыСкРешениеВекторы коллинеарны если существует такое число такое, чтоколлинеарны если их координаты пропорциональны.Находим:. Т.е.

векторыиЗначит векторы- не коллинеарны.tigtu.ruПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-3Условие задачиНайти косинус угла между векторамииНайдемиanРешение:между векторамиианосНаходим косинус угла.:ачТ.е. косинус угла:Ски следовательно уголЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-3Условие задачиВычислить площадь параллелограмма, построенного на векторахи.tigtu.ruРешениеПлощадь параллелограмма, построенного на векторахпроизведения:и, численно равна модулю их векторногоan, используя его свойства векторного произведения:ВычисляеманосВычисляем площадь:Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторахиравна.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-3Условие задачи,и?ачКомпланарны ли векторыРешениеСкДля того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельныхплоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведениенулю.было равно,tigtu.ru, то векторыТак какине компланарны.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-3Условие задачиРешениепроведем векторы:аносИз вершиныи его высоту, опущенную изanВычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахвершинына грань.В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:СкачВычислим смешанное произведение:Получаем:tigtu.ruТак какСогласно геометрическому смыслу векторного произведения:anВычислим векторное произведение:Тогда:Объем тетраэдра:Высота:аносПолучаем:ачЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 7-3Условие задачидо плоскости, проходящей через три точки.СкНайти расстояние от точкиРешениеНаходим уравнение плоскости, проходящей через три точки:от точкиНаходим:tigtu.ruдо плоскостианосРасстояниеanПроведем преобразования::Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-3Условие задачиперпендикулярно вектору.ачНаписать уравнение плоскости, проходящей через точкуСкРешениеНайдем вектор:Так как векторперпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве векторанормали.

Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:tigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-3Условие задачиНайти угол между плоскостями:Решениемежду плоскостями определяется формулой:аносУголanДвугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальныевекторы заданных плоскостей:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 10-3Условие задачи, равноудаленной от точекачНайти координаты точкиСкРешениеНайдем расстояниеиТак как по условию задачи:, тои.tigtu.ruТаким образом.Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-3Условие задачиanПусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат.

Верно ли, что точкапринадлежит образу плоскости ?РешениеПри преобразовании подобия с центром в начале координат плоскостьпереходит в плоскостьаноси коэффициентом. Находим образ плоскостиПодставим координаты точки, то точка:принадлежит образу плоскостиачТак какв уравнениеЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-3Условие задачиСкНаписать канонические уравнения прямой.РешениеКанонические уравнения прямой:.:tigtu.ru,где- координаты какой-либо точки прямой, а- ее направляющийвектор.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий векторортогонален нормальным векторам обеих плоскостей.

Нормальные вектора плоскостей::anНайдем направляющий вектор. ПустьСкачаносНайдем какую-либо точку прямойСледовательно, точкапринадлежит прямой.Получаем канонические уравнения прямой:, тогдаtigtu.ruЗадача Кузнецов Аналитическая геометрия 13-3Условие задачиНайти точку пересечения прямой и плоскости.РешениеаносanЗапишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:ачНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:СкПолучаем:Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 14-3Условие задачиНайти точкусимметричную точкеотносительно прямой.tigtu.ruРешениеНаходим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точкуТак плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взятьнаправляющий вектор прямой:anТогда уравнение искомой плоскости:аносНайдем точкупересечения прямой и плоскости.Запишем параметрические уравнения прямой.Подставляем в уравнение плоскости:СкачНайдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:Получаем:Так какявляется серединой отрезка, то.аносачСкtigtu.ruanПолучаем:.