А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников - Дифференциальные уравнения

А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.СвешниковДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯОдин из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» подредакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильина, А.Г.Свешникова. Учебник создан на базелекций, читавшихся авторами в течение многих лет на физическом факультетеМосковского государственного университета.

Изложение отвечает современномусостоянию теории дифференциальных уравнений в той мере, как это требуетсяспециалистам по физике и математике. Большое внимание уделено численным иасимптотическим методам решения. Воспроизводится со 2-го изд. (1985 г.).Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям«Физика» и «Прикладная математика».ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие к третьему изданию5Предисловие ко второму изданию5Предисловие к первому изданию6Глава 1. Введение7§ 1. Понятие дифференциального уравнения7§ 2. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям12Глава 2. Общая теория23§ 1. Элементарные методы интегрирования2331§ 2. Теоремы существования и единственности решения начальной задачидля одного уравнения первого порядка, разрешенного относительнопроизводной.

Алгоритм ломаных Эйлера§ 3 Уравнение, неразрешенное относительно производной39§ 4. Теорема существования и единственности решения нормальной46системы§ 5. Зависимость решений от начальных значений и параметров51§ 6. Метод последовательных приближений (метод Пикара)59§ 7. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке63Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения67§ 1.

Уравнения движения маятника как пример линейного уравнения.67Основные свойства линейного уравнения с постояннымикоэффициентами§ 2. Общие свойства линейного уравнения n-го порядка73§ 3. Однородное линейное уравнение n-го порядка76§ 4. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка79§ 5. Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами82§ 6. Системы линейных уравнений. Общая теория88§ 7. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными96коэффициентами§ 8. Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда101Глава 4. Краевые задачи105§ 1. Постановка краевых задач и их физическое содержание105§ 2. Неоднородная краевая задача110§ 3.

Задачи на собственные значения123Глава 5. Теория устойчивости128§ 1. Постановка задачи128§ 2. Исследование на устойчивость по первому приближению134§ 3. Метод функций Ляпунова138§ 4. Исследование траекторий в окрестности точки покоя144Глава 6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных151уравнений§ 1.

Разностные методы решения начальной задачи151§ 2. Краевые задачи167Глава 7. Асимптотика решений дифференциальных уравнений по малому177параметру§ 1. Регулярные возмущения177§ 2. Сингулярные возмущения183Глава 8. Уравнения в частных производных первого порядка209§ 1. Линейное уравнение209§ 2. Квазилинейное уравнение218Список литературы228Предметный указатель229ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ— начальная (задача Коши) 10АналитическаятеорияИмпульсная матрица 94дифференциальных уравнений— функция 81102ИнтегралдифференциальногоАппроксимация разностной схемы,уравнения 24порядок аппроксимации 158Интегральная кривая 9Асимптотика 180— поверхность 210Асимптотическая формула 178Интегральное уравнение 11Асимптотический ряд 180— — Фредгольма второго рода 126Асимптотическое представление 178Интегрирование в квадратурах 24— разложение 180— дифференциального уравнения 9Бегущая волна 212Интегро-дифференциальноеВозмущение правых частей (входныхуравнение 19данных) 158, 159Качественнаятеория— регулярное 180дифференциальных уравнений— сингулярное 183150Возмущенная задача 159Квадратура 24Возмущенное и невозмущенноеЛеммаодифференциальныхуравнения 180неравенствах 29Вырожденная система 184— — — — столбцов 90, 93Граничные условия первого, второгоЛинейная зависимость ии третьего рода 107независимость столбцов 90, 93C-дискриминантная кривая 45— — — — функций 77p-дискриминантная кривая 45Ломаные Эйлера 32Задача краевая 107Матрицант 94— на собственные значения (задачаШтурма—Лиувилля) 107, 123Матричная запись системы линейныхуравнений 90Метод вариации постоянной 27— ВБК 203— неопределенных коэффициентов88— последовательных приближений(метод Пикара) 27— стрельбы 167— усреднения 203Метрическое пространство 63Независимость первых интегралов216Неподвижная точка 63Неустойчивость решения 143Норма равномерная (чебышёвская)153— собственной функции 125— среднеквадратичная (гильбертова)153Нормальная системадифференциальных уравнений8Область влияния устойчивого корня186Обобщенное решениеквазилинейного уравнения 226— — обыкновенногодифференциального уравнения12, 38Общее решение линейногонеоднородного уравнения 80— — — однородного уравнения 68,79— — — уравнения в частныхпроизводных 217— — системы линейных уравнений94Общий интеграл 24Обыкновенная точка 38Однородные и неоднородныекраевые задачи 107Операторный многочлен 84Определитель Вронского 77, 93Особая точка 38Особое решение 45Остаточный член асимптотическойформулы 178Первый интеграл 215Пограничные члены 192Пограничный ряд 192— слои 190Поде направлений 10Порядок аппроксимации 158— дифференциального уравнения 7Предельный цикл 149Принцип максимума 171— сжатых отображений 64— суперпозиции 75, 91Присоединенные векторы 100Прогонка алгебраическая 174— обратная 176— прямая 175Пространство решении линейногооднородного уравнения 76, 79— — системы линейных уравнений94ε-приближение по невязке 34, 49— — — отклонению 36Разностная схема «предиктор —корректор» 166— — Рунге — Кутта 164— — Эйлера 154— — явная 154Регулярный ряд 192Резонансныйинерезонансныйслучайвнеоднородномлинейном уравнении 72, 87Релаксационные колебания 208Решение общее 24— частное 9, 24Седло 147Сепаратриса 147Сетка, сетки узел, сетки шаг 152— равномерная и неравномерная 152Сеточная функция 152Система линейных уравнений 74, 88— первого приближения 134Собственное значение, его ранг 108Собственные колебания 108— функция 108Специальные функции 102Среднее значение 204Сходимость по невязке 34, 49— разностной схемы 153Теорема о неподвижной точке 63— о неустойчивости 143Теоремаобобщемрешениилинейных уравнений 79, 94— об устойчивости 141— об устойчивости асимптотической142— Стеклова о разложении пособственным функциям 125— существования и единственностирешения краевой задачи 120—Тихоноваосингулярновозмущенной системе 188— Чаплыгина о дифференциальныхнеравенствах 10Теоремысуществованияиединственностирешенияначальнойзадачидлянормальной системы уравнений49— — — — — — — — уравнения,неразрешенного относительнопроизводной 40— — — — — — — — — первогопорядка 36, 61, 62Теория возмущений 180Тождество Лагранжа 109Точка поворота 203— покоя 145, 148Тривиальное решение 78, 107Ударная волна 226Узел 146Уравнение Бернулли 29— Ван дер Поля 208— в вариациях 58— в частных производных 7— в частных производных,квазилинейное 209— в частных производных, линейное209— колебаний упругого стержня 20— Лагранжа 43— линейное, первого порядка 26— линейное, n-го порядка 67, 73— маятника 15, 67—, неразрешенное относительнопроизводной 39— обыкновенное 7— переноса 17— Риккати 29— с разделяющимися переменными23— теплопроводности 22— Эйлера 88— Эйри 102Условие Липшица 31, 46, 60Устойчивость асимптотическая 129— по Ляпунову 129— разностной схемы 160Устойчивый корень 185Фазовая траектория 9Фазовое пространство 9Фазовый портрет 149Фокус 148Формальный ряд 102, 191Формула Грина 109Фундаментальная матрица 94— система решении 78, 93Функция Грина краевой задачи 112— — обобщенная 117— Ляпунова 140—142, 144— положительно определенная 140Характеристики квазилинейногоуравнения в частных производных219— линейного уравнения в частныхпроизводных 210, 214Характеристический многочлен 83Характеристическое уравнение 67,71, 84, 96, 163Центр 148.